自然数・整数・数の広がり

このレッスンでできるようになること

• 自然数と整数を、決まった言い方で説明できる
• 数の仲間が入れ子になっていることを、図で示せる
• 「すべての〜」という文を、反例を一つ挙げてくずせる

前のレッスンの確認

• 正の数 … 0より大きい数
• 負の数 … 0より小さい数
• 0 … 正の数でも負の数でもない、境目の数
• 絶対値 … ある数を表す点と原点との距離
• 答えが出せないのなら、答えが出せるように数の範囲を広げてしまう。（セクション1のレッスン1「引けない引き算があった」）

絶対値は記号でも書きます。\(|-9|\) は \(9\) です。

ここからは、計算のしかたではなく、数そのものを見ます。

ここまでに出てきた数を、ならべてみる

セクション1からセクション7まで、いろいろな数が出てきました。いちど、ならべてみます。

\(5,\quad -3,\quad 0,\quad 0.4,\quad -\dfrac{2}{3},\quad -7\)

見た目はばらばらです。それでも、似たものどうしがあります。

\(5\) と \(-3\) と \(0\) と \(-7\) には、小数点も分数の形も出てきません。\(0.4\) と \(-\dfrac{2}{3}\) には出てきます。

このレッスンでは、数を仲間に分けます。分けたあとで、仲間どうしのつながりを見ます。

自然数

まず、ものの個数を数えるときの数から始めます。りんごが \(1\) 個、\(2\) 個、\(3\) 個、というときの数です。

小学校では、\(0\)、\(1\)、\(2\)、\(3\)、… をまとめて整数と呼びました。この中から \(0\) をのぞいたものに、新しい名前をつけます。

\(1\)、\(2\)、\(3\)、… のような正の整数を、自然数といいます。

\(1\) から始まって、いくらでも大きくなります。終わりはありません。

0 は自然数に入りません

つまずきやすいのは、\(0\) のあつかいです。

自然数は正の整数です。\(0\) は正の数でも負の数でもない、境目の数でした。

\(0\) は自然数ではありません。

\(0\) が整数であることは、中学でも変わりません。変わったのは、\(1\) から始まる仲間に自然数という名前がついたことです。

小学校で「整数」と言っていたものとは、そっくり同じではありません。

整数

セクション1で、数を \(0\) より小さい側へ広げました。広げた先にも、小数点や分数の形をもたない数がならんでいます。

\(-1\)、\(-2\)、\(-3\)、… のような数を、負の整数といいます。

これで三つの部分がそろいました。自然数と、\(0\) と、負の整数です。

自然数と \(0\) と負の整数を合わせたものを、整数といいます。

整数をならべると、次のようになります。

\(\dots,\quad -3,\quad -2,\quad -1,\quad 0,\quad 1,\quad 2,\quad 3,\quad \dots\)

左にも右にも、終わりがありません。小学校の整数には、左半分がありませんでした。

数の仲間は、入れ子になっている

自然数は、ぜんぶ整数です。その整数も、小数や分数もふくめた数の全体の中にあります。

\(0.4\) や \(-\dfrac{2}{3}\) は、いちばん外がわだけにある数です。三つの仲間を、箱で表してみます。

図から、大事なことが読み取れます。

内がわの箱に入っている数は、外がわの箱にも入っています。

だから \(7\) は、自然数であり、整数でもあります。仲間は一つとは限りません。

いっぽう、外がわの箱の数が内がわに入るとは限りません。\(-3\) は整数の箱にはありますが、自然数の箱にはありません。

同じ数が、いくつもの顔を持つ

ここからが、いちばん間違えやすいところです。書き方と、その書き方が表している数は、別のものです。

\(\dfrac{8}{4}\) は、たしかに分数の形をしています。けれども \(8\div 4\) は \(2\) です。

表しているのは \(2\) なので、整数の箱にも自然数の箱にも入ります。\(3.0\) も同じで、表しているのは \(3\) です。

仲間を決めるのは、見た目ではありません。その書き方が、どの数を表しているかです。

\(-6\) のほうは、見た目のとおり整数です。ただし \(0\) より小さいので、自然数の箱には入りません。

「すべての〜」と「一部の〜」

入れ子の図が読めると、数についての文が正しいかどうかを決められます。次の二つを見てください。

• すべての自然数は整数である
• すべての整数は自然数である

よく似ています。それでも、正しいのは上の文だけです。

下の文をくずすには、整数であって、自然数ではない数を一つ見つければ足ります。\(-3\) がそうです。

あてはまらない例のことを、反例といいます。

「すべての〜」は、反例を一つ挙げればくずれます。

上の文には、反例がありません。自然数の箱がまるごと整数の箱の中にあり、はみ出す数が一つもないからです。

例をいくつ挙げても、「すべて」は示せません

正しいことを示すときは、例を挙げるだけでは足りません。

\(1\) も \(2\) も \(3\) も整数だ、と確かめても、\(1000\) については何も言えていません。

自然数はいくらでもあるので、調べ終わる日は来ません。示すときは、図に戻って理由を書きます。

くずすときは反例を一つ、示すときは理由を一つ。

「一部の〜」は、逆になります。

「一部の〜」は、あてはまる例を一つ挙げれば示せます。

「一部の整数は自然数である」なら、\(5\) を一つ挙げれば足ります。

どこまで広げてきたのか

セクション1のレッスン1「引けない引き算があった」は、\(3-5\) から出発しました。自然数の中には、この答えがなかったのです。

答えが出せないのなら、答えが出せるように数の範囲を広げてしまう。

この考え方で、数は外へ外へと広がりました。今日の三つの箱が、その道すじです。

外へ行くほど、入っている数がふえます。ふえたぶんだけ、書ける答えもふえました。

では、どこまで広げれば足りるのでしょうか。それぞれの範囲の中で、四つの計算がいつでもできるかを調べれば分かります。

調べるのは次のレッスンです。今日は、広げてきた道すじをおさえてください。

例題1　自然数と整数に分ける

次の数を、自然数・整数・整数ではない数に分けなさい。

\(-8,\quad 4,\quad 0,\quad -2.4,\quad \dfrac{6}{7}\)

一つずつ、どの数を表しているかを見ます。分けたら、外がわの箱にも書いてください。

\(-8\) の絶対値は \(|-8|\) で \(8\) です。\(8\) は自然数ですが、いま分けるのは \(-8\) のほうです。

確かめ

分けた数 = 自然数 1 個 + 自然数でない整数 2 個 + 整数でない数 2 個 = 5 個
もとの数も 5 個なので、もれもダブりもない
自然数に入れた 4 は、整数にも書いてある

答えの吟味

自然数に入れた数は、整数にも入っていなければなりません。入れ子だからです。

答え　自然数 … \(4\)　整数 … \(-8\)、\(4\)、\(0\)　整数ではない数 … \(-2.4\)、\(\dfrac{6}{7}\)

例題2　見た目にまどわされない

次の数は整数ですか。整数であるものは、自然数かどうかも答えなさい。

（1）\(\dfrac{20}{5}\)　（2）\(-\dfrac{9}{2}\)　（3）\(-2.0\)　（4）\(\dfrac{0}{6}\)

形ではなく、その書き方がどの数を表しているかを先に求めます。

確かめ

（1）20 ÷ 5 = 4 　（2）9 ÷ 2 = 4.5 なので −4.5 　（3）−2.0 は −2 　（4）0 ÷ 6 = 0

答えの吟味

（1）と（4）は、どちらも分数の形です。それでも答えが分かれました。

答え　（1）整数であり自然数　（2）整数ではない　（3）整数だが自然数ではない　（4）整数だが自然数ではない

例題3　文が正しいかどうかを決める

次の文が正しいかどうかを答えなさい。正しくないものは、反例を一つ挙げなさい。

• （1）すべての自然数は \(0\) より大きい
• （2）すべての整数は \(0\) より大きい
• （3）一部の整数は \(0\) より小さい
• （4）すべての負の整数は整数である

「すべての〜」は反例をさがし、「一部の〜」はあてはまる例をさがします。

確かめ

（1）自然数は 1 から始まる 。1 より小さい自然数はない
（2）−4 は整数である 。−4 は 0 より大きくない → 反例になっている
（3）−2 は整数である 。−2 は 0 より小さい → 例になっている
（4）負の整数は、整数の一部として決めた 。外にはみ出す数はない

答えの吟味

（2）の反例は、整数であって、しかも \(0\) より大きくない数です。片方だけでは足りません。

答え　（1）正しい　（2）正しくない。反例は \(-4\)　（3）正しい　（4）正しい

例題4　反例をつくる

次の文はまちがっています。反例を一つずつ挙げて、まちがっていることを示しなさい。

• （1）小数点をつけて書かれた数は、すべて整数ではない
• （2）分数の形で書かれた数は、すべて整数ではない
• （3）自然数は、すべて \(10\) より小さい

反例は自分で作ってかまいません。文の言うとおりにならない数を用意します。

確かめ

（1）7.0 は 7 。7 は整数である
（2）18 ÷ 9 = 2 。2 は整数である
（3）23 は正の整数なので自然数 。23 は 10 より大きい

答えの吟味

どの反例も、文の話題に入っている数です。\(7.0\) は小数点つき、\(23\) は自然数です。

答え　（1）\(7.0\)　（2）\(\dfrac{18}{9}\)　（3）\(23\)

例題5　計算の答えは、どの仲間に入るか

次の計算の答えは、どの仲間に入りますか。

（1）\(11-6\)　（2）\(6-11\)　（3）\(5\div 2\)　（4）\(-28\div 7\)

先に計算してから、答えを箱にあてはめます。

確かめ

（1）5 + 6 = 11 　もどった
（2）−5 + 11 = 6 　もどった
（3）2.5 × 2 = 5 　もどった
（4）7 × (−4) = −28 　もどった

答えの吟味

（1）だけが自然数です。同じ二つの数でも、引く向きで仲間が変わります。

答え　（1）自然数であり整数　（2）整数　（3）整数ではない　（4）整数

今日の問い

「すべての整数は自然数である」が正しくないことを、人に示すには何を書けばよいのでしょうか。

書くのは一つだけです。\(-3\) は整数で、しかも自然数ではありません。反例が一つあれば、文はくずれます。

反対に、「すべての自然数は整数である」が正しいことは、例をいくつ挙げても示せません。

そこで入れ子の図に戻ります。自然数の箱がまるごと整数の箱の中にあり、はみ出す数は一つもありません。

くずすときは反例を一つ、示すときは理由を一つ。

この書き分けは、入試の記述でもそのまま使います。

よくある間違い

まちがい1：0 を自然数に入れてしまう

自然数を書き出す問題です。

✗ 自然数 … 0、1、2、3、…

小学校の整数のならびを、そのまま書いた形です。定義にあてはめて確かめます。

自然数 … 1、2、3、… のような正の整数
0 は正の数か → 0 は正の数でも負の数でもない、境目の数
正の数ではないので、自然数には入らない

○ 自然数 … 1、2、3、…

\(0\) は自然数ではありません。 ただし整数ではあります。落とさないでください。

まちがい2：絶対値が自然数だから、その数も自然数だと思う

\(-12\) が自然数かどうかを答える問題です。

✗ 12 は自然数だから、−12 も自然数

見ているのは \(-12\) ではなく、その絶対値です。\(|-12|\) は \(12\) ですが、\(12\) と \(-12\) は別の数でした。

○ −12 は 0 より小さい
○ 正の整数ではないので、自然数ではない
○ −12 は負の整数なので、整数ではある

絶対値が自然数でも、もとの数が自然数とは限りません。

まちがい3：反例を、話題の外から持ってくる

「すべての整数は自然数である」をくずす問題です。

✗ 反例は 0.5
✗ 0.5 は自然数ではないから

\(0.5\) は、たしかに自然数ではありません。ところが、そもそも整数でもありません。

この文の話題は整数です。整数でない数を持ってきても、文には届きません。

○ 反例は −3
○ −3 は整数である
○ −3 は自然数ではない

反例は、話題に入っていて、しかもあてはまらない数です。

自分で確かめよう

紙に書いてから、答えを開いてください。分ける問題では、その書き方がどの数を表しているかを先に書くこと。

1. 次の数を、自然数・整数・整数ではない数に分けなさい。

\(-13,\quad 7,\quad 0,\quad -0.5,\quad \dfrac{3}{4},\quad -\dfrac{10}{2}\)

2. 次の数は整数ですか。整数であるものは、自然数かどうかも答えなさい。 （1）\(\dfrac{24}{8}\)　（2）\(-6.0\)　（3）\(\dfrac{7}{3}\)　（4）\(\dfrac{0}{9}\)

3. 次の文が正しいかどうかを答えなさい。正しくないものは、反例を一つ挙げなさい。

• （1）整数ではない数は、すべて負の数である
• （2）すべての負の整数は、\(0\) より小さい
• （3）一部の自然数は、\(100\) より大きい
• （4）すべての整数は、自然数か負の整数のどちらかである

4. \(\dfrac{9}{3}\) は自然数ですか。理由を書きなさい。

5. 自然数のうち、いちばん小さい数は何ですか。また、整数のうち、いちばん小さい数はありますか。

6. \(-16\) の絶対値は自然数ですか。また、\(-16\) そのものは自然数ですか。

7. \(0\) が自然数に入らないのは、なぜですか。

8. 小学校で「整数」と言っていたものと、このレッスンの整数は、どこがちがいますか。

9. \(6-14\) の答えは、どの仲間に入りますか。

10. \(4\div 5\) の答えは、どの仲間に入りますか。

11. 次の答えはまちがっています。どこがまちがっているかを説明し、正しく直しなさい。

7 分の 21 は 分数の形だから 整数ではない

12. 「すべての自然数は整数である」が正しいことを、図を使って説明しなさい。例をたくさん挙げるだけでは示せない理由も書きなさい。

分けた数 = 自然数 1 個 + 自然数でない整数 3 個 + 整数でない数 2 個 = 6 個
もとの数も 6 個なので、もれもダブりもない

（1）24 ÷ 8 = 3 　（2）−6.0 は −6 　（3）7 ÷ 3 は割り切れない 　（4）0 ÷ 9 = 0

（1）0.3 は整数ではない 。0.3 は負の数ではない → 反例になっている
（2）負の整数は 0 より小さい数として決めた 。はみ出す数はない
（3）150 は正の整数なので自然数 。150 は 100 より大きい → 例になっている
（4）0 は整数である 。0 は自然数でも負の整数でもない → 反例になっている

9 ÷ 3 = 3 　3 は正の整数 → 自然数
3 × 3 = 9 　もどった

1 より小さい自然数は 0 になるが、0 は自然数ではない → いちばん小さいのは 1
どんな整数にも、それより 1 小さい整数がある → いちばん小さい整数はない
−16 の絶対値は 16 　16 は自然数 　−16 は 0 より小さい → 自然数ではない

0 は正の数か → ちがう 　0 は自然数か → ちがう 　0 は整数か → そのとおり
小学校の整数 … 0、1、2、3、…
このレッスンの整数 … …、−3、−2、−1、0、1、2、3、…

6 − 14 = −8 　−8 + 14 = 6 　もどった
4 ÷ 5 = 0.8 　0.8 × 5 = 4 　もどった
−8 は小数点も分数の形もない → 整数 　0 より小さい → 自然数ではない
0.8 は小数点より下が 0 ではない → 整数ではない

3 × 7 = 21 　もどった
3 は整数の箱の中にある
だから「整数ではない」は合っていない

くずすとき … 反例を一つ挙げればよい
この文の反例は「自然数であって、整数ではない数」
そのような数は 自然数の箱にありながら 整数の箱の外にある数
→ 反例がないので、この文はくずれない

次のレッスンへ

数に名前がつきました。\(1\)、\(2\)、\(3\)、… のような正の整数を、自然数といいます。 自然数と \(0\) と負の整数を合わせたものを、整数といいます。

そして、内がわの箱に入っている数は、外がわの箱にも入っています。

仲間を決めるのは見た目ではありませんでした。文の正しさを決める道具も手に入りました。「すべての〜」は、反例を一つ挙げればくずれます。

ただし、答えていない問いが残っています。数はどこまで広げれば足りるのでしょうか。

次のレッスン「その範囲でいつでも計算できるか」では、それぞれの箱の中で四つの計算をやってみます。セクション1のレッスン1で立てた問いが、そこで回収されます。

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