四則の混じった計算の順序

このレッスンでできるようになること

• かっこの中・累乗・乗除・加減の順で、四則の混じった式を計算できる
• かっこの入れ子を、内側から順にほどける
• 一行に一つのことだけを書いて、途中式を飛ばさずに答えまで進められる

前のレッスンの確認

• 絶対値 … ある数を表す点と原点との距離
• 項 … 式を \(+\) と \(-\) で区切った、ひとかたまりのこと（符号は項に含まれる）
• 累乗 … 同じ数をいくつかかけたもの
• 底 … 累乗で、繰り返しかける数
• 指数 … 累乗で右上に書く、かける個数を表す数
• 指数は、すぐ左にあるものだけにかかります。
• かっこがあれば、かっこの中ぜんぶが底になります。
• かっこがなければ、底は数の部分だけです。
• 前についた \(-\) は、累乗を計算したあとにかかります。
• \((-4)^{2}\) と \(-4^{2}\) は、別の数です。
• 底が負の数のときは、指数が偶数なら正、指数が奇数なら負になります。
• かけ算とわり算がならんだ式は、左から順に計算します。
• かっこがあるときは、中が先です。
• 符号が先、絶対値があと … ①符号を先に決める（同じ符号どうしなら \(+\)、ちがう符号どうしなら \(-\)） ②絶対値どうしをかける
• 同じ符号どうしなら商は正、ちがう符号どうしなら商は負になります。
• 分配法則 … かっこの外の数を、かっこの中のそれぞれにかけて、たすこと。
• 選ぶのは、計算が楽なほうの道です。
• 加減の四つの手順 … ①項に分ける（符号は項に含める）②並べかえる（加法の交換法則・結合法則が根拠）③正の項の和と、負の項の和をそれぞれ求める ④合わせる

絶対値は記号でも書きます。\(|-12|\) は \(12\) です。

ここまでの計算を、一つの順序にまとめます。

セクション6で、二つはもう決まっています

新しい決まりを、はじめから作るのではありません。セクション6のレッスン5で、二つを決めました。

かけ算とわり算がならんだ式は、左から順に計算します。

かっこがあるときは、中が先です。

この二つは、今日もそのまま使います。

足りないのは、累乗と加減の場所です。差しこめば、順序が完成します。

累乗は、乗除より先にします

累乗は、かけ算を短く書いたものでした。\(5^{2}\) は \(5\times 5\) の短い書き方です。

\(10\times 5^{2}\) で考えます。指数は、すぐ左にあるものだけにかかります。

すぐ左にあるのは \(5\) で、\(10\) は底に入りません。つまり \(10\times 5^{2}\) は \(10\times(5\times 5)\) のことです。\(5^{2}\) はひとかたまりです。

ひとかたまりを先に \(25\) に直してから、\(10\) をかけます。答えは \(250\) です。

かけ算に戻さないと、\(10\) をかけられません。だから累乗が先です。

順序を、一本にまとめます

四つが出そろいました。順にならべます。

かっこの中 → 累乗 → 乗除 → 加減

同じ優先順位のものは、左から順に。

どれを先にするかの順を、優先順位といいます。

\(-13+4^{2}\div 8+9\) なら、\(4^{2}\) が先で、次が \(\div\)、最後が \(+\) です。

優先順位が下がるほど、あとです。同じ優先順位では、左にあるものが先です。

四つの優先順位を、一つの式でたどります

\(\{3+(-7)\}\times 12-(-2)^{2}\) を計算します。

外側のかっこは \(\{\ \}\) で書いてあります。

優先順位1　かっこの中

\(3+(-7)=-4\) です。式は \((-4)\times 12-(-2)^{2}\) になりました。

優先順位2　累乗

\((-2)^{2}\) の底は \(-2\) で、指数が偶数なので符号は \(+\) です。

\(|-2|\) は \(2\) なので、絶対値は \(2\times 2=4\) です。\((-2)^{2}=4\) になります。

優先順位3　乗除

\((-4)\times 12\) を、符号が先、絶対値があと で計算します。

符号はちがうので \(-\)、絶対値は \(4\times 12=48\) です。答えは \(-48\) です。

優先順位4　加減

\(-48-4=-52\) になりました。

確かめ

{3 + (−7)} × 12 − (−2) の 2 乗
= (−4) × 12 − 4
= −48 − 4
= −52

上から一つずつ通っただけです。

加減のところは、セクション4の手順がそのまま使えます

最後に残るのは、たし算と引き算だけです。ここは新しくありません。

セクション4のレッスン5の道具を、そのまま持ってきます。

加減の四つの手順

1. 項に分ける（符号は項に含める）
2. 並べかえる（加法の交換法則・結合法則が根拠）
3. 正の項の和と、負の項の和をそれぞれ求める
4. 合わせる

\(-13+4^{2}\div 8+9\) でためします。累乗と乗除を先にかたづけます。

\(4^{2}=16\)、\(16\div 8=2\) なので、残るのは \(-13+2+9\) です。

項は \(-13\) と \(+2\) と \(+9\) の三つです。並べかえて \(2+9-13\) とします。

正の項の和は \(11\)、負の項の和は \(-13\) で、合わせて \(-2\) になります。

確かめ

−13 + 4 の 2 乗 ÷ 8 + 9
= −13 + 2 + 9
= −2
左から順に　−13 + 2 = −11 、−11 + 9 = −2

項が三つ以上ならんだら、四つの手順です。

かっこの入れ子は、内側から

かっこの中に、もう一組かっこが入ることがあります。外側は \(\{\ \}\) の形にします。

\(\{18-(4-10)\}\div(-12)\) を計算します。内側の \((4-10)\) が、いちばん先です。

\(4-10=-6\)、次に外側で \(18-(-6)=24\)、最後にわり算です。

\(24\div(-12)\) は符号がちがうので商は負です。絶対値は \(2\) で、答えは \(-2\) です。

外側から手をつけると、内側がまだ数になっていません。

かっこの中に 分配法則 を使って配る道もありますが、数だけの式では遠回りになりがちです。レッスン3で決めたとおり、選ぶのは、計算が楽なほうの道です。

符号を落とさないための、二つの見どころ

順序をまちがえる人より、符号を落とす人のほうが多いのです。見どころは二つです。

見どころ1　累乗にかっこが付いているか

\((-4)^{2}\) と \(-4^{2}\) は、別の数です。 かっこがあるかないかで、底が変わります。

かっこがあれば、かっこの中ぜんぶが底になります。 \((-4)^{2}\) の底は \(-4\) です。

かっこがなければ、底は数の部分だけです。 \(-4^{2}\) の底は \(4\) です。

混合式の中でも、同じように読み分けます。

前についた \(-\) は、累乗を計算したあとにかかります。 先に \(-\) を底へ入れてはいけません。

見どころ2　引き算の記号か、符号か

\(18-(-3)^{2}\) では、前の \(-\) が引き算の記号、後ろの \(-\) が \(3\) の符号です。

\((-3)^{2}=9\) なので、式は \(18-9\) で、答えは \(9\) です。\(18+9\) ではありません。

書き方のきまり

答えが合っていても、書き方がくずれると、あとで見直せません。三つ守ってください。

• 一行に一つのことだけをする。 二か所を同時に直すと、まちがいが見つかりません
• 等号を縦にそろえる。 どの行で何をしたかが見えます
• 途中式を飛ばさない。 頭の中で二つまとめると、そこがぬけ落ちます

さきほどの式を、この形で書き直します。

{3 + (−7)} × 12 − (−2) の 2 乗
= (−4) × 12 − (−2) の 2 乗       ← かっこの中だけを計算した
= (−4) × 12 − 4                  ← 累乗だけを計算した
= −48 − 4                        ← かけ算だけを計算した
= −52                            ← 最後に引き算

一行ごとに、変わったところが一か所だけです。入試では、ここが点です。

例題1　かっこのない式を、順序どおりに計算する

次の計算をしなさい。

（1）\(-9+(-5)^{2}\div 5\)　（2）\(3\times 15-2^{4}\)　（3）\((-6)^{2}\div 4-15\)　（4）\(-20-(-3)^{3}\div 9\)

まず累乗です。（1）の \((-5)^{2}\) は、\(|-5|\) が \(5\) なので絶対値が \(25\) になります。

確かめ

（1）−9 + 5 = −4
（2）45 − 16 = 29
（3）9 − 15 = −6
（4）−20 − (−3) = −20 + 3 = −17

答えの吟味

（4）は指数が奇数なので、累乗が負になります。だから最後は足し算に変わります。

答え　（1）\(-4\)　（2）\(29\)　（3）\(-6\)　（4）\(-17\)

例題2　かっこのある式

次の計算をしなさい。

（1）\(\{7+(-11)\}\times 14+50\)　（2）\(50-\{20+(-6)\}\div(-7)\)

かっこの中がいちばん先です。中を数にしてから次へ進みます。

確かめ

（1）−56 + 50 = −6
（2）50 − (−2) = 50 + 2 = 52

答えの吟味

（2）の商は負です。負の数を引くので、答えは \(50\) より大きくなります。

答え　（1）\(-6\)　（2）\(52\)

例題3　かっこの入れ子

次の計算をしなさい。

（1）\(\{25-(8-13)\}\div(-10)\)　（2）\(\{(-2)^{3}+(6-10)\}\times 10\)

内側の \((\ )\) から順にほどきます。外側はそのあとです。

（2）は \((-2)^{3}\) も先に計算します。指数が奇数なので \(-8\) です。

確かめ

（1）30 ÷ (−10) = −3 　(−10) × (−3) = 30 　もどった
（2）(−12) × 10 = −120

答えの吟味

（1）は内側を先にしないと、\(25-8=17\) から進んで答えが変わります。

答え　（1）\(-3\)　（2）\(-120\)

例題4　かっこのあるなしで、答えがどう変わるか

次の計算をしなさい。

（1）\(-6^{2}\div 9+11\)　（2）\((-6)^{2}\div 9+11\)

数字の形はそっくりです。ちがうのは、かっこがあるかないかだけです。

確かめ

（1）−(6 × 6) = −36 　−36 ÷ 9 = −4 　−4 + 11 = 7
（2）(−6) × (−6) = 36 　36 ÷ 9 = 4 　4 + 11 = 15

答えの吟味

\(|-6|\) はどちらも \(6\) です。ちがうのは底に \(-\) が入るかどうかです。

答え　（1）\(7\)　（2）\(15\)

例題5　分数がまじる式

次の計算をしなさい。

（1）\(\left(-\dfrac{1}{5}\right)^{2}\times 50-3\)

（2）\(\dfrac{1}{8}-\left(-\dfrac{3}{8}\right)^{2}\)

分数でも、順序は変わりません。累乗が先です。

（1）は分母の \(25\) と \(50\) を約分すると、\(2\) になります。

確かめ

（1）5 分の 1 を 2 個かけて 25 分の 1 　25 分の 1 × 50 = 2 　2 − 3 = −1
（2）64 分の 8 − 64 分の 9 = 64 分の −1

答えの吟味

（2）の累乗は指数が偶数なので正の数です。それを引くので答えは負です。

答え　（1）\(-1\)　（2）\(-\dfrac{1}{64}\)

例題6　長い式を、一行に一つずつ書く

\(\{(-7)+13\}\times 15-(-4)^{3}\div 8\) を計算しなさい。

優先順位が四つとも出てきます。上から一つずつ書き下ろします。

確かめ

(−7) + 13 = 6 　6 × 15 = 90
(−4) の 3 乗 = −64 　−64 ÷ 8 = −8
90 − (−8) = 90 + 8 = 98

答えの吟味

\((-4)^{3}\) は指数が奇数なので負です。それを引くので、答えは \(90\) より大きくなります。

答え　\(98\)

今日の問い

順序は、だれかが勝手に決めた約束なのでしょうか。決めなくてもよかったのでしょうか。

\(20-5^{2}\) でためします。順序どおりなら \(20-25=-5\) です。

左から順に読むと、\(20-5=15\) から \(15^{2}=225\) になります。

答えが \(-5\) と \(225\) に割れました。同じ式が、二通りに読めてしまいます。

順序は、式の読み方を一通りに決めるためのものです。

では、順序と別の計算がしたいときは、かっこを書きます。

\(15^{2}\) を出したいなら \((20-5)^{2}\) です。かっこがあるときは、中が先です。

かっこは、順序を書きかえる道具です。飾りではありません。

よくある間違い

まちがい1：かっこのない累乗で、底をまちがえる

\(-5^{2}+63\div 9\) を計算する問題です。

✗ −5 を 2 個かけて 25
✗ 25 + 63 ÷ 9
✗ = 25 + 7 = 32

\(-5^{2}\) にかっこはありません。かっこがなければ、底は数の部分だけです。

底は \(5\) で、\(5\) を \(2\) 個かけて \(25\)、その反対の数で \(-25\) になります。

○ −5 の 2 乗 = −(5 × 5) = −25
○ 63 ÷ 9 = 7
○ −25 + 7 = −18

誤答をもとの式に戻して確かめます。

誤答 32 は (−5) の 2 乗 + 63 ÷ 9 の答え
もとの式は −5 の 2 乗 + 63 ÷ 9 で、答えは −18
底がちがうので、まちがい

\((-4)^{2}\) と \(-4^{2}\) は、別の数です。 底を先に決めてください。

まちがい2：引く記号のうしろで、符号を落とす

\(-11-(-3)^{2}\) を計算する問題です。

✗ − が二つ ならんでいるから + になる
✗ −11 + 9
✗ = −2

\(-(-3)^{2}\) の二つの \(-\) は、並んで見えても一組ではありません。

先に \((-3)^{2}\) を計算します。指数が偶数なので \(9\) です。そのあとで引きます。

○ (−3) の 2 乗 = 9
○ −11 − 9 = −20

誤答をもとの式に戻して確かめます。

誤答 −2 は −11 − (−9) の答え
(−3) の 2 乗 は −9 ではなく 9 なので、まちがい

累乗についたかっこは、累乗を計算するまで外せません。

まちがい3：内側のかっこを、先に計算しない

\(\{30-(7-15)\}\div 2\) を計算する問題です。

✗ 左から 30 − 7 = 23
✗ 23 − 15 = 8
✗ 8 ÷ 2 = 4

内側の \((7-15)\) を、ひとかたまりとして見ていません。

\((7-15)\) は \(-8\) で、\(30\) から \(-8\) を引くので \(30+8=38\) になります。

○ 7 − 15 = −8
○ 30 − (−8) = 38
○ 38 ÷ 2 = 19

誤答をもとの式に戻して確かめます。

誤答 4 は (30 − 7 − 15) ÷ 2 の答え
内側のかっこがあるので、30 − 7 − 15 とは読めない
正しい答えは 19 で、まちがい

内側のかっこは、ひとかたまりです。 いちばん内側からほどきます。

自分で確かめよう

紙に書いてから、答えを開いてください。一行に一つのことだけを書くこと。

1. いちばん先に計算するところを答えなさい。計算はしなくてかまいません。 （1）\(-8+7\times 16\)　（2）\(20-(-2)^{3}\div 4\)　（3）\(\{-9+(2-11)\}\times 5\)

2. \(-15+10^{2}\div 2\) を計算しなさい。

3. \(8\times 14-6^{2}\) を計算しなさい。

4. \(-3^{2}+55\div(-11)\) を計算しなさい。

5. \(-7^{2}+(-7)^{2}\) を計算しなさい。

6. \(-2^{3}+\{13+(-25)\}\div(-2)+5\) を計算しなさい。

7. \(\{4^{2}+(-6)\}\div(-5)\) を計算しなさい。

8. \(\{16-(9-14)\}\div(-7)\) を計算しなさい。

9. \(\{(-3)^{2}+(4-13)\}\times 12+7\) を計算しなさい。

10. \(\dfrac{5}{6}-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{2}\) を計算しなさい。

11. \((-0.6)^{2}\times 25-4\) を計算しなさい。

12. 次の計算はまちがっています。どこがまちがっているかを書き、正しく計算しなさい。

−2 の 4 乗 + 3 × 18
= 16 + 54
= 70

13. 累乗を、かけ算やわり算より先に計算するのはなぜですか。\(5^{2}\) が何を短く書いたものかを使って説明しなさい。

（1）7 × 16 = 112 　（2）(−2) の 3 乗 = −8 　（3）2 − 11 = −9

2. −15 + 50 = 35 　3. 112 − 36 = 76
4. −9 + (−5) = −14 　(−11) × (−5) = 55 　もどった

5. −7 の 2 乗 = −49 、(−7) の 2 乗 = 49 　−49 + 49 = 0
6. −8 + 6 + 5 = 3
7. 10 ÷ (−5) = −2 　(−5) × (−2) = 10 　もどった

8. 21 ÷ (−7) = −3 　(−7) × (−3) = 21 　もどった
9. 9 + (−9) = 0 、0 × 12 = 0 、0 + 7 = 7

10. 2 分の 1 を 2 個かけて 4 分の 1 　12 分の 10 − 12 分の 3 = 12 分の 7
11. 0.6 を 2 個かけて 0.36 　0.36 × 25 = 9 　9 − 4 = 5

○ −2 の 4 乗 = −(2 × 2 × 2 × 2) = −16
○ 3 × 18 = 54
○ −16 + 54 = 38

誤答 70 は (−2) の 4 乗 + 3 × 18 の答え
もとの式は −2 の 4 乗 + 3 × 18 で、答えは 38
底に − が入っているので、まちがい

5 の 2 乗 は 5 × 5 を短く書いたもの
だから 10 × 5 の 2 乗 は 10 × (5 × 5) と同じ
5 の 2 乗 をかけ算に戻さないと 10 をかける相手が決まらない

次のレッスンへ

四則の順序が、これでそろいました。

かっこの中 → 累乗 → 乗除 → 加減 の順で、同じ優先順位のものは、左から順に。 です。

セクション6の かけ算とわり算がならんだ式は、左から順に計算します。 と かっこがあるときは、中が先です。 は、そのまま生きています。

加減のところは、セクション4の 加減の四つの手順 が使えます。

書き方も決めました。一行に一つのことだけをして、途中式を飛ばさないでください。

次のレッスンは「くふうして計算する」です。

順序どおりに進めば答えは出ますが、遠回りになることがあります。同じ答えに、もっと短い道で着く方法をあつかいます。

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