異なる符号の数をたす
このレッスンでできるようになること
- 反対向きの移動が打ち消し合うことを、数直線で説明できる
- 異なる符号の数のたし算を、三つの段階に分けて計算できる
- 答えの符号を決めているのが絶対値であることを説明できる
前のレッスンの確認
- 絶対値 … ある数を表す点と原点との距離。\(|-3| = 3\) のように書く。いつも0か正の数
- たし算の役割分担 … 最初の数が出発点、たす数の符号が向き、たす数の絶対値が距離
- 数直線でたし算をする三つの手順 … ①最初の数を数直線に置く。ここが出発点 ②たす数の符号を見て、進む向きを決める。\(+\) なら右、\(-\) なら左 ③たす数の絶対値だけ目盛りを進み、着いた点を読む
- 同じ符号の数をたす二つの段階 … ①共通の符号を、そのまま答えの符号にする ②二つの絶対値をたす
- 和 … たし算の答え
残りの組み合わせを取り出す
前のレッスンでは、向きがそろっている場合を扱いました。原点から出発点へ向かう向きと、出発点から動く向きが同じ場合です。
残っているのは、その二つがちがう場合です。正の数に負の数をたす場合と、負の数に正の数をたす場合になります。
このとき、二つの移動は反対を向きます。何が起きるのか、まず図で見ます。
右へ動いてから、左へもどる
\((+8) + (-3)\) を見ます。1目盛りが \(1\) の数直線を使います。
出発点は \(+8\) です。\(+8\) は、原点から右へ \(8\) のところにあります。
たす数 \(-3\) の符号は \(-\) なので、向きは左です。絶対値は \(3\) なので、距離は \(3\) です。
右へ \(8\) 進んだあと、左へ \(3\) もどりました。もどったぶんは、進んだぶんの一部を消しています。
右へ進んだ \(8\) のうち、\(3\) が打ち消されました。残ったのは \(8 - 3 = 5\) です。
着いた点は \(+5\) で、原点の右がわのままでした。
\((+8) + (-3) = +5\)
反対向きの移動は、重なった長さのぶんだけ打ち消し合います。 同じ符号のときのように距離は増えません。
原点をまたぐとき
こんどは \((-7) + (+16)\) を見ます。
出発点は \(-7\) で、原点から左へ \(7\) のところです。たす数 \(+16\) の符号は \(+\) なので、向きは右です。距離は \(16\) です。
進む距離 \(16\) は、原点までの \(7\) より大きい数です。だから原点で止まらず、通りこします。
原点までに \(7\) 使いました。残りは \(16 - 7 = 9\) です。
その \(9\) が、原点から右へ出たぶんです。着いた点は \(+9\) でした。
\((-7) + (+16) = +9\)
出発点は原点の左がわでしたが、答えは右がわになりました。
二枚の図から取り出せること
二つの例を並べます。
| 式 | 二つの絶対値 | 大きいほう | 原点をまたぐか | 答え |
|---|---|---|---|---|
| \((+8)+(-3)\) | \(8\) と \(3\) | \(8\)（\(+8\) のほう） | またがない | \(+5\) |
| \((-7)+(+16)\) | \(7\) と \(16\) | \(16\)（\(+16\) のほう） | またぐ | \(+9\) |
ちがうのはそこだけで、共通していることが二つあります。
答えの絶対値は、どちらも二つの絶対値の差でした。\(8 - 3 = 5\) と \(16 - 7 = 9\) です。
答えの符号は、どちらも絶対値が大きいほうの数の符号と同じでした。\(+8\) と \(+16\) の符号です。
なぜ大きいほうが残るのか
打ち消し合いは、二つの移動が重なっている長さのぶんだけ起きます。重なるのは、短いほうの長さまでです。
短いほうは、そこで使い切ってしまいます。長いほうには、まだ進むぶんが残ります。
だから残るのは、いつでも絶対値が大きいほうの向きです。残った長さは、大きい絶対値から小さい絶対値を引いたぶんになります。
| 見ていること | 異なる符号のたし算では |
|---|---|
| 二つの向き | 反対 |
| 重なった部分 | 打ち消し合って消える |
| 残る向き | 絶対値が大きいほうの向き |
| 残る長さ | 二つの絶対値の差 |
異なる符号の数をたす三つの段階
図でつかんだことを、線をかかずに使える形にします。
異なる符号の数をたす三つの段階
- 二つの絶対値をくらべる
- 絶対値が大きいほうの符号を、答えの符号にする
- 大きい絶対値から小さい絶対値を引く
\((-19) + (+8)\) でやってみます。\(|-19| = 19\)、\(|+8| = 8\) と書けます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| 絶対値は \(19\) と \(8\) | 段階1。二つの絶対値を書き出した |
| 大きいのは \(19\) で、\(-19\) の絶対値 | 段階1。どちらが大きいかを決めた |
| 答えの符号は \(-\) | 段階2。\(-19\) の符号を使った |
| \(19 - 8 = 11\) | 段階3。大きいほうから小さいほうを引いた |
| 答えは \(-11\) | 符号と絶対値を組み合わせた |
\((-19) + (+8) = -11\)
段階3で引き算をします。引く順番は、式に書かれた順番ではありません。 大きい絶対値が先で、小さい絶対値があとです。
答えの符号を決めるのは、書かれた順番ではない
ここがこのレッスンでいちばん大事なところです。
\((-19) + (+8)\) では負の数が先です。では \((+8) + (-19)\) ならどうでしょうか。正の数が先に書かれています。
先に書かれた数の符号が答えになるのなら、この二つは答えがちがうはずです。数直線で確かめます。
上の線では、\(-19\) から右へ \(8\) 進んで \(-11\) に着きました。下の線では、\(+8\) から左へ \(19\) 進んで \(-11\) に着きました。
出発点も進む向きもちがいます。それでも、着いた点は同じでした。
\((-19) + (+8) = -11 \qquad (+8) + (-19) = -11\)
三つの段階で見ても同じです。どちらの式でも、絶対値は \(19\) と \(8\) です。大きいほうは \(19\) で、その数は \(-19\) です。
だから答えの符号は \(-\) になります。先に書かれているかどうかは、いっさい関係がありません。
なぜ順番を変えてよいのかは、次のレッスンできちんと確かめます。ここでは、符号を決めているのは絶対値だとだけ覚えてください。
絶対値が等しいとき
二つの絶対値が等しいと、どうなるでしょうか。\((+16) + (-16)\) を見ます。
出発点は \(+16\) で、原点から右へ \(16\) のところです。たす数 \(-16\) の符号は \(-\) なので、向きは左です。距離も \(16\) です。
右へ \(16\) 進み、左へ \(16\) もどりました。二つの移動がすっかり打ち消し合っています。
残る向きがありません。残る長さも \(16 - 16 = 0\) です。
着いた点は原点でした。
\((+16) + (-16) = 0\)
\(0\) は正の数でも負の数でもないので、符号は付けません。絶対値が等しく符号がちがう二つの数をたすと、和はいつも \(0\) になります。
小数や分数でも変わらない
小数点のつかない数だけを使ってきました。小数や分数でも、三つの段階はそのまま使えます。
変わるのは段階3の中身だけで、小数や分数の引き算になります。
段階1で分数をくらべるときは、先に分母をそろえます。
例題1 三つの段階を書き出す
\((+21) + (-7)\) を計算しなさい。段階1から段階3までを分けて書きなさい。
まず絶対値だけを見ます。\(|+21| = 21\)、\(|-7| = 7\) です。どちらが大きいかが決まれば、符号も決まります。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| 絶対値は \(21\) と \(7\) | 段階1。二つの絶対値を書き出した |
| 大きいのは \(21\) で、\(+21\) の絶対値 | 段階1。どちらが大きいかを決めた |
| 答えの符号は \(+\) | 段階2。\(+21\) の符号を使った |
| \(21 - 7 = 14\) | 段階3。大きいほうから小さいほうを引いた |
| 答えは \(+14\) | 符号と絶対値を組み合わせた |
確かめ
原点から右へ 21 進み、そこから左へ 7 もどる
もどったぶんの 7 が打ち消され、右へ 21 − 7 = 14 が残る
原点から右へ 14 の点は +14 。合っている
答えの吟味
左へもどったので、答えは出発点の \(+21\) より小さくなるはずです。\(+14\) は \(+21\) より左にあり、大小の原理に合っています。
もどった距離 \(7\) は、原点までの \(21\) より小さい数です。だから原点には届かず、答えは正のままでした。
答え \(+14\)
例題2 三つの計算を続けて
次の計算をしなさい。
（1）\((+16) + (-3)\) （2）\((-19) + (+21)\) （3）\((+21) + (-24)\)
三問とも、先に絶対値をくらべて符号を決めてしまいます。引き算はそのあとです。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| （1）絶対値は \(16\) と \(3\) で、大きいのは \(16\) | 段階1 |
| （1）\(+16\) の符号を使って \(+\)、\(16 - 3 = 13\) で \(+13\) | 段階2と3 |
| （2）絶対値は \(19\) と \(21\) で、大きいのは \(21\) | 段階1 |
| （2）\(+21\) の符号を使って \(+\)、\(21 - 19 = 2\) で \(+2\) | 段階2と3 |
| （3）絶対値は \(21\) と \(24\) で、大きいのは \(24\) | 段階1 |
| （3）\(-24\) の符号を使って \(-\)、\(24 - 21 = 3\) で \(-3\) | 段階2と3 |
確かめ
（1）右へ 16 進んで、左へ 3 もどる。右に 13 残る
（2）左へ 19 進んで、右へ 21 もどる。原点をこえて右に 2 出る
（3）右へ 21 進んで、左へ 24 もどる。原点をこえて左に 3 出る
答えの吟味
（2）と（3）は原点をまたぎました。もどる距離のほうが、原点までより大きかったからです。
（2）は出発点が負なのに答えは正、（3）は出発点が正なのに答えは負になりました。出発点の符号は、答えの符号を決めていません。
答え （1）\(+13\) （2）\(+2\) （3）\(-3\)
例題3 小数と分数
次の計算をしなさい。
（1）\((+4.2) + (-1.9)\) （2）\(\left(-\dfrac{7}{10}\right) + \left(+\dfrac{3}{8}\right)\)
段階1と段階2は今までと同じです。段階3で小数と分数の引き算をします。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| （1）絶対値は \(4.2\) と \(1.9\) で、大きいのは \(4.2\) | 段階1 |
| （1）\(+4.2\) の符号を使って \(+\) | 段階2 |
| （1）\(4.2 - 1.9 = 2.3\) で、答えは \(+2.3\) | 段階3と組み合わせ |
| （2）\(\dfrac{7}{10} = \dfrac{28}{40}\)、\(\dfrac{3}{8} = \dfrac{15}{40}\) | 段階1の準備。分母を \(40\) にそろえた |
| （2）大きいのは \(\dfrac{28}{40}\) で、\(-\dfrac{7}{10}\) の絶対値 | 段階1 |
| （2）\(-\dfrac{7}{10}\) の符号を使って \(-\) | 段階2 |
| （2）\(\dfrac{28}{40} - \dfrac{15}{40} = \dfrac{13}{40}\) で、答えは \(-\dfrac{13}{40}\) | 段階3と組み合わせ |
確かめ
（1）2.3 に 1.9 をたすと 4.2 にもどる。差の計算は合っている
（2）40 分の 13 に 40 分の 15 をたすと 40 分の 28
40 分の 28 は 10 分の 7 にもどる。差の計算は合っている
答えの吟味
（1）はもどるぶんが少ないので、答えは正のままでした。
（2）は左へ進むぶんのほうが長いので、答えは負になりました。分数でも見るところは同じです。
答え （1）\(+2.3\) （2）\(-\dfrac{13}{40}\)
今日の問い
\((-19) + (+8)\) の答えは \(-11\) でした。式には \(-19\) と \(+8\) の二つの符号が出てきます。答えの \(-\) は、どちらから来たのでしょうか。
\(-19\) から来ました。書かれた場所が先だからではなく、絶対値が大きいほうだったからです。
| 答えの符号を決めるもの | 決めないもの |
|---|---|
| 二つの絶対値のくらべ方 | 式に書かれた順番 |
| 絶対値が大きいほうの数の符号 | 出発点の符号 |
| — | 負の数の個数 |
\((+8) + (-19)\) と書きかえても、絶対値は \(19\) と \(8\) のままです。くらべ方が変わらないので、答えも変わりません。
順番は手がかりになりません。見るのは絶対値だけです。
よくある間違い
まちがい1：あとに書かれた数の符号を使ってしまう
\((-19) + (+8)\) を計算する問題です。
✗ 絶対値の差は 19 − 8 = 11
✗ あとに書かれているのは +8 だから、答えは +11
数直線の移動に戻して確かめます。
出発点の −19 は、原点より左にある
右へ 19 進めば原点にとどくが、進むのは 8 だけ
8 では原点に届かないので、着いた点は原点より左のまま
原点に届いていないのに、\(+11\) は原点より右にあります。
○ 絶対値が大きいのは 19 で、その数は −19
○ 答えの符号は − 。19 − 8 = 11 なので −11
符号を決めるのは、書かれた場所ではありません。絶対値です。
まちがい2：絶対値をたしてしまう
同じ \((-19) + (+8)\) を、こう計算した場合です。
✗ 絶対値は 19 と 8
✗ 19 + 8 = 27 。大きいほうは −19 なので、答えは −27
段階2は合っています。落ちているのは段階3です。前のレッスンのやり方と混ざっています。
出発点は −19 。たす数 +8 の符号は + なので、進む向きは右
右へ動いたので、答えは −19 より大きくなるはず
ところが −27 は −19 より左にあり、小さくなっている
右へ動いたのに、原点から遠ざかった答えになっています。
○ 反対向きなので打ち消し合う。19 − 8 = 11
○ 答えは −11
符号がそろっているときはたし、ちがっているときは引きます。 どちらの向きかを先に見てください。
まちがい3：書かれた順に引こうとする
\((+16) + (-24)\) を計算する問題です。
✗ 絶対値は 16 と 24
✗ 書かれた順に 16 − 24 を計算する
ここで手が止まります。引く順番が反対になっているからです。
段階3は「大きい絶対値から小さい絶対値を引く」でした。引く順番は、式の並びとは関係がありません。
大きい絶対値は 24 、小さい絶対値は 16
24 − 16 = 8 なので、答えの絶対値は 8
絶対値が大きいのは −24 なので、答えの符号は −
○ (+16) + (−24) = −8
数直線でも確かめられます。右へ \(16\) 進んでから左へ \(24\) もどると、原点を \(8\) こえます。
先に大きいほうを決めておけば、引く順番でも符号でも迷いません。
自分で確かめよう
紙に書いてから、答えを開いてください。三つの段階を、必ず分けて書くこと。
三つの段階を書き出してから、答えを求めなさい。 （1）\((+16) + (-19)\) （2）\((-3) + (+21)\)
次の計算をしなさい。 （1）\((+8) + (-7)\) （2）\((-7) + (+8)\) （3）\((-19) + (+19)\) （4）\((+4.2) + (-19)\)
次の計算をしなさい。 （1）\(\left(+\dfrac{5}{9}\right) + \left(-\dfrac{5}{9}\right)\) （2）\((-1.9) + (+8)\)
東を正の向きとします。ある人が地点Oから西へ \(7\) m進み、そのあと東へ \(21\) m進みました。式を書き、着いた場所を地点Oからの向きと長さで答えなさい。
上がるほうを正の向きとします。水そうの水位が \(16\) cm下がり、そのあと \(16\) cm上がりました。式を書き、答えを場面の言葉で書きなさい。
次の計算はまちがっています。三つの段階のどこがまちがっているかを書き、正しく直しなさい。
(+8) + (−24)
絶対値は 8 と 24 。
24 − 8 = 16 。
先に書かれているのは +8 なので、答えは +16 。
- 異なる符号の二つの数をたすとき、書かれた順番を入れかえても答えが変わりません。その理由を、数直線の移動の言葉で説明しなさい。
答えと考え方
1. どちらも、絶対値をくらべて符号を決めてから引きます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| （1）絶対値は \(16\) と \(19\) で、大きいのは \(19\) | 段階1 |
| （1）\(-19\) の符号を使って \(-\)、\(19 - 16 = 3\) で \(-3\) | 段階2と3 |
| （2）絶対値は \(3\) と \(21\) で、大きいのは \(21\) | 段階1 |
| （2）\(+21\) の符号を使って \(+\)、\(21 - 3 = 18\) で \(+18\) | 段階2と3 |
確かめ
（1）右へ 16 進んで、左へ 19 もどる。原点をこえて左に 3 出る
（2）左へ 3 進んで、右へ 21 もどる。原点をこえて右に 18 出る
答えの吟味
（1）は最初の数が正なのに答えは負、（2）は最初の数が負なのに答えは正です。どちらも原点をまたぎました。
もどる距離のほうが大きければ、必ずまたぎます。
答え （1）\(-3\) （2）\(+18\)
2. （1）と（2）は、同じ二つの数を入れかえた式です。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| （1）絶対値は \(8\) と \(7\) で、大きいのは \(8\) | 段階1 |
| （1）\(+8\) の符号を使って \(+\)、\(8 - 7 = 1\) で \(+1\) | 段階2と3 |
| （2）絶対値は \(7\) と \(8\) で、大きいのは \(8\) | 段階1 |
| （2）\(+8\) の符号を使って \(+\)、\(8 - 7 = 1\) で \(+1\) | 段階2と3 |
| （3）絶対値は \(19\) と \(19\) で、等しい | 段階1 |
| （3）打ち消し合って何も残らないので \(0\) | 段階3 |
| （4）絶対値は \(4.2\) と \(19\) で、大きいのは \(19\) | 段階1 |
| （4）\(-19\) の符号を使って \(-\)、\(19 - 4.2 = 14.8\) で \(-14.8\) | 段階2と3 |
確かめ
（1）右へ 8 進んで、左へ 7 もどる。右に 1 残る
（2）左へ 7 進んで、右へ 8 もどる。原点をこえて右に 1 出る
（3）左へ 19 進み、右へ 19 もどる。もとの原点にいる
（4）14.8 に 4.2 をたすと 19 にもどる。差の計算は合っている
答えの吟味
（1）と（2）は出発点も向きもちがうのに、答えは同じ \(+1\) でした。絶対値のくらべ方が同じだからです。
（3）は絶対値が等しいので、和は \(0\) です。\(0\) に符号は付けません。
答え （1）\(+1\) （2）\(+1\) （3）\(0\) （4）\(-14.8\)
3. 分数と小数でも、通す段階は同じです。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| （1）絶対値は \(\dfrac{5}{9}\) と \(\dfrac{5}{9}\) で、等しい | 段階1 |
| （1）打ち消し合って何も残らないので \(0\) | 段階3 |
| （2）絶対値は \(1.9\) と \(8\) で、大きいのは \(8\) | 段階1 |
| （2）\(+8\) の符号を使って \(+\)、\(8 - 1.9 = 6.1\) で \(+6.1\) | 段階2と3 |
確かめ
（1）右へ 9 分の 5 進み、左へ 9 分の 5 もどる。もとの原点にいる
（2）6.1 に 1.9 をたすと 8 にもどる。差の計算は合っている
答えの吟味
（1）は分数でも \(0\) になりました。絶対値が等しければ、どんな数でも和は \(0\) です。
（2）はもどるぶんのほうが長いので、原点をこえて正になりました。
答え （1）\(0\) （2）\(+6.1\)
4. 東が正なので、西へ進む移動には \(-\) を付けます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| 西へ \(7\) m進むので \(-7\) | 正の向きと反対なので符号は \(-\) |
| 東へ \(21\) m進むので \(+21\) | 正の向きと同じなので符号は \(+\) |
| \((-7) + (+21)\) | 出発点が \(-7\)、移動が \(+21\) の式にした |
| 絶対値は \(7\) と \(21\) で、大きいのは \(21\) | 段階1 |
| \(+21\) の符号を使って \(+\)、\(21 - 7 = 14\) で \(+14\) | 段階2と3 |
確かめ
1 目盛りが 1 m の数直線で、地点 O を原点とする
西へ 7 進んだ点から、東へ 21 もどる
はじめの 7 で地点 O にもどり、残りの 14 が東に出る
着いた点は +14 で、原点より東。合っている
答えの吟味
西へ進んだ \(7\) mより、東へ進んだ \(21\) mのほうが長い道のりです。だから地点Oより東側に出ました。答えの \(+14\) は正の数なので、東を表しています。
答え 式は \((-7) + (+21) = +14\)。地点Oから東へ \(14\) m
5. 上がるほうが正なので、下がる変わり方には \(-\) を付けます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(16\) cm下がるので \(-16\) | 正の向きと反対なので符号は \(-\) |
| \(16\) cm上がるので \(+16\) | 正の向きと同じなので符号は \(+\) |
| \((-16) + (+16)\) | 出発点が \(-16\)、移動が \(+16\) の式にした |
| 絶対値は \(16\) と \(16\) で、等しい | 段階1 |
| 打ち消し合って何も残らないので \(0\) | 段階3 |
確かめ
1 目盛りが 1 cm の数直線で、はじめの水位を原点とする
下がった 16 と上がった 16 がすっかり打ち消し合う
着いた点は原点。答えは 0
答えの吟味
下がったぶんと上がったぶんが同じ長さなので、はじめの水位にもどっているはずです。答えが \(0\) なので、場面と合っています。
答え 式は \((-16) + (+16) = 0\)。はじめの水位と同じ高さ
6. まちがっているのは段階2です。
段階1と段階3は合っています。絶対値は \(8\) と \(24\) で、差は \(24 - 8 = 16\) です。
落ちているのは、符号を決めるところです。書かれた場所で選んでしまっています。
絶対値が大きいのは 24 で、その数は −24
だから答えの符号は −
確かめ
出発点は +8 。たす数 −24 の符号は − なので、進む向きは左
原点まで 8 もどると、残りは 24 − 8 = 16
その 16 が原点より左に出るので、着いた点は −16
誤答の +16 は原点より右にあり、左へ動いた答えにならない
答え \(-16\)
7. 打ち消し合いと絶対値の二つを入れてください。
異なる符号の二つの数をたすと、二つの移動は反対を向きます。反対向きの移動は、短いほうの長さまで打ち消し合います。
打ち消し合う長さは、どちらを先に動いても同じです。だから残る長さも、残る向きも変わりません。
残るのはいつでも絶対値が大きいほうの向きで、順番を変えても絶対値はそのままです。
答え 打ち消し合う長さは順番によらず同じで、残るのはいつでも絶対値が大きいほうの向きだから
次のレッスンへ
異なる符号の数のたし算が、線をかかずにできるようになりました。絶対値をくらべ、大きいほうの符号を使い、大きいほうから小さいほうを引く。この三つの段階だけでした。
途中で、答えが \(0\) になる組にも出会いました。\((+16) + (-16)\) や \((-19) + (+19)\) です。この組には名前があり、使い道もあります。
順番を入れかえても答えが変わらないことも確かめました。ただし、なぜ変えてよいのかはまだ説明していません。
次のレッスン「反対の数と、たす順番を変えてよい理由」で、この二つをまとめて片づけます。
クイズと理解チェックは、アプリで挑戦できます。