くふうして計算する

このレッスンでできるようになること

• 式を見て、どのくふうが使えるかを見分けられる
• くふうした道と、順序どおりの道が、同じ答えになることを確かめられる
• くふうが使えないときは、順序どおりに計算して答えを出せる

前のレッスンの確認

• 絶対値 … ある数を表す点と原点との距離
• 反対の数 … 符号だけを変えた数のこと
• 項 … 式を \(+\) と \(-\) で区切った、ひとかたまりのこと（符号は項に含まれる）
• 加法の交換法則 … たす順番を入れかえても、和は変わらない／加法の結合法則 … どこからたしても、和は変わらない
• 乗法の交換法則 … かける順番を入れかえても、積は変わらない／乗法の結合法則 … どこからかけても、積は変わらない
• \(0\) が \(1\) つでもあれば、積は \(0\) です。
• 加減の四つの手順 … ①項に分ける（符号は項に含める）②並べかえる（加法の交換法則・結合法則が根拠）③正の項の和と、負の項の和をそれぞれ求める ④合わせる
• 分配法則 … かっこの外の数を、かっこの中のそれぞれにかけて、たすこと。
• 引き算のときは、引いた形のまま配ります。
• 同じ数が二か所にかけられていたら、その数をかっこの外へ出せます。
• 選ぶのは、計算が楽なほうの道です。
• かっこの中 → 累乗 → 乗除 → 加減／同じ優先順位のものは、左から順に。
• 底が負の数のときは、指数が偶数なら正、指数が奇数なら負になります。
• \(0\) は何乗しても \(0\) です。／\(1\) は何乗しても \(1\) です。

絶対値は記号でも書きます。\(|-17|\) は \(17\) です。

セクション7の最後の回です。ここまでの道具を、全部つなぎます。

同じ答えに、短い道で着く

順序どおりに進めば、答えは必ず出ます。ただし、遠回りになることがあります。

\(25\times(-17)\times 4\) を見てください。

順序どおりなら、左から \(25\times(-17)\) です。\(-425\) という、暗算しにくい数が出ます。

ところが \(25\) と \(4\) をかけると \(100\) です。\(100\times 17\) なら、すぐ \(1700\) と出ます。

選ぶのは、計算が楽なほうの道です。 短い道を選ぶことを、くふうといいます。

くふうは、順序を破ることではありません

ここが、いちばん大事なところです。

順序は動きません。 かっこの中 → 累乗 → 乗除 → 加減、同じ優先順位のものは、左から順に。 です。

では、なぜ \(25\times 4\) を先にできたのでしょうか。

乗法の交換法則があるので、\(25\times(-17)\times 4\) は \(25\times 4\times(-17)\) と書きかえられます。

順序を破ったのではありません。先に式を書きかえて、そのあとで順序どおりに計算したのです。

順番を変えてよい根拠は、三つ

順番を変えてよい根拠は、次の三つです。どれも答えを変えません。

順番を変えてよいのは、この三つのどれかが根拠になるときです。

根拠がないのに順番を変えると、答えが変わります。あとでやってみせます。

くふうの型をならべます

くふうは、いくつかの決まった形にまとまります。この決まった形を、くふうの型と呼びます。

ここでは六つあつかい、型ごとにいつ使うかをはっきりさせます。

かける順番を変える

見分け方は、かけて \(100\) や \(10\) になる組がないかです。

\(25\times(-17)\times 4\) では、\(25\) と \(4\) で \(100\) になります。

負の数は \(-17\) の \(1\) つで奇数個なので、符号は \(-\) です。

絶対値は \(25\times 4=100\)、\(100\times 17=1700\) です。答えは \(-1700\) になります。

確かめ

順序どおりの道　25 × (−17) = −425 、(−425) × 4 = −1700
くふうした道　　25 × 4 = 100 、100 × 17 = 1700 、符号は − で −1700
どちらも −1700

根拠は乗法の交換法則と乗法の結合法則です。\(4\) を動かし、先にかけました。

くくり出し

レッスン3で、同じ数が二か所にかけられていたら、その数をかっこの外へ出せます。 と決めました。名前をつけましょう。

同じ数が二か所にかけられているとき、その数をかっこの外へ出すことを、くくり出しといいます。

見分け方は、同じ数が二か所にかけられていないかです。

\((-24)\times 17+(-24)\times 13\) では、\(-24\) が二か所にあります。

外へ出すと \((-24)\times(17+13)\) で、かっこの中は \(30\) です。答えは \(-720\) です。

確かめ

くくり出さない道　(−24) × 17 = −408 、(−24) × 13 = −312 、−408 + (−312) = −720
くくり出した道　　17 + 13 = 30 、(−24) × 30 = −720
どちらも −720

根拠は分配法則です。くくり出しは、分配法則を右から左へ読んだものです。

符号ごと、かっこの外へ出します。 \(-\) を置いていってはいけません。

きりのよい数に寄せる

こんどは、分配法則をふつうの向きに使います。見分け方は、きりのよい数の近くにないかです。

\(98\times 7\) を見てください。\(98\) は \(100\) の近くにあります。

\(98\) を \(100-2\) と書きかえると、\((100-2)\times 7\) になります。

引き算のときは、引いた形のまま配ります。 \(100\times 7-2\times 7\) です。

\(700-14=686\) になりました。

確かめ

そのまま計算　98 × 7 = 686
寄せて計算　　100 × 7 = 700 、2 × 7 = 14 、700 − 14 = 686
どちらも 686

\(103\times 6\) なら、\((100+3)\times 6\) と書きかえます。

たして 0 になる組を作る

見分け方は、反対の数どうしが混じっていないかです。

\(18-45+32+45\) には、\(-45\) と \(+45\) があります。加減の四つの手順 を使います。

①項に分ける（符号は項に含める）で、項は \(+18\)、\(-45\)、\(+32\)、\(+45\) の四つです。

②並べかえる（加法の交換法則・結合法則が根拠）で、\(-45\) と \(+45\) をとなりへ動かします。

③正の項の和と、負の項の和をそれぞれ求める で、\(18+32=50\)、\(-45+45=0\) です。

④合わせる で、\(50\) になります。

確かめ

順序どおりの道　18 − 45 = −27 、−27 + 32 = 5 、5 + 45 = 50
くふうした道　　−45 と +45 で 0 、18 + 32 = 50
どちらも 50

たして \(0\) になる組は、先に消してかまいません。 根拠は加法の交換法則と加法の結合法則です。

累乗を先に見る

累乗の中には、計算しなくても値が決まるものがあります。

見分け方は、底が \(-1\) や \(0\) や \(1\) の累乗がないかです。

底が負の数のときは、指数が偶数なら正、指数が奇数なら負になります。 \(-1\) の累乗は、これで決まります。

\((-1)^{25}\times 34+(-1)^{26}\times 34\) を見てください。

\((-1)^{25}\) は指数が奇数なので \(-1\)、\((-1)^{26}\) は偶数なので \(1\) です。

式は \(-34+34\) になり、答えは \(0\) です。

\(0\) は何乗しても \(0\) です。 \(1\) は何乗しても \(1\) です。

0 をかける組を見つける

\(0\) が \(1\) つでもあれば、積は \(0\) です。 と、セクション5のレッスン4で決めました。

見分け方は、積のどこかに \(0\) がないかです。\(0\) が、かっこの中にかくれていることもあります。

\((-47)\times\{26+(-26)\}\times 31\) では、かっこの中が \(26+(-26)=0\) です。

だから積は \(0\) です。\(47\) や \(31\) をかける手間はいりません。

かっこの中がたして \(0\) になっていないか、先に見てください。

見分け方を、一枚の表に

六つを一枚にまとめます。見るのは、式のどこかです。

下の二つは、順番を変えない型です。値が先に決まるので、手間が減ります。

さがす順番も決めておくと迷いません。手間の減り方が大きいものから見ます。

くふうが見つからないとき

型をひととおりさがしても、どれも当てはまらないことがあります。

そのときは、順序どおりに計算すればよいのです。

\(-4^{2}+91\div(-13)\) には、どの型も当てはまりません。

累乗で \(-16\)、次に除法で \(-7\)、最後に加減で \(-23\) です。

確かめ

−4 の 2 乗 = −(4 × 4) = −16 　91 ÷ (−13) = −7 　−16 + (−7) = −23

くふうできないことは、失敗ではありません。 順序があるから、いつでも答えに着けます。

例題1　かける順番を変える

次の計算をしなさい。

（1）\((-2)\times 39\times 50\)　（2）\((-7)\times 125\times 8\)

かけて \(100\) や \(1000\) になる組をさがします。符号は先に決めます。

かける絶対値は、（1）が \(|-2|\) の \(2\)、（2）が \(|-7|\) の \(7\) です。

確かめ

（1）順序どおり　(−2) × 39 = −78 、(−78) × 50 = −3900
（2）順序どおり　(−7) × 125 = −875 、(−875) × 8 = −7000
どちらも くふうした答えと そろった

答えの吟味

負の数はどちらも \(1\) つで奇数個なので、答えは負です。

答え　（1）\(-3900\)　（2）\(-7000\)

例題2　くくり出す

次の計算をしなさい。

（1）\(37\times 22+37\times 28\)　（2）\((-19)\times 43-(-19)\times 23\)

二か所にある同じ数を、符号ごと外へ出します。（2）で出すのは \(-19\) で、絶対値は \(|-19|\) の \(19\) です。

確かめ

（1）くくらない道　37 × 22 = 814 、37 × 28 = 1036 、814 + 1036 = 1850
（2）くくらない道　(−19) × 43 = −817 、(−19) × 23 = −437
　　　　　　　　　−817 − (−437) = −817 + 437 = −380
どちらも くくり出した答えと そろった

答えの吟味

（2）は引き算なので、かっこの中も引き算のまま残ります。

答え　（1）\(1850\)　（2）\(-380\)

例題3　文化祭で使う画用紙の代金

文化祭の展示で、\(1\) 枚 \(97\) 円の画用紙を \(8\) 枚買います。代金はいくらになりますか。

\(97\) は \(100\) の近くにあります。\(100-3\) と書きかえて配ります。

確かめ

そのまま計算　97 × 8 = 776
寄せて計算　　100 × 8 = 800 、3 × 8 = 24 、800 − 24 = 776
どちらも 776

答えの吟味

\(1\) 枚 \(100\) 円なら \(800\) 円です。それより少し安くなるはずです。

答え　\(776\) 円

例題4　たして 0 になる組を作る

次の計算をしなさい。

（1）\(-36+58-14+36\)　（2）\(-19+37-37-25\)

加減の四つの手順 で項に分け、反対の数の組をさがします。

確かめ

（1）順序どおり　−36 + 58 = 22 、22 − 14 = 8 、8 + 36 = 44
（2）順序どおり　−19 + 37 = 18 、18 − 37 = −19 、−19 − 25 = −44
どちらも くふうした答えと そろった

答えの吟味

（1）は残った項が \(+58\) と \(-14\) で、正のほうが大きいので答えも正です。

答え　（1）\(44\)　（2）\(-44\)

例題5　累乗と 0 を先に見る

次の計算をしなさい。

（1）\((-1)^{2026}\times 39\)　（2）\((-1)^{2027}\times 39\)　（3）\((19-19)\times(-8)^{3}\)

見るのは、指数が偶数か奇数かだけです。（3）はかっこの中が先です。

確かめ

（1）(−1) を 2026 個かける 。負の数が偶数個なので 1 　1 × 39 = 39
（2）(−1) を 2027 個かける 。負の数が奇数個なので −1 　(−1) × 39 = −39
（3）19 − 19 = 0 　0 × (−8) の 3 乗 = 0

答えの吟味

（3）の \((-8)^{3}\) は \(-512\) ですが、求めずに答えが決まります。

答え　（1）\(39\)　（2）\(-39\)　（3）\(0\)

セクション7で作った道具

\(5\) 回で作った道具を、ならべます。

今日の問い

\(25\times(-17)\times 4\) で、\(25\times 4\) を先に計算しました。

\(4\) は左から三番目です。順序を破ったように見えます。

乗法の交換法則があるので、\(25\times(-17)\times 4\) は \(25\times 4\times(-17)\) と書きかえられます。

書きかえた式を左から計算すれば、\(25\times 4\) が先です。順序どおりになっています。

根拠がないと、答えが変わります

根拠のない書きかえをやってみます。\(20-7\times 25\) です。

\(20-7\) を先にすると \(13\) で、\(13\times 25=325\) になります。

順序どおりなら \(7\times 25=175\) が先で、\(20-175=-155\) です。

確かめ

順序どおり　7 × 25 = 175 、20 − 175 = −155
勝手な書きかえ　20 − 7 = 13 、13 × 25 = 325
答えが そろわない

引き算とかけ算のあいだをまたいで入れかえてよい、という法則はありません。

くふうかどうかは、根拠があるかどうかで決まります。 楽そうに見えるかではありません。

よくある間違い

まちがい1：くふうのつもりで、順序を破る

\(6+4\times 21\) を計算する問題です。

✗ 6 + 4 = 10 で きりがよい
✗ 10 × 21
✗ = 210

きりのよい数を作ったつもりですが、たし算とかけ算をまたいでいます。

○ 4 × 21 = 84
○ 6 + 84 = 90
○ 答えは 90

誤答の \(210\) が、どの式の値かを見てみます。

210 は (6 + 4) × 21 の値 。もとの式に かっこは ない
誤答は 210 。正しい答え 90 とちがうので、まちがい

きりがよくなっても、根拠がなければ動かせません。

まちがい2：寄せたときに、かけ忘れる

\(99\times 4\) を、きりのよい数に寄せて計算する問題です。

✗ 99 = 100 − 1 だから
✗ 400 − 1
✗ = 399

\(100\) には \(4\) をかけたのに、\(1\) にはかけていません。配り残しです。

○ (100 − 1) × 4 = 100 × 4 − 1 × 4
○ = 400 − 4
○ = 396

そのまま計算して確かめます。

99 × 4 = 396 。誤答は 399 で ちがうので、まちがい

寄せた式でも、配る相手は二つとも同じです。

まちがい3：符号を見ずに、たして 0 の組にする

\(-38+45-38\) を計算する問題です。

✗ 38 と 38 で たして 0
✗ 残りは 45
✗ = 45

二つの \(38\) は、どちらも負の項です。反対の数どうしではありません。

○ 項は −38 と +45 と −38
○ 負の項の和は −38 + (−38) = −76
○ −76 + 45 = −31

順序どおりに計算して確かめます。

−38 + 45 = 7 、7 − 38 = −31
誤答は 45 。正しい答え −31 とちがうので、まちがい

たして \(0\) になる組は、符号がちがいます。

自分で確かめよう

紙に書いてから、答えを開いてください。まず、使えるくふうの型をさがすこと。

1. 次の式に使えるくふうの型の名前を答えなさい。計算はしなくてかまいません。 （1）\(50\times(-23)\times 2\)　（2）\(41\times 18-41\times 8\)　（3）\(-52+35+52\)　（4）\((-1)^{33}\times 66\)

2 から 13 までを計算しなさい。使えるくふうがあれば、使ってください。

2. \((-5)\times 29\times 20\)

3. \(53\times 24+53\times 76\)

4. \((-31)\times 62-(-31)\times 42\)

5. \(96\times 5\)

6. \(108\times 6\)

7. \(-41+73+41\)

8. \(58-92+42-8\)

9. \((-1)^{58}\times 87\)

10. \((-1)^{61}\times 87\)

11. \((-45)\times\{(-19)+19\}\times 77\)

12. \(88\div(-11)\times 7+24\)

13. \(\{-35+(-49)\}\div(-21)+9\)

14. \(25\times(-36)\times 4\) を、くふうした道と順序どおりの道で計算しなさい。

15. 次の計算はまちがっています。どこがまちがっているかを書き、正しく計算しなさい。

(−9) × 43 + (−9) × 57
= (−9) × (43 + 57)
= (−9) × 100
= 900

16. 式の順番を変えてよいのは、どんな根拠があるときですか。根拠になる法則を三つ書きなさい。

（1）50 × 2 = 100 　（2）41 が 二か所 　（3）−52 と +52 は 反対の数 　（4）指数 33 は 奇数

2. くふう　5 × 20 = 100 、100 × 29 = 2900 、符号は − で −2900
2. 順序どおり　(−5) × 29 = −145 、(−145) × 20 = −2900
3. くくり出し　24 + 76 = 100 、53 × 100 = 5300
3. くくらない道　53 × 24 = 1272 、53 × 76 = 4028 、1272 + 4028 = 5300
4. くくり出し　62 − 42 = 20 、(−31) × 20 = −620
4. くくらない道　(−31) × 62 = −1922 、(−31) × 42 = −1302
　　　　　　　　−1922 − (−1302) = −1922 + 1302 = −620

5. 寄せて　(100 − 4) × 5 = 500 − 20 = 480 　そのまま　96 × 5 = 480
6. 寄せて　(100 + 8) × 6 = 600 + 48 = 648 　そのまま　108 × 6 = 648
7. くふう　−41 と +41 で 0 、残りは 73
7. 順序どおり　−41 + 73 = 32 、32 + 41 = 73
8. くふう　正の項の和 58 + 42 = 100 、負の項の和 −92 − 8 = −100 、合わせて 0
8. 順序どおり　58 − 92 = −34 、−34 + 42 = 8 、8 − 8 = 0

9. 指数 58 は 偶数 。(−1) の 58 乗 = 1 　1 × 87 = 87
10. 指数 61 は 奇数 。(−1) の 61 乗 = −1 　(−1) × 87 = −87
11. (−19) + 19 = 0 　(−45) × 0 = 0 、0 × 77 = 0

12. 88 ÷ (−11) = −8 　−8 × 7 = −56 　−56 + 24 = −32
12. (−11) × (−8) = 88 　もどった
13. −35 + (−49) = −84 　−84 ÷ (−21) = 4 　4 + 9 = 13
13. (−21) × 4 = −84 　もどった

くふうした道　25 × 4 = 100 、100 × 36 = 3600 、符号は − で −3600
順序どおりの道　25 × (−36) = −900 、(−900) × 4 = −3600
どちらも −3600

○ (−9) × (43 + 57) = (−9) × 100 = −900

くくらない道　(−9) × 43 = −387 、(−9) × 57 = −513 、−387 + (−513) = −900
誤答は 900 。正しい答え −900 と符号がちがうので、まちがい

加法の交換法則・結合法則　たし算だけの式で 順番を 変えられる
乗法の交換法則・結合法則　かけ算だけの式で 順番を 変えられる
分配法則　配る向きと その逆の向き

次のレッスンへ

くふうの型と、見分け方がそろいました。

同じ数が二か所にかけられているとき、その数をかっこの外へ出すことを、くくり出しといいます。

いちばん大事なのは、順番を変えてよいのは、この三つのどれかが根拠になるときです。 ということです。

順序は動きません。かっこの中 → 累乗 → 乗除 → 加減、同じ優先順位のものは、左から順に。 です。

そして くふうできないことは、失敗ではありません。 型がなければ、順序どおりに計算します。

これでセクション7は終わりです。

次のセクションは「数の集合と素数」です。第1回は「自然数・整数・数の広がり」です。

こんどは計算のしかたではなく、数そのものを見ます。仲間に分けて、数がどこまで広がったのかを確かめます。

次のセクションへ　自然数・整数・数の広がり　→

クイズと理解チェックは、アプリで挑戦できます。