たし算は数直線上の移動
このレッスンでできるようになること
- 最初の数を出発点、たす数を向きと距離として読める
- 正と正・正と負・負と正・負と負の四つの組み合わせを、同じ見方で計算できる
- 0をたしても位置が変わらない理由を説明できる
前のレッスンの確認
- 正の数 … 0より大きい数／負の数 … 0より小さい数
- 符号 … 数が正か負かを表す \(+\) と \(-\) のしるし
- 数直線 … 直線上に基準の点と目盛りをとり、数を点で表したもの
- 原点 … 数直線で0を表す点
- 数直線の三つの確認 … ①0の位置 ②正の向き ③1目盛りの大きさ
- 絶対値 … ある数を表す点と原点との距離。いつも0か正の数。記号は \(|-8| = 8\) のように書く
- 大小の原理 … 二つの数をくらべたとき、数直線で右にあるほうが大きい
- 2点間の距離を求める三つの手順 … ①反対側か同じ側かを見る ②反対側なら絶対値をたし、同じ側なら大きい絶対値から小さい絶対値を引く
線の上を動きはじめる
セクション2では、数直線を場所の道具として使いました。数を点で置き、原点からの距離を測り、左右で大小を決めました。点は置かれたまま動きませんでした。
このセクションでは、その同じ線の上を動きます。たし算が、動きを表す式になるからです。
小学校でも、たし算は動きでした。数直線の \(3\) のところから右へ \(2\) 進めば \(5\) に着きます。
このとき \(3\) は出発する場所、\(2\) は進むぶんでした。新しいのは、進む向きが二つあることです。右にも左にも行けます。
どちらへ行くかは、たす数の符号が決めます。東西の道で考えます。東を正の向きとします。
ある地点から東へ \(3\) m進み、そのあと西へ \(8\) m進んだとします。着いた場所は、出発した地点より西です。西へ動いたぶんも、符号を付ければ一本の式で書けます。
たし算のことを、加法という
たし算のことを 加法 といいます。\((+3) + (+5)\) も \((-2) + (-4)\) も加法の式です。
問題文では、たし算のかわりに加法と書かれることがあります。
たし算の役割分担
たし算の式には、二つの数が出てきます。二つは同じはたらきをしていません。
| 式の部分 | 数直線での役割 |
|---|---|
| 最初の数 | 出発点。どこから動きはじめるか |
| たす数の符号 | 向き。\(+\) なら右へ、\(-\) なら左へ |
| たす数の絶対値 | 距離。何目盛り進むか |
この読み分けをたし算の役割分担と呼びます。たす数だけが、二つの仕事をしています。符号で向きを決め、絶対値で距離を決めます。
\((+3) + (+5)\) を見ます。1目盛りが \(1\) の数直線を使います。
出発点は \(+3\) です。たす数 \(+5\) の符号は \(+\) なので、向きは右です。
\(+5\) の絶対値は \(5\) なので、距離は \(5\) 目盛りです。着いた点は \(+8\) でした。
\((+3) + (+5) = +8\)
数直線でたし算をする三つの手順
やることは、いつでも同じ三つです。
数直線でたし算をする三つの手順
- 最初の数を数直線に置く。ここが出発点
- たす数の符号を見て、進む向きを決める。\(+\) なら右、\(-\) なら左
- たす数の絶対値だけ目盛りを進み、着いた点を読む
手順2でつまずくと、答えが反対側に行ってしまいます。向きを決めるのは、たす数の符号だけです。 最初の数の符号は、出発点を決めるのに使い終わっています。
手順3では、たす数の絶対値を使います。距離に \(+\) や \(-\) は付きません。距離はいつも0か正の数だからです。
たす数が負のとき
\((+3) + (-8)\) を計算します。出発点は \(+3\) で、さっきと同じです。
たす数 \(-8\) の符号は \(-\) なので、向きは左になります。絶対値は \(8\) なので、距離は \(8\) 目盛りです。
矢印は原点を通りこして、左側まで行きました。着いた点は \(-5\) です。
\((+3) + (-8) = -5\)
たし算なのに、答えが出発点より小さくなりました。小学校のたし算では起きなかったことです。左へ動くたし算があるからです。
出発点が負のとき
こんどは出発点を負の数にします。\((-6) + (+7)\) を計算します。
出発点は \(-6\) です。たす数 \(+7\) の符号は \(+\) なので、向きは右です。距離は \(7\) 目盛りです。
\((-6) + (+7) = +1\)
式のなかに負の数があるので、左へ動きたくなるかもしれません。でも \(-6\) は出発点を決める数です。向きを決める仕事は、\(-6\) にはありません。
両方が負のとき
\((-2) + (-4)\) を計算します。出発点は \(-2\) で、原点より左です。
たす数 \(-4\) の符号は \(-\) なので、向きも左です。距離は \(4\) 目盛りです。
\((-2) + (-4) = -6\)
原点をまたぎませんでした。左からさらに左へ動いたので、原点からはもっと遠ざかりました。
四つの組み合わせを一枚にする
ここまでで四つの組み合わせがそろいました。並べて見ます。
四本とも、1目盛りが \(1\) で、まん中に原点があります。矢印の向きと長さだけがちがいます。
| 組み合わせ | 式 | 向き | 距離 | 答え |
|---|---|---|---|---|
| 正と正 | \((+3) + (+5)\) | 右 | \(5\) | \(+8\) |
| 正と負 | \((+3) + (-8)\) | 左 | \(8\) | \(-5\) |
| 負と正 | \((-6) + (+7)\) | 右 | \(7\) | \(+1\) |
| 負と負 | \((-2) + (-4)\) | 左 | \(4\) | \(-6\) |
四つとも、やったことはまったく同じです。 出発点に立ち、たす数の符号で向きを決め、たす数の絶対値だけ進みました。組み合わせごとに別のやり方を覚える必要はありません。
たしかに、答えの符号がどうなるかには決まりがあります。でも、その決まりは次の二つのレッスンで作ります。 ここでは数直線に戻って、目盛りを数えて答えを出してください。
0をたす、0にたす
\((+3) + 0\) を考えます。出発点は \(+3\) です。
たす数は \(0\) で、絶対値は \(0\) です。距離が \(0\) なので、一歩も進みません。
\((+3) + 0 = +3\)
こんどは \(0 + (-6)\) です。最初の数が \(0\) なので、出発点は原点です。たす数 \(-6\) の符号は \(-\) なので左へ、絶対値は \(6\) なので \(6\) 目盛り進みます。
\(0 + (-6) = -6\)
原点から左へ \(6\) 進んだ点は \(-6\) です。どんな数に \(0\) をたしても、その数のままです。
例題1 出発点・向き・距離を書き出す
\((-8) + (+5)\) を計算しなさい。出発点・向き・距離をそれぞれ書いてから答えなさい。
まず、たす数を符号と絶対値に切り分けてから、三つの手順を通します。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| 出発点は \(-8\) | 手順1。最初の数を数直線に置いた |
| \(+5\) の符号は \(+\) なので、向きは右 | 手順2。たす数の符号だけを見た |
| \(+5\) の絶対値は \(5\) なので、距離は \(5\) | 手順3。進む目盛りの数を決めた |
| \(-8\) から右へ \(5\) 進むと \(-3\) | 手順3。着いた点を読んだ |
確かめ
1 目盛りが 1 の数直線で、−8 から右へ 1 つずつ数える
−7 、−6 、−5 、−4 、−3 で 5 個。着いた点は −3
−8 と −3 は同じ側にあり、距離は 8 − 3 = 5 。合っている
答えの吟味
右へ動いたので、答えは出発点の \(-8\) より大きくなるはずです。\(-3\) は \(-8\) より右にあるので、大小の原理に合っています。
原点までは \(8\) 目盛りありましたが、進んだのは \(5\) 目盛りだけです。だから原点には届かず、答えは負のままでした。
答え \(-3\)
例題2 四つの組み合わせを続けて計算する
次の計算をしなさい。
（1）\((-4) + (+7)\) （2）\((+5) + (-6)\) （3）\((-2) + (-6)\) （4）\((+3) + (+7)\)
四問とも、組み合わせがちがいます。それでも通す手順は同じです。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| 出発点 \(-4\)、向きは右、距離は \(7\) | （1）手順1から3 |
| \(-4\) から右へ \(7\) で \(+3\) | （1）原点まで \(4\) 進み、さらに \(3\) 進んだ |
| 出発点 \(+5\)、向きは左、距離は \(6\) | （2）手順1から3 |
| \(+5\) から左へ \(6\) で \(-1\) | （2）原点まで \(5\) 戻り、さらに \(1\) 進んだ |
| 出発点 \(-2\)、向きは左、距離は \(6\) | （3）手順1から3 |
| \(-2\) から左へ \(6\) で \(-8\) | （3）原点から遠ざかった |
| 出発点 \(+3\)、向きは右、距離は \(7\) | （4）手順1から3 |
| \(+3\) から右へ \(7\) で \(+10\) | （4）原点から遠ざかった |
確かめ
（1）−4 と +3 は反対側。離れぐあいは 4 + 3 = 7 。進んだ距離と同じ
（2）+5 と −1 は反対側。離れぐあいは 5 + 1 = 6 。進んだ距離と同じ
（3）−2 と −8 は同じ側。離れぐあいは 8 − 2 = 6 。進んだ距離と同じ
（4）+3 と +10 は同じ側。離れぐあいは 10 − 3 = 7 。進んだ距離と同じ
答えの吟味
（1）と（4）は右へ動いたので、答えは出発点より大きくなりました。（2）と（3）は左へ動いたので、出発点より小さくなりました。
動いた向きと、答えの大小は必ずそろいます。 ここが合わなければ、どこかで向きをまちがえています。
答え （1）\(+3\) （2）\(-1\) （3）\(-8\) （4）\(+10\)
例題3 0がある式
次の計算をしなさい。
（1）\((-8) + 0\) （2）\(0 + (+5)\) （3）\(0 + 0\)
\(0\) が出てくる場所によって、出発点になるか、移動になるかが変わります。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| 出発点は \(-8\)、たす数は \(0\) | （1）手順1 |
| 距離が \(0\) なので進まず、\(-8\) のまま | （1）手順3 |
| 出発点は原点、向きは右、距離は \(5\) | （2）手順1から3 |
| 原点から右へ \(5\) で \(+5\) | （2）手順3 |
| 出発点は原点、距離は \(0\) | （3）原点にいたまま動かない |
確かめ
（1）−8 と答えの −8 は同じ点なので、離れぐあいは 0 。進んだ距離 0 と合っている
（2）原点と +5 の離れぐあいは 5 。進んだ距離 5 と合っている
（3）原点にいて動かないので、答えは 0
答えの吟味
（1）は \(0\) がたす数で、（2）は \(0\) が最初の数です。役割はちがいますが、どちらも答えは相手の数のままでした。\(0\) は「動かない」ことと「動きはじめの場所」の両方を表せます。
答え （1）\(-8\) （2）\(+5\) （3）\(0\)
例題4 小数と分数
\((+1.5) + (-2.5)\) を計算しなさい。
小数でも、やることは変わりません。ただし1目盛りの大きさを決めてから数えます。ここでは1目盛りを \(0.5\) にします。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| 1目盛りは \(0.5\) とする | 数直線の三つの確認のうち、③を決めた |
| 出発点は \(+1.5\) で、原点から右へ3目盛り | 手順1 |
| \(-2.5\) の符号は \(-\) なので、向きは左 | 手順2 |
| \(-2.5\) の絶対値は \(2.5\) で、\(2.5 \div 0.5 = 5\) 目盛り | 手順3。距離を目盛りの数に直した |
| 右へ3目盛りの点から左へ5目盛りで、原点の左へ2目盛り | 手順3 |
| 左へ2目盛りは \(0.5 \times 2 = 1\) なので \(-1\) | 手順3。目盛りの数を数に直した |
確かめ
+1.5 から左へ 1.5 進むと原点に着く
残りは 2.5 − 1.5 = 1 なので、原点からさらに左へ 1
原点から左へ 1 の点は −1 。合っている
答えの吟味
進んだ距離 \(2.5\) は、出発点の絶対値 \(1.5\) より大きい数です。だから原点を通りこして、答えは負になりました。原点に届くかどうかが、答えの符号の分かれ目です。
答え \(-1\)
今日の問い
組み合わせは四つもありました。それなのに、覚えることが一つで足りるのはなぜでしょうか。
答えは、読み取る中身がいつも同じ三つだからです。出発点・向き・距離の三つです。
| 読み取るもの | どこから読むか |
|---|---|
| 出発点 | 最初の数 |
| 向き | たす数の符号 |
| 距離 | たす数の絶対値 |
読み取り先が組み合わせによって入れかわることはありません。
だから、四つの組み合わせは「四つの別の計算」ではありません。同じ一つの動作を、ちがう場所で、ちがう向きにやっているだけです。
よくある間違い
まちがい1：最初の数の符号で向きを決めてしまう
\((-8) + (+3)\) を計算する問題です。
✗ −8 は負の数だから、左へ 3 進んで −11
数直線で数えて確かめます。
1 目盛りが 1 の数直線で、−8 から左へ 3 進むと −11 に着く
−11 は −8 より左なので、−8 より小さい
ところが、たした数 +3 は正の数で、右へ進むはずだった
\(-8\) の仕事は、出発点を決めることだけです。向きを決める仕事はたす数がします。
○ −8 から右へ 3 進んで −5
負の数が式にあるかどうかではなく、たす数の符号だけを見てください。
まちがい2：出発点を1つ目と数えてしまう
\((+5) + (-4)\) を計算する問題です。
✗ +5 を 1 つ目として、+5 、+4 、+3 、+2 と 4 つ数えて +2
出発点を数に入れてしまいました。数えるのは、点ではなく進んだ目盛りの数です。
+5 から +4 へ進んで 1 目盛り
+4 から +3 へ進んで 2 目盛り
+3 から +2 へ進んで 3 目盛り
+2 から +1 へ進んで 4 目盛り。着いた点は +1
○ +5 から左へ 4 進んで +1
誤答の \(+2\) で確かめます。\(+5\) と \(+2\) は同じ側にあるので、離れぐあいは \(5 - 2 = 3\) です。進むはずだった距離は \(4\) なので、\(1\) だけ足りません。
出発点は0歩目です。動いてはじめて1目盛りになります。
まちがい3：0をたすと0になると思う
\((-4) + 0\) を計算する問題です。
✗ 0 をたしたから、答えは 0
たす数の \(0\) は、距離が \(0\) という意味です。行き先が原点だという意味ではありません。
出発点は −4 。たす数 0 の絶対値は 0 なので、進む距離は 0
一歩も動かないので、いる場所は −4 のまま
○ (−4) + 0 = −4
誤答の \(0\) で確かめます。\(-4\) から \(0\) まで動くには、右へ \(4\) 目盛り進まなければなりません。たす数が \(0\) なのに \(4\) 進むのは、おかしいと分かります。
\(0\) をたすのは「動かない」ことです。「\(0\) になる」ことではありません。
自分で確かめよう
紙に書いてから、答えを開いてください。計算のたびに、出発点・向き・距離の三つを書き出すこと。
出発点・向き・距離を書き出してから、答えを求めなさい。 （1）\((+3) + (-6)\) （2）\((-2) + (+5)\)
次の計算をしなさい。 （1）\((+7) + (+5)\) （2）\((-6) + (-2)\) （3）\((-8) + (+7)\) （4）\((+3) + (-4)\)
次の計算をしなさい。 （1）\((+5) + 0\) （2）\(0 + (-2)\)
\(\left(+\dfrac{1}{2}\right) + \left(-\dfrac{3}{4}\right)\) を計算しなさい。1目盛りを \(\dfrac{1}{4}\) とした数直線で考えなさい。
東を正の向きとします。ある人が地点Oから東へ \(7\) m進み、そのあと西へ \(2\) m進みました。着いた場所は地点Oからどちら向きに何mのところですか。式も書きなさい。
水そうの水位が \(6\) cm下がり、そのあと \(3\) cm上がりました。上がるほうを正の向きとして、はじめの水位からの変わり方を式で表し、答えを場面の言葉で書きなさい。
次の答えはまちがっています。どこがまちがっているかを説明し、正しく直しなさい。
(−2) + (+3) を求める。
−2 から出発して、左へ 3 進むので −5 。
答えと考え方
1. どちらも、たす数を符号と絶対値に切り分けてから動きます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| 出発点は \(+3\)、向きは左、距離は \(6\) | （1）手順1から3 |
| \(+3\) から左へ \(6\) 進んで \(-3\) | （1）原点まで \(3\) 戻り、さらに \(3\) 進んだ |
| 出発点は \(-2\)、向きは右、距離は \(5\) | （2）手順1から3 |
| \(-2\) から右へ \(5\) 進んで \(+3\) | （2）原点まで \(2\) 進み、さらに \(3\) 進んだ |
確かめ
（1）+3 と −3 は原点をはさんで反対側。離れぐあいは 3 + 3 = 6 で、進んだ距離と同じ
（2）−2 と +3 は原点をはさんで反対側。離れぐあいは 2 + 3 = 5 で、進んだ距離と同じ
答えの吟味
（1）は左、（2）は右へ動きました。向きと答えの大小がそろっています。
答え （1）\(-3\) （2）\(+3\)
2. 通す手順はどれも同じです。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| 出発点 \(+7\)、向きは右、距離は \(5\) で \(+12\) | （1）原点から遠ざかった |
| 出発点 \(-6\)、向きは左、距離は \(2\) で \(-8\) | （2）原点から遠ざかった |
| 出発点 \(-8\)、向きは右、距離は \(7\) で \(-1\) | （3）原点まで \(8\) 必要だが \(7\) しか進まない |
| 出発点 \(+3\)、向きは左、距離は \(4\) で \(-1\) | （4）原点まで \(3\) 戻り、さらに \(1\) 進んだ |
確かめ
（1）+7 と +12 は同じ側。離れぐあいは 12 − 7 = 5 。進んだ距離と同じ
（2）−6 と −8 は同じ側。離れぐあいは 8 − 6 = 2 。進んだ距離と同じ
（3）−8 と −1 は同じ側。離れぐあいは 8 − 1 = 7 。進んだ距離と同じ
（4）+3 と −1 は反対側。離れぐあいは 3 + 1 = 4 。進んだ距離と同じ
答えの吟味
（3）は原点をまたぎませんでした。原点までの距離 \(8\) より、進んだ距離 \(7\) のほうが小さかったからです。
（4）は原点までの距離 \(3\) より進んだ距離 \(4\) が大きいので、またぎました。またぐかどうかは、この二つをくらべれば分かります。
答え （1）\(+12\) （2）\(-8\) （3）\(-1\) （4）\(-1\)
3. \(0\) の場所を先に見ます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| 出発点は \(+5\)、たす数は \(0\) で距離は \(0\) | （1）一歩も動かない |
| 答えは \(+5\) のまま | （1）手順3 |
| 出発点は原点、向きは左、距離は \(2\) | （2）手順1から3 |
| 原点から左へ \(2\) 進んで \(-2\) | （2）手順3 |
確かめ
（1）+5 と +5 は同じ点なので、離れぐあいは 0 。進んだ距離 0 と合っている
（2）原点と −2 の離れぐあいは 2 。進んだ距離 2 と合っている
答えの吟味
ここでも、答えは相手の数のままでした。
答え （1）\(+5\) （2）\(-2\)
4. 1目盛りが \(\dfrac{1}{4}\) なので、まず二つの数を目盛りの数に直します。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4}\) なので、出発点は原点から右へ2目盛り | 手順1。分母を \(4\) にそろえた |
| \(-\dfrac{3}{4}\) の符号は \(-\) なので、向きは左 | 手順2 |
| 絶対値は \(\dfrac{3}{4}\) で、3目盛り | 手順3 |
| 右へ2目盛りの点から左へ3目盛りで、原点の左へ1目盛り | 手順3 |
| 左へ1目盛りは \(-\dfrac{1}{4}\) | 手順3。目盛りの数を数に直した |
確かめ
出発点から原点までは 2 目盛り
進むのは 3 目盛りなので、原点を 1 目盛りだけ通りこす
1 目盛りは 4 分の 1 なので、着いた点は 4 分の 1 だけ原点の左。合っている
答えの吟味
進んだ距離 \(\dfrac{3}{4}\) は、出発点の絶対値 \(\dfrac{1}{2}\) より大きい数です。だから原点を通りこして、答えは負になりました。分数でも、見るところは小数のときと同じでした。
答え \(-\dfrac{1}{4}\)
5. 数直線を使うので、先に三つの確認をそろえます。原点は地点O、正の向きは東、1目盛りは \(1\) mです。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| 東へ \(7\) m進むので \(+7\) | 正の向きと同じなので符号は \(+\) |
| 西へ \(2\) m進むので \(-2\) | 正の向きと反対なので符号は \(-\) |
| \((+7) + (-2)\) | 出発点が \(+7\)、移動が \(-2\) の式にした |
| 出発点 \(+7\)、向きは左、距離は \(2\) で \(+5\) | 手順1から3 |
確かめ
1 目盛りが 1 m の数直線で、地点 O から東へ 7 目盛りの点に立つ
そこから西へ 1 つずつ数えると、+6 、+5 で 2 個。着いた点は +5
+5 は原点より右なので、地点 O より東。合っている
答えの吟味
西へ進んだ \(2\) mより、東へ進んだ \(7\) mのほうが長い道のりです。だから地点Oより東側に残りました。答えの \(+5\) は正の数なので、東を表しています。
答え 式は \((+7) + (-2) = +5\)。地点Oから東へ \(5\) m
6. 上がるほうが正なので、下がる変わり方には \(-\) を付けます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(6\) cm下がるので \(-6\) | 正の向きと反対なので符号は \(-\) |
| \(3\) cm上がるので \(+3\) | 正の向きと同じなので符号は \(+\) |
| \((-6) + (+3)\) | 出発点が \(-6\)、移動が \(+3\) の式にした |
| 出発点 \(-6\)、向きは右、距離は \(3\) で \(-3\) | 手順1から3 |
確かめ
1 目盛りが 1 cm の数直線で、はじめの水位を原点とする
−6 から右へ 1 つずつ数えると、−5 、−4 、−3 で 3 個。着いた点は −3
−3 は原点より左なので、はじめより低い。合っている
答えの吟味
上がった \(3\) cmより、下がった \(6\) cmのほうが大きい数です。だから原点には届かず、はじめの水位より低いままでした。
答え 式は \((-6) + (+3) = -3\)。はじめの水位より \(3\) cm低い
7. 向きを最初の数の符号で決めてしまったところがまちがいです。
出発点を \(-2\) にしたところまでは合っています。落ちているのは手順2です。
たす数は +3 で、符号は +
+ なので、進む向きは右
−2 が負の数であることは、向きとは関係がない
確かめ
1 目盛りが 1 の数直線で、−2 から右へ 1 つずつ数える
−1 、0 、+1 で 3 個。着いた点は +1
誤答の −5 は、−2 から左へ 3 進んだ点。たす数が負のときの答え
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| 出発点は \(-2\) | 手順1。ここは合っていた |
| \(+3\) の符号は \(+\) なので、向きは右 | 手順2。落ちていたのはこの行 |
| 距離は \(3\) で、\(-2\) から右へ \(3\) 進んで \(+1\) | 手順3 |
答えの吟味
正の数をたしたのに、誤答の \(-5\) は出発点の \(-2\) より小さくなっています。右へ動いたなら大きくなるはずです。向きと大小がそろっているかを見れば、この取りちがえに気づけます。
答え \(+1\)
次のレッスンへ
数直線があれば、どんな組み合わせでも答えが出せるようになりました。出発点に立って、たす数の符号で向きを決め、絶対値だけ進む。やることはこれだけでした。
ただし、いつも数直線をかいて目盛りを数えるのは大変です。けたの大きい数になると、線が長くなりすぎます。
次のレッスン「同じ符号の数をたす」では、まず向きがそろっている場合だけを取り出します。同じ向きへの移動が重なると、動きにはっきりした特徴が出ます。数直線をかかずに答えを出す方法を、そこから作ります。
クイズと理解チェックは、アプリで挑戦できます。