分配法則

このレッスンでできるようになること

• かっこの中を先に計算する道と、それぞれにかける道が、同じ答えになることを説明できる
• 負の数や分数をふくむ式で、分配法則を使って計算できる
• 同じ数でくくって、計算しやすい形に直せる

前のレッスンの確認

• 絶対値 … ある数を表す点と原点との距離
• 反対の数 … 符号だけを変えた数のこと
• かっこがあるときは、中が先です。
• どちらの道を通っても、答えは同じです。
• 符号が先、絶対値があと … ①符号を先に決める（同じ符号どうしなら \(+\)、ちがう符号どうしなら \(-\)） ②絶対値どうしをかける
• 同じ符号どうしなら積は正、ちがう符号どうしなら積は負になります。
• どんな数に \(0\) をかけても、積は \(0\) です。
• 負の数どうしをかけると、積は正の数になります。
• きまりを切らさない … 表の規則を切らさないように積を決める
• 場面と合う … 負の時間として読んだ「◯分前」が、場面と食いちがわない
• 約分は、かける前に … 分子どうし・分母どうしをかける

絶対値は記号でも書きます。\(|-9|\) は \(9\) です。

かっこのついた式には、道が二つあります。

このレッスンで見るのは、かっこの中がたし算か引き算の式だけです。累乗はあつかいません。

道が二つある式

\(3\times(5+2)\) を計算します。小学校で習った、正の数だけの式です。

一つ目は、かっこの中を先に計算する道です。かっこがあるときは、中が先です。

\(5+2=7\) なので、\(3\times 7=21\) になります。

二つ目は、かっこの外の \(3\) を、中の \(5\) と \(2\) のそれぞれにかける道です。

\(3\times 5=15\) と \(3\times 2=6\) をたして、\(15+6=21\) です。

確かめ

中が先の道　　　　5 + 2 = 7 、3 × 7 = 21
それぞれにかける道　3 × 5 = 15 、3 × 2 = 6 、15 + 6 = 21
どちらも 21

図を見ると理由が分かります。

長方形を切り分けても、面積は変わらない

たてが \(3\)、横が \(5+2\) の長方形をかきます。横の長さは \(7\) です。

面積は \(3\times 7=21\) です。これが、かっこの中を先に計算する道にあたります。

長方形を、横の \(5\) のところで切り分けます。

左はたて \(3\)・横 \(5\) で面積が \(15\)、右はたて \(3\)・横 \(2\) で面積が \(6\) です。

切っても、紙がふえたり減ったりしません。合計は \(15+6=21\) のままです。

切る前の面積と、切ったあとの面積の合計は、いつも等しくなります。 これが、二つの道で答えがそろう理由です。

法則に名前をつける

分配法則 … かっこの外の数を、かっこの中のそれぞれにかけて、たすこと。

式で書くと、次の形です。

\(3 \times (5 + 2) = 3 \times 5 + 3 \times 2\)

左側がかっこの中を先に計算する道、右側がそれぞれにかける道です。

「分配」は「配る」という意味です。配り残しがあってはいけません。

負の数でも成り立つ

面積で確かめたのは正の数でした。負の数ではどうでしょうか。

\((-4)\times(7-3)\) で試します。中が先の道から書きます。

\(7-3=4\) なので、\((-4)\times 4\) です。

同じ符号どうしなら積は正、ちがう符号どうしなら積は負になります。 符号は \(-\) です。

\(|-4|\) は \(4\) なので、絶対値は \(4\times 4=16\) です。答えは \(-16\) になります。

引いた形のまま配ります

もう一つの道を通ります。\(-4\) を、\(7\) と \(3\) のそれぞれに配ります。

かっこの中は引き算です。引き算のときは、引いた形のまま配ります。

\((-4)\times(7-3)=(-4)\times 7-(-4)\times 3\)

\((-4)\times 7=-28\)、\((-4)\times 3=-12\) なので、\(-28-(-12)\) になります。

引き算は、反対の数 をたす形に直せました。\(-28+12=-16\) です。

確かめ

中が先の道　　　　7 − 3 = 4 、(−4) × 4 = −16
それぞれにかける道　(−4) × 7 = −28 、(−4) × 3 = −12
　　　　　　　　　−28 − (−12) = −28 + 12 = −16
どちらも −16

負の数でも、二つの道の答えはそろいました。配る数は、符号ごと配ります。

かっこの外の数が、右にあるとき

かっこの外の数は、右にあることもあります。\((6-9)\times(-5)\) を見てください。

かっこの外の数が右にあっても、配り方は同じです。

中が先の道から書きます。\(6-9=-3\) なので、\((-3)\times(-5)\) です。

負の数どうしをかけると、積は正の数になります。 答えは \(15\) です。

それぞれにかける道も通ります。\(6\times(-5)=-30\)、\(9\times(-5)=-45\) です。

\((6-9)\times(-5)=6\times(-5)-9\times(-5)\)

引いた形のまま書くと \(-30-(-45)\) で、\(-30+45=15\) です。

確かめ

中が先の道　　　　6 − 9 = −3 、(−3) × (−5) = 15
それぞれにかける道　6 × (−5) = −30 、9 × (−5) = −45
　　　　　　　　　−30 − (−45) = −30 + 45 = 15
どちらも 15

分数のときに、いちばん効きます

ここまでは、どちらの道でも手間があまり変わりませんでした。分数が入ると、手間が大きくちがいます。\(\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{3}\right)\times 12\) で見ます。

中が先の道では、まず通分がいります。\(\dfrac{3}{6}-\dfrac{4}{6}=-\dfrac{1}{6}\) に \(12\) をかけて \(-2\) です。

それぞれにかける道では、約分は、かける前に を使います。

\(\dfrac{1}{2}\times 12=6\)、\(\dfrac{2}{3}\times 12=8\) で、どちらも整数になりました。

\(6-8=-2\) です。通分をしないまま、答えに着きました。

確かめ

中が先の道　　　　6 分の 3 − 6 分の 4 = − 6 分の 1 、( − 6 分の 1 ) × 12 = −2
それぞれにかける道　2 分の 1 × 12 = 6 、3 分の 2 × 12 = 8 、6 − 8 = −2
どちらも −2

分母がちがう分数のかっこに整数をかけるときは、それぞれにかける道が速くなります。

逆の向きにも使えます

分配法則は、右から左へも読めます。

\(17\times 8+17\times 2=17\times(8+2)\)

左側には、\(17\) が二か所に出てきます。この \(17\) を、かっこの外へ出しました。

かっこの中は \(8+2=10\) です。\(17\times 10=170\) と、すぐ求められます。

確かめ

そのまま計算　17 × 8 = 136 、17 × 2 = 34 、136 + 34 = 170
くくって計算　8 + 2 = 10 、17 × 10 = 170
どちらも 170

同じ数が二か所にかけられていたら、その数をかっこの外へ出せます。

どちらの道を選ぶか

分配法則は、いつも使わなければならない道具ではありません。

\((-25)\times(4+8)\) なら、中を先に計算して \((-25)\times 12=-300\) で終わります。

それぞれにかけると、\(-100\) と \(-200\) を出してたします。

答えはどちらも \(-300\) ですが、手間はちがいます。

選ぶのは、計算が楽なほうの道です。

セクション6のレッスン5の どちらの道を通っても、答えは同じです。 は、ここでも成り立ちます。答えが変わらないから、楽なほうを選べるのです。

例題1　かっこの外が負の数のとき

\((-9)\times(28-18)\) を、二つの道で計算しなさい。

かっこの中は引き算です。引き算のときは、引いた形のまま配ります。

符号が先、絶対値があと を使います。配る数は \(-9\) で、絶対値は \(|-9|\) の \(9\) です。

確かめ

中が先の道　　　　28 − 18 = 10 、(−9) × 10 = −90
それぞれにかける道　(−9) × 28 = −252 、(−9) × 18 = −162
　　　　　　　　　−252 − (−162) = −252 + 162 = −90
どちらも −90

答えの吟味

符号がちがう \(2\) 数の積なので、答えは負の数になるはずです。

答え　\(-90\)

例題2　かっこの外が右にあるとき

\((15-23)\times(-4)\) を、二つの道で計算しなさい。

かっこの外の数が右にあっても、配り方は同じです。 \(15\) と \(23\) に配ります。

確かめ

中が先の道　　　　15 − 23 = −8 、(−8) × (−4) = 32
それぞれにかける道　15 × (−4) = −60 、23 × (−4) = −92
　　　　　　　　　−60 − (−92) = −60 + 92 = 32
どちらも 32

答えの吟味

かっこの中もかける数も負の数なので、答えは正の数になりました。

答え　\(32\)

例題3　分数のかっこに整数をかける

\(\left(\dfrac{3}{8}-\dfrac{5}{6}\right)\times 24\) を計算しなさい。

分母がちがうので、中が先の道だと通分がいります。それぞれにかける道を選びます。

確かめ

中が先の道　　　　24 分の 9 − 24 分の 20 = − 24 分の 11
　　　　　　　　　( − 24 分の 11 ) × 24 = −11
それぞれにかける道　8 分の 3 × 24 = 9 、6 分の 5 × 24 = 20 、9 − 20 = −11
どちらも −11

答えの吟味

\(\dfrac{3}{8}\) より \(\dfrac{5}{6}\) のほうが大きいので、答えは負の数になります。

答え　\(-11\)

例題4　かっこの外へ出す

次の計算をしなさい。

（1）\(23\times 12+23\times 8\)　（2）\(34\times 7-34\times 5\)

同じ数が二か所にかけられています。その数をかっこの外へ出します。

確かめ

（1）23 × 12 = 276 、23 × 8 = 184 、276 + 184 = 460
（2）34 × 7 = 238 、34 × 5 = 170 、238 − 170 = 68
くくった式の答えと そろっている

答えの吟味

（2）は引き算なので、かっこの中も引き算のまま書きます。

答え　（1）\(460\)　（2）\(68\)

例題5　買い物の代金を二通りで求める

\(1\) 個 \(38\) 円の消しゴムを、きのう \(7\) 個、きょう \(3\) 個買いました。

代金の合計を、二通りの式で求めなさい。日ごとに代金を出す式と、先に個数を合わせる式を作ります。

確かめ

きのう 38 × 7 = 266 、きょう 38 × 3 = 114 、266 + 114 = 380
個数の合計 7 + 3 = 10 、38 × 10 = 380
どちらも 380

答えの吟味

\(1\) 個 \(38\) 円が \(10\) 個なので、\(400\) 円より少し安い代金になるはずです。

答え　\(380\) 円

今日の問い

セクション5のレッスン2で、負の数どうしをかけると、積は正の数になります。 を確かめました。

理由は二つありました。一つ目は きまりを切らさない、つまり 表の規則を切らさないように積を決める ことです。

二つ目は 場面と合う、つまり 負の時間として読んだ「◯分前」が、場面と食いちがわない ことです。

給水タンクの場面では、\((-3)\times(-5)=15\) を確かめていました。

セクション5のレッスン2には、数直線は、それを目で確かめる三つ目の見方です。 とあります。

三つ目の見方の席は、数直線が取っています。ここで加わるのは、三つ目の理由です。

分配法則を使うと、その理由がひらけます。

かっこの中が 0 になる式を作る

\((-3)\times\left(5+(-5)\right)\) を考えます。かっこの中は \(5+(-5)=0\) です。

中が先の道を通ると、\((-3)\times 0\) になります。

どんな数に \(0\) をかけても、積は \(0\) です。 全体は \(0\) です。

もう一つの道では、\(-3\) を \(5\) と \(-5\) のそれぞれに配ります。

\((-3)\times\left(5+(-5)\right)=(-3)\times 5+(-3)\times(-5)\)

\((-3)\times 5=-15\) です。ここまで、負の数どうしの積は使っていません。

だから右側は \(-15+(-3)\times(-5)\) という形になります。

二つの道の答えがそろうことから決める

中が先の道の答えは \(0\) でした。もう一つの道も、同じ \(0\) です。

\(-15+(-3)\times(-5)=0\)

たして \(0\) になる相手は、反対の数 です。\(-15\) の反対の数は \(15\) です。

だから \((-3)\times(-5)\) は \(15\) でなければなりません。

確かめ

中が先の道　　　　5 + (−5) = 0 、(−3) × 0 = 0
それぞれにかける道　(−3) × 5 = −15
　　　　　　　　　−15 + (−3) × (−5) = 0
　　　　　　　　　たして 0 になる相手は 15
よって (−3) × (−5) = 15

二つの理由で確かめたことに、三つ目の理由が加わりました。着いた答えは、三つとも同じです。

三つ目の理由で使ったのは、分配法則だけです。表も場面も使わずに、同じ \(15\) に着きました。

よくある間違い

まちがい1：かっこの中の一方にしか配らない

\((-15)\times(11+5)\) を計算する問題です。

✗ (−15) × 11 + 5
✗ = −165 + 5
✗ = −160

\(-15\) を \(11\) には配りましたが、\(5\) には配っていません。配り残しです。

○ (−15) × 11 + (−15) × 5
○ = −165 + (−75)
○ = −240

中が先の道でも確かめます。

11 + 5 = 16 、(−15) × 16 = −240
誤答は −160 。正しい答え −240 とちがうので、まちがい

配り残しがあってはいけません。 かっこの中の数を、指でおさえながら配ってください。

まちがい2：引く数の符号を落とす

\((-8)\times(26-18)\) を計算する問題です。

✗ (−8) × 26 = −208 、(−8) × 18 = −144
✗ −208 − 144
✗ = −352

\(2\) つの積は合っています。ちがうのは \(3\) 行目で、\(-144\) を引くのに \(144\) を引いています。

○ −208 − (−144)
○ = −208 + 144
○ = −64

中が先の道でも確かめます。

26 − 18 = 8 、(−8) × 8 = −64
誤答は −352 。正しい答え −64 とちがうので、まちがい

引いた形のまま配ったら、引く数の符号も見てください。 そこで反対の数をたす形に直します。

まちがい3：かっこの外へ出すとき、中をかけ算にしてしまう

\(19\times 7+19\times 3\) を、かっこの外へ出して計算する問題です。

✗ 19 × (7 × 3)
✗ = 19 × 21
✗ = 399

もとの式は、\(19\times 7\) と \(19\times 3\) の和です。かっこの中の記号は、出す前の記号をそのまま使います。

○ 19 × (7 + 3)
○ = 19 × 10
○ = 190

出す前の式で確かめます。

19 × 7 = 133 、19 × 3 = 57 、133 + 57 = 190
誤答は 399 。正しい答え 190 とちがうので、まちがい

かっこの外へ出しても、中の記号は変わりません。 たし算はたし算のまま残ります。

自分で確かめよう

紙に書いてから、答えを開いてください。配り残しがないかを毎回見ること。

1. \((-21)\times(6+5)\) を計算しなさい。

2. \((-4)\times(26-19)\) を、二つの道で計算しなさい。

3. \((14-23)\times(-7)\) を、二つの道で計算しなさい。

4. \(\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{4}\right)\times 36\) を計算しなさい。

5. \(\left(\dfrac{7}{10}+\dfrac{2}{5}\right)\times 20\) を計算しなさい。

6. \(\left(\dfrac{4}{9}-\dfrac{7}{12}\right)\times 36\) を計算しなさい。

7. \(26\times 9+26\times 11\) を、かっこの外へ出して計算しなさい。

8. \(47\times 15-47\times 5\) を、かっこの外へ出して計算しなさい。

9. \((-16)\times 6+(-16)\times 4\) を、かっこの外へ出して計算しなさい。

10. 次の計算はまちがっています。どこがまちがっているかを書き、正しく計算しなさい。

(−3) × (28 − 22)
= (−3) × 28 − 3 × 22
= −84 − 66
= −150

11. たてが \(18\) cm、横が \(7+13\) cm の長方形があります。面積を二つの道で求めなさい。

12. \(18\times(37+63)\) は、どちらの道で計算するのが楽ですか。理由を書き、答えも求めなさい。

1. 中が先　6 + 5 = 11 、(−21) × 11 = −231
1. それぞれ　(−21) × 6 = −126 、(−21) × 5 = −105 、−126 + (−105) = −231
2. 中が先　26 − 19 = 7 、(−4) × 7 = −28
2. それぞれ　(−4) × 26 = −104 、(−4) × 19 = −76 、−104 − (−76) = −104 + 76 = −28
3. 中が先　14 − 23 = −9 、(−9) × (−7) = 63
3. それぞれ　14 × (−7) = −98 、23 × (−7) = −161 、−98 − (−161) = −98 + 161 = 63
どの問題も 二つの道の答えがそろった

4. 中が先　12 分の 4 − 12 分の 9 = − 12 分の 5 、( − 12 分の 5 ) × 36 = −15
5. 中が先　10 分の 7 + 10 分の 4 = 10 分の 11 、10 分の 11 × 20 = 22
6. 中が先　36 分の 16 − 36 分の 21 = − 36 分の 5 、( − 36 分の 5 ) × 36 = −5
どの問題も それぞれにかける道の答えと そろった

7. 26 × 9 = 234 、26 × 11 = 286 、234 + 286 = 520
8. 47 × 15 = 705 、47 × 5 = 235 、705 − 235 = 470
9. (−16) × 6 = −96 、(−16) × 4 = −64 、−96 + (−64) = −160
くくった式の答えと そろっている

○ (−3) × 28 − (−3) × 22
○ = −84 − (−66)
○ = −84 + 66
○ = −18

中が先　28 − 22 = 6 、(−3) × 6 = −18
誤答は −150 。正しい答え −18 とちがうので、まちがい

中が先　7 + 13 = 20 、18 × 20 = 360
それぞれ　18 × 7 = 126 、18 × 13 = 234 、126 + 234 = 360
どちらも 360

中が先　37 + 63 = 100 、18 × 100 = 1800
それぞれ　18 × 37 = 666 、18 × 63 = 1134 、666 + 1134 = 1800
どちらも 1800

次のレッスンへ

かっこの中を先に計算しても、それぞれにかけても、答えは同じでした。

分配法則 … かっこの外の数を、かっこの中のそれぞれにかけて、たすこと。

\(3 \times (5 + 2) = 3 \times 5 + 3 \times 2\)

引き算のときは、引いた形のまま配ります。 かっこの外の数が右にあっても、配り方は同じです。

逆の向きにも使えます。同じ数が二か所にかけられていたら、その数をかっこの外へ出せます。

そして 選ぶのは、計算が楽なほうの道です。

次のレッスンは「四則の混じった計算の順序」です。

累乗と四則が一つの式にならびます。どれから計算するかを決めます。

次のレッスンへ　四則の混じった計算の順序　→

クイズと理解チェックは、アプリで挑戦できます。