同じ符号の数をたす
このレッスンでできるようになること
- 同じ向きの移動が重なると、向きは変わらず距離だけが増えることを説明できる
- 同じ符号の数のたし算を、符号を決める段階と絶対値をたす段階に分けて計算できる
- 小数や分数でも、同じ二つの段階で計算できる
前のレッスンの確認
- 符号 … 数が正か負かを表す \(+\) と \(-\) のしるし。\(+\) は省略できるが、\(-\) は省略できない
- 絶対値 … ある数を表す点と原点との距離。いつも0か正の数。縦線ではさんで \(|-5|\) と書き、\(|-5| = 5\) です
- たし算の役割分担 … 最初の数が出発点、たす数の符号が向き、たす数の絶対値が距離
- 数直線でたし算をする三つの手順 … ①最初の数を数直線に置く。ここが出発点 ②たす数の符号を見て、進む向きを決める。\(+\) なら右、\(-\) なら左 ③たす数の絶対値だけ目盛りを進み、着いた点を読む
向きがそろっている場合を取り出す
前のレッスンでは、四つの組み合わせを数直線で計算しました。どれも同じ三つの手順で答えが出ました。
そのうち二つには、共通の特徴があります。正の数に正の数をたす場合と、負の数に負の数をたす場合です。
この二つでは、原点から出発点へ向かう向きと、出発点から動く向きがそろいます。同じ向きの移動が二回続くわけです。
ここではその場合だけを取り出します。数直線をかかずに答えを出せるところまで持っていきます。
右へ動いて、さらに右へ
\((+9) + (+12)\) を見ます。1目盛りが \(1\) の数直線を使います。
出発点は \(+9\) です。\(+9\) は、原点から右へ \(9\) のところにあります。
たす数 \(+12\) の符号は \(+\) なので、向きは右です。絶対値は \(12\) なので、距離は \(12\) です。
原点から右へ \(9\) 進み、そこからさらに右へ \(12\) 進みました。合わせると、原点から右へ \(21\) です。
\((+9) + (+12) = +21\)
途中で一度も左へ戻っていません。だから着いた点は、原点の右側のままです。
左へ動いて、さらに左へ
こんどは \((-5) + (-11)\) を見ます。
出発点は \(-5\) で、原点から左へ \(5\) のところです。たす数 \(-11\) の符号は \(-\) なので、向きは左です。距離は \(11\) です。
原点から左へ \(5\) 進み、そこからさらに左へ \(11\) 進みました。合わせて、原点から左へ \(16\) です。
\((-5) + (-11) = -16\)
こんども向きは変わっていません。増えたのは、原点からの距離だけでした。
二枚の図から取り出せること
二つの例を並べます。
| 式 | 原点から見た向き | 原点からの距離 | 答え |
|---|---|---|---|
| \((+9)+(+12)\) | 右のまま | \(9\) と \(12\) を合わせて \(21\) | \(+21\) |
| \((-5)+(-11)\) | 左のまま | \(5\) と \(11\) を合わせて \(16\) | \(-16\) |
同じ向きの移動が重なると、向きは変わりません。増えるのは距離だけです。
数直線では向きと距離でしたが、式では符号と絶対値です。言いかえてみます。
- 向きが変わらない → 答えの符号は、二つの数に共通する符号のまま
- 距離が増える → 答えの絶対値は、二つの絶対値をたしたもの
なぜ規則にするのか
ここで、いったん立ち止まります。数直線があれば答えは出せるのに、なぜ言葉の手順に直すのでしょうか。
理由は、数直線は毎回かけないからです。\((-13) + (-17)\) を図でやろうとすると、\(30\) 目盛り以上の線がいります。
けたが増えれば、線は紙に収まらなくなります。目盛りを数える回数も増え、数えまちがいも起きます。
だから、図で確かめたことを短い手順にしておきます。規則は覚えるために作るのではありません。一度目で確かめたことを、次からは線をかかずにくり返すためのものです。
同じ符号の数をたす二つの段階
同じ符号の数をたす二つの段階
- 共通の符号を、そのまま答えの符号にする
- 二つの絶対値をたす
\((-13) + (-17)\) でやってみます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| 二つの符号はどちらも \(-\) | 段階1。共通の符号を見つけた |
| 答えの符号は \(-\) | 段階1。共通の符号をそのまま使った |
| \(13 + 17 = 30\) | 段階2。二つの絶対値をたした |
| 答えは \(-30\) | 符号と絶対値を組み合わせた |
\((-13) + (-17) = -30\)
たし算の答えのことを和といいます。段階2でしているのは、二つの絶対値の和を求めることです。
正の数どうしでも段階は同じ
\((+15) + (+12)\) も、同じ二つの段階で計算します。
段階1では、どちらの符号も \(+\) です。だから答えの符号は \(+\) です。段階2では、絶対値の和 \(15 + 12 = 27\) を求めます。
\((+15) + (+12) = +27\)
正の数どうしのときは、小学校のたし算と同じ答えになります。新しく増えたのは、符号を決める段階だけです。
小数や分数でも変わらない
ここまでは、小数点のつかない数だけを使ってきました。小数や分数でも、二つの段階はそのまま使えます。
変わるのは段階2の中身だけです。小数のたし算になったり、分数のたし算になったりします。段階1のやり方は、どの数でも同じです。
例題1 二つの段階を書き出す
\((-11) + (-9)\) を計算しなさい。段階1と段階2を分けて書きなさい。
まず符号だけを見ます。数の大きさは、そのあとで考えます。二つの絶対値は \(|-11| = 11\) と \(|-9| = 9\) です。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| 二つの符号はどちらも \(-\) | 段階1。共通の符号を見つけた |
| 答えの符号は \(-\) | 段階1。共通の符号をそのまま使った |
| 絶対値は \(11\) と \(9\) | 段階2の準備 |
| \(11 + 9 = 20\) | 段階2。絶対値の和を求めた |
| 答えは \(-20\) | 符号と絶対値を組み合わせた |
確かめ
原点から左へ 11 進み、そこからさらに左へ 9 進む
左へ進んだ長さは 11 + 9 = 20
原点から左へ 20 の点は −20 。合っている
答えの吟味
左へ動いたので、答えは出発点の \(-11\) より小さくなるはずです。\(-20\) は \(-11\) より左にあるので、大小の原理に合っています。
答えの絶対値 \(20\) は、\(11\) よりも \(9\) よりも大きくなりました。同じ向きへ進みつづけたので、原点から遠ざかったからです。
答え \(-20\)
例題2 三つの計算を続けて
次の計算をしなさい。
（1）\((+13) + (+5)\) （2）\((-15) + (-11)\) （3）\((+17) + (+9)\)
三問とも、先に符号だけを決めてしまいます。絶対値の計算は、そのあとでまとめてします。（2）でいえば、\(|-15| = 15\) と \(|-11| = 11\) をたすことになります。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| （1）どちらも \(+\) なので、答えの符号は \(+\) | 段階1 |
| （1）\(13 + 5 = 18\) で、答えは \(+18\) | 段階2と組み合わせ |
| （2）どちらも \(-\) なので、答えの符号は \(-\) | 段階1 |
| （2）\(15 + 11 = 26\) で、答えは \(-26\) | 段階2と組み合わせ |
| （3）どちらも \(+\) なので、答えの符号は \(+\) | 段階1 |
| （3）\(17 + 9 = 26\) で、答えは \(+26\) | 段階2と組み合わせ |
確かめ
（1）原点から右へ 13 、さらに右へ 5 。合わせて右へ 18
（2）原点から左へ 15 、さらに左へ 11 。合わせて左へ 26
（3）原点から右へ 17 、さらに右へ 9 。合わせて右へ 26
答えの吟味
（2）と（3）は、絶対値の和がどちらも \(26\) になりました。ちがうのは符号だけです。
つまり、絶対値の計算だけでは答えは決まりません。符号を決める段階が、いつでも必要です。
答え （1）\(+18\) （2）\(-26\) （3）\(+26\)
例題3 小数と分数
次の計算をしなさい。
（1）\((-3.4) + (-0.6)\) （2）\(\left(+\dfrac{2}{5}\right) + \left(+\dfrac{5}{6}\right)\)
段階1は今までと同じです。段階2で、小数のたし算と分数のたし算をします。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| （1）どちらも \(-\) なので、答えの符号は \(-\) | 段階1 |
| （1）\(3.4 + 0.6 = 4\) | 段階2。小数のたし算 |
| （1）答えは \(-4\) | 組み合わせた |
| （2）どちらも \(+\) なので、答えの符号は \(+\) | 段階1 |
| （2）\(\dfrac{2}{5} = \dfrac{12}{30}\)、\(\dfrac{5}{6} = \dfrac{25}{30}\) | 段階2の準備。分母を \(30\) にそろえた |
| （2）\(\dfrac{12}{30} + \dfrac{25}{30} = \dfrac{37}{30}\) | 段階2。分数のたし算 |
| （2）答えは \(+\dfrac{37}{30}\) | 組み合わせた |
確かめ
（1）4 から 0.6 を引くと 3.4 に戻る。絶対値の計算は合っている
左へ 3.4 進んだあと、さらに左へ 0.6 。原点の左側のまま
（2）30 分の 37 から 30 分の 25 を引くと 30 分の 12
30 分の 12 は 5 分の 2 に戻る。絶対値の計算は合っている
答えの吟味
（1）は答えがちょうど \(-4\) になりました。小数点以下が消えても、符号は \(-\) のままです。
（2）の答えは \(1\) より大きい数です。正の数どうしをたして原点から遠ざかったので、これでよいと分かります。
答え （1）\(-4\) （2）\(+\dfrac{37}{30}\)
今日の問い
同じ符号の数をたすときは、絶対値を計算する前に答えの符号を決めてしまえます。なぜ、先に決めてよいのでしょうか。
理由は、移動の途中で原点をまたがないからです。
出発点は、原点から見てどちらか一方の側にあります。そこから動く向きは、原点から出発点へ向かう向きと同じでした。
だから進めば進むほど、原点から遠ざかります。原点に近づくことはありません。
原点をまたがなければ、着いた点も出発点と同じ側に残ります。側が変わらないので、符号も変わりません。
| 見ていること | 同じ符号のたし算では |
|---|---|
| 原点をまたぐか | またがない |
| 出発点と着いた点の側 | 同じ側 |
| 答えの符号 | 二つの数と同じ |
| 原点からの距離 | 必ず増える |
次のレッスンで扱う組み合わせでは、ここがちがいます。反対向きに動くので、原点に近づき、またぐこともあります。だから符号を先には決められません。
よくある間違い
まちがい1：マイナスが二つあるから正になると考える
\((-17) + (-11)\) を計算する問題です。
✗ (−17) + (−11) = +28
数直線の移動に戻して確かめます。
出発点の −17 は、原点より左にある
たす数 −11 の符号は − なので、進む向きは左
左へ動いたのに、+28 は原点より右にある
左へ動いて右側に着くことはありません。
○ (−17) + (−11) = −28
マイナスの個数を数えるのではなく、進む向きを見てください。 向きが左のままなら、答えも原点の左側の数です。
まちがい2：絶対値をたすところで引いてしまう
\((-15) + (-9)\) を計算する問題です。
✗ 符号は − 。絶対値は 15 − 9 = 6 。答えは −6
段階1は合っています。落ちているのは段階2です。
原点から左へ 15 進み、そこからさらに左へ 9 進む
同じ向きへ進みつづけたので、原点からは遠ざかるはず
ところが −6 は、−15 より原点に近い
遠ざかったはずなのに、近づいた答えになっています。
○ 符号は − 。絶対値は 15 + 9 = 24 。答えは −24
重なった距離は増えます。減ることはありません。
まちがい3：答えの符号を書き忘れる
\((-12) + (-5)\) を計算する問題です。
✗ 12 + 5 = 17 。答えは 17
絶対値のたし算だけで止まっています。段階1をしていません。
符号のない 17 は、+17 と同じ意味
+ は省略できるが、− は省略できない
だから 17 と書くと、原点の右側の点を答えたことになる
出発点は原点の左側で、動く向きも左でした。右側に着くはずがありません。
○ (−12) + (−5) = −17
絶対値の計算が終わったら、必ず符号を書き足してください。
自分で確かめよう
紙に書いてから、答えを開いてください。段階1と段階2を、必ず分けて書くこと。
二つの段階を書き出してから、答えを求めなさい。 （1）\((+12) + (+11)\) （2）\((-17) + (-12)\)
次の計算をしなさい。 （1）\((+9) + (+13)\) （2）\((-11) + (-12)\) （3）\((+15) + (+17)\) （4）\((-9) + (-13)\)
次の計算をしなさい。 （1）\((-2.8) + (-1.6)\) （2）\(\left(-\dfrac{5}{6}\right) + \left(-\dfrac{1}{6}\right)\)
東を正の向きとします。ある人が地点Oから西へ \(11\) m進み、そのあとさらに西へ \(13\) m進みました。式を書き、着いた場所を地点Oからの向きと長さで答えなさい。
上がるほうを正の向きとします。水そうの水位が \(5\) cm下がり、そのあとさらに \(9\) cm下がりました。式を書き、答えを場面の言葉で書きなさい。
次の計算はまちがっています。どちらの段階がまちがっているかを書き、正しく直しなさい。
(−4.7) + (−2.3)
共通の符号は − 。
絶対値は 4.7 − 2.3 = 2.4 。
答えは −2.4 。
- 同じ符号の数をたすと、答えの符号がもとの二つの数と同じになります。その理由を、数直線の移動の言葉で説明しなさい。
答えと考え方
1. どちらも、符号を先に決めてから絶対値をたします。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| （1）どちらも \(+\) なので、答えの符号は \(+\) | 段階1 |
| （1）\(12 + 11 = 23\) で、答えは \(+23\) | 段階2と組み合わせ |
| （2）どちらも \(-\) なので、答えの符号は \(-\) | 段階1 |
| （2）\(17 + 12 = 29\) で、答えは \(-29\) | 段階2と組み合わせ |
確かめ
（1）原点から右へ 12 、さらに右へ 11 。合わせて右へ 23
（2）原点から左へ 17 、さらに左へ 12 。合わせて左へ 29
答えの吟味
（1）の答えの絶対値 \(23\) は、\(12\) よりも \(11\) よりも大きい数です。（2）の \(29\) も、\(17\) よりも \(12\) よりも大きい数です。どちらも原点から遠ざかりました。
答え （1）\(+23\) （2）\(-29\)
2. 四問とも、通す段階は同じです。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| （1）符号は \(+\)、\(9 + 13 = 22\) で \(+22\) | 段階1と2 |
| （2）符号は \(-\)、\(11 + 12 = 23\) で \(-23\) | 段階1と2 |
| （3）符号は \(+\)、\(15 + 17 = 32\) で \(+32\) | 段階1と2 |
| （4）符号は \(-\)、\(9 + 13 = 22\) で \(-22\) | 段階1と2 |
確かめ
（1）原点から右へ 9 、さらに右へ 13 。合わせて右へ 22
（2）原点から左へ 11 、さらに左へ 12 。合わせて左へ 23
（3）原点から右へ 15 、さらに右へ 17 。合わせて右へ 32
（4）原点から左へ 9 、さらに左へ 13 。合わせて左へ 22
答えの吟味
（1）と（4）は、絶対値の和がどちらも \(22\) です。使った数の絶対値が同じだからです。
ちがうのは向きだけでした。右へ動いた（1）は正、左へ動いた（4）は負になりました。
答え （1）\(+22\) （2）\(-23\) （3）\(+32\) （4）\(-22\)
3. 段階1は今までと同じです。段階2の計算だけが変わります。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| （1）どちらも \(-\) なので、答えの符号は \(-\) | 段階1 |
| （1）\(2.8 + 1.6 = 4.4\) で、答えは \(-4.4\) | 段階2と組み合わせ |
| （2）どちらも \(-\) なので、答えの符号は \(-\) | 段階1 |
| （2）\(\dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{6}{6} = 1\) で、答えは \(-1\) | 段階2と組み合わせ |
確かめ
（1）4.4 から 1.6 を引くと 2.8 に戻る。絶対値の計算は合っている
（2）6 分の 6 は 1 。1 から 6 分の 1 を引くと 6 分の 5 に戻る
答えの吟味
（2）は約分すると \(1\) になりました。分数で書いても小数点のない数になっても、符号は \(-\) のままです。
答え （1）\(-4.4\) （2）\(-1\)
4. 東が正なので、西へ進む移動には \(-\) を付けます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| 西へ \(11\) m進むので \(-11\) | 正の向きと反対なので符号は \(-\) |
| さらに西へ \(13\) m進むので \(-13\) | 正の向きと反対なので符号は \(-\) |
| \((-11) + (-13)\) | 出発点が \(-11\)、移動が \(-13\) の式にした |
| 符号は \(-\)、\(11 + 13 = 24\) で \(-24\) | 段階1と2 |
確かめ
1 目盛りが 1 m の数直線で、地点 O を原点とする
西へ 11 進んだ点から、さらに西へ 13 進む
西へ進んだ長さは 11 + 13 = 24 。着いた点は −24
答えの吟味
二回とも西へ進んだので、地点Oより西にいるはずです。答えの \(-24\) は負の数なので、西を表しています。
答え 式は \((-11) + (-13) = -24\)。地点Oから西へ \(24\) m
5. 上がるほうが正なので、下がる変わり方には \(-\) を付けます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(5\) cm下がるので \(-5\) | 正の向きと反対なので符号は \(-\) |
| さらに \(9\) cm下がるので \(-9\) | 正の向きと反対なので符号は \(-\) |
| \((-5) + (-9)\) | 出発点が \(-5\)、移動が \(-9\) の式にした |
| 符号は \(-\)、\(5 + 9 = 14\) で \(-14\) | 段階1と2 |
確かめ
1 目盛りが 1 cm の数直線で、はじめの水位を原点とする
下がった長さは 5 + 9 = 14
はじめより低いので、答えは負の数。着いた点は −14
答えの吟味
二回とも下がったので、はじめの水位より低くなっているはずです。答えが負の数なので、場面と合っています。
答え 式は \((-5) + (-9) = -14\)。はじめの水位より \(14\) cm低い
6. まちがっているのは段階2です。
段階1は合っています。二つの符号はどちらも \(-\) なので、答えの符号は \(-\) でよいです。
落ちているのは、絶対値どうしをたすところです。引いてしまっています。
原点から左へ 4.7 進み、そこからさらに左へ 2.3 進む
同じ向きへ進みつづけたので、原点から遠ざかる
誤答の −2.4 は原点のすぐ近くで、出発点の −4.7 よりも原点に近い
確かめ
正しくは 4.7 + 2.3 = 7
原点から左へ 7 の点は −7
−7 は −4.7 より左にあるので、遠ざかっている。合っている
答え \(-7\)
7. 説明の中に、向きと距離の二つを入れてください。
同じ符号の数をたすときは、原点から出発点へ向かう向きと、出発点から動く向きがそろいます。同じ向きへ進みつづけるので、原点から遠ざかる一方です。
原点に近づくことがないので、途中で原点をまたぐこともありません。だから着いた点は、出発点と同じ側に残ります。
原点から見た側が符号でした。側が変わらないので、答えの符号ももとの二つの数と同じになります。
答え 同じ向きへ進みつづけるので原点をまたがず、着いた点が出発点と同じ側に残るから
次のレッスンへ
向きがそろっている場合は、数直線をかかずに計算できるようになりました。共通の符号を答えの符号にして、二つの絶対値をたす。この二つの段階だけでした。
ただし、これが使えるのは符号が同じときだけです。\((+12) + (-5)\) のように符号がちがうと、二つの移動は反対を向きます。反対向きに動くと、進んだぶんが打ち消し合います。
次のレッスン「異なる符号の数をたす」では、この打ち消し合いを数直線で見ます。そのうえで、符号のちがう場合の手順を作ります。
クイズと理解チェックは、アプリで挑戦できます。