正の数・負の数・0

このレッスンでできるようになること

• 正の数・負の数・0を、0との大小をもとに理由をつけて見分けられる
• 符号 \(+\) と \(-\) のはたらきを説明し、\(+\) だけが省略できる理由を言える
• なぜ0が正と負の境目になるのかを、自分の言葉で説明できる

前のレッスンの確認

• 0より小さい数 … \(2-3\) のような引き算にも答えを持たせるために作った数。\(-1\)、\(-2\) のように書く
• \(-\) は飾りではない … \(3\) と \(-3\) は別の数。書き忘れると意味が反対になる
• 何を0とみるかを先に書く … 気温なら水がこおりはじめる温度、建物なら入口の階

前のレッスンで、数を0より小さい側へ広げました。ところが、広げた先の数にはまだ名前がありません。「0より大きい数」「0より小さい数」と毎回書くのは長すぎます。このレッスンで名前を決めます。

三つの名前を決める

数を0とくらべると、行き先は三つしかありません。0より大きいか、0と等しいか、0より小さいかです。この三つに、それぞれ名前をつけます。

正の数 … 0より大きい数

負の数 … 0より小さい数

0 … 正の数でも負の数でもない、境目の数

\(+7\) は「プラス7」、\(-7\) は「マイナス7」と読みます。\(+7\) は0より7大きい数、\(-7\) は0より7小さい数です。

名前がついたので、「0より小さい数どうしをたす」を「負の数どうしをたす」と短く書けます。ここから先のレッスンでは、この三つの名前をずっと使います。

符号

\(+7\) と \(-7\) の先頭についている \(+\) と \(-\) には、名前があります。

符号 … 数が正か負かを表す \(+\) と \(-\) のしるし。\(+\) は省略できるが、\(-\) は省略できない

符号は、数の大きさを表しているのではありません。その数が0のどちら側にあるかだけを表しています。\(7\) という部分が大きさを引き受け、\(+\) や \(-\) が0のどちら側かを引き受けます。両方そろって、数が一つに決まります。

プラスを省略してよい理由

小学校で使ってきた数は、0をのぞいてすべて0より大きい数でした。\(8\) も \(0.75\) も \(\dfrac{2}{5}\) も、みな0より大きい数です。つまり、符号を書かずに書かれた数は正の数だ、と約束しておけば、今まで書いてきたものを一つも書き直さずに済みます。

だから \(+8\) と \(8\) はまったく同じ数です。ふだんは短いほうの \(8\) と書き、正であることをはっきり見せたいときだけ \(+8\) と書きます。

マイナスを省略できない理由

こちらは「そう決まっているから」ではありません。省いてみると、何が起きるかがすぐ分かります。ある日の最低気温が \(-6\) ℃だったとします。この \(-\) を省いて \(6\) ℃と書くと、こおりつくような寒さが、上着のいらない暖かさに変わってしまいます。

書きたかった数 … 0 より 6 小さい数
− を省いて書いた数 … 0 より 6 大きい数
この二つは 0 をはさんで反対側にある、別の数

\(+\) を省略しても、正の数のままです。何も失われません。\(-\) を省略すると、0のどちら側かという情報がまるごと消えてしまい、反対側の数になってしまいます。省略してよいのは、省略しても意味が変わらないものだけです。

なお、0には符号をつけません。0は正でも負でもないので、正か負かを表す符号のつけようがないからです。\(+0\) とも \(-0\) とも書かず、いつでもそのまま0と書きます。

なぜ0が境目なのか

「0より大きいほうが正の数、0より小さいほうが負の数」と言われると、あたりまえのように聞こえます。しかし、境目に0を選んだことには、ちゃんとした理由が四つあります。

理由1　0を通りこした先に、新しい数を作ったから

前のレッスンで数を広げたときのやり方を思い出してください。引かれる数か引く数のどちらかを固定して、もう一方を少しずつ動かすと、答えは同じ調子で減り続けました。ここでは引かれる数を \(9\) に固定して、引く数を増やしてみます。

\(9-9\) でちょうど0になり、そこを通りこした先に、今まで持っていなかった数が現れました。新しく作ったのは0より先の部分だけです。

つまり0は、もともと持っていた数と、この単元で作った数のつなぎ目です。境目に0を選んだのではなく、数を広げた結果、0がひとりでに境目になったのです。

理由2　どんな数も、0とくらべれば必ず一つに決まるから

どんな数を持ってきても、0とくらべたときの関係は次の三つのどれか一つになります。

• 0より大きい
• 0と等しい
• 0より小さい

大事なのは、どれにも入らない数はなく、二つに入る数もないということです。「0より大きくて、同時に0より小さい数」はありません。だからこの分け方には、もれもダブりもありません。

そして、まん中の「0と等しい」に入る数は0だけです。0だけが一人で一つの組を占めているので、正の数にも負の数にも入れません。0がどちらにも属さないのは、特別あつかいしているからではなく、三つに分けたときにそうなるからです。

理由3　0でなければ、境目のはたらきをしないから

「境目は5でもよいのでは」と思うかもしれません。5を境目にして、「5より大きい数」と「5より小さい数」に分けてみます。

すると、\(4\) と \(-4\) が同じ組に入ってしまいます。どちらも5より小さいからです。ところがこの二つは、増えた側と減った側という、まったく反対の意味を持つ数です。反対のものが同じ組に入ってしまうのでは、分けた意味がありません。

もう一つ、0にしかない性質があります。たしても引いても相手を変えない数は、0だけだということです。

7 + 0 = 7      たしても変わらない
7 − 0 = 7      引いても変わらない
7 + 5 = 12     5 をたすと変わってしまう
7 − 5 = 2      5 を引いても変わってしまう

「増えても減ってもいない」という状態を表せるのは0だけです。増えた側と減った側に分かれるなら、その分かれ目は「増えても減ってもいないところ」しかありません。だから境目は0以外にありえないのです。

理由4　0をまん中に置くと、数がきちんと対になるから

0を境目にすると、\(+7\) と \(-7\) のように、大きさが同じで0のどちら側かだけがちがう数が、きれいに対になります。

境目を0以外の数にすると、この対がくずれます。そして0そのものは、\(+\) をつけても \(-\) をつけても増えも減りもしない、ただ一つの数です。折り返しても動かない場所にいるのですから、どちらの側にも入れません。

分類を決めるのは、0との大小だけ

分け方は決まりました。あとは、何を見て分けるのかをはっきりさせます。見るものは一つだけです。0より大きいか、0と等しいか、0より小さいか。 これだけです。

見なくてよいものは、次のようなものです。

「ほとんど0だから0の仲間」ということもありません。0の仲間は0だけです。ほんの少しでも0より小さければ負の数、ほんの少しでも0より大きければ正の数です。

例題1　小数も分数も使わない数を分ける

次の数を、正の数・負の数・0に分けなさい。

\(-8,\quad +15,\quad 6,\quad 0,\quad -11\)

一つずつ0とくらべます。

\(6\) に符号が書かれていないのは、省略されているからです。書かれていないから分けられない、ということはありません。

確かめ

分けた個数 = 正の数 2 個 + 負の数 2 個 + 0 が 1 個 = 5 個
もとの数も 5 個なので、もれもダブりもない

答えの吟味

個数を数える前に、\(-\) がついている数と、ついていない数の個数を見ておくと見当がつきます。\(-\) つきは2個なので、負の数も2個になるはずです。合っています。

答え　正の数 … \(+15\)、\(6\)　負の数 … \(-8\)、\(-11\)　0 … \(0\)

例題2　小数や分数がまじった数を分ける

次の数を、正の数・負の数・0に分けなさい。

\(-2.5,\quad 0.7,\quad +\dfrac{5}{2},\quad -\dfrac{7}{10}\)

小数点がついていても、分数の形をしていても、見るところは変わりません。分数のときは、符号を分数全体の前に書きます。分子や分母につけるのではありません。

確かめ

分けた個数 = 正の数 2 個 + 負の数 2 個 = 4 個
もとの数も 4 個なので、もれもダブりもない
負の組に入れた数には、どちらにも − がついている

答えの吟味

0 に近い数もかけはなれた数も同じ組に入っているので、大きさで分けていないことが確かめられます。

答え　正の数 … \(0.7\)、\(+\dfrac{5}{2}\)　負の数 … \(-2.5\)、\(-\dfrac{7}{10}\)

例題3　符号を省略した形に直す

次の数のうち、符号を省略できるものはどれですか。省略できるものは、省略した形に書き直しなさい。

\(+12,\quad +0.35,\quad -19,\quad +\dfrac{8}{3}\)

省略できるのは \(+\) だけでした。まず符号だけを見て、\(+\) か \(-\) かを確かめます。

確かめ

書き直した 12 、 0.35 、 3 分の 8 には − がついていない
→ 符号が省略された正の数として読めるので、もとと同じ数
−19 の − を省くと 19 になり、0 より大きい数に変わってしまう
→ だから省略できない

答えの吟味

書き直せたのは \(+\) がついていた3個だけで、\(-\) がついていた1個は形が変わっていません。省略してよいのは \(+\) だけ、という決まりと合っています。

答え　\(+12\) は \(12\)、\(+0.35\) は \(0.35\)、\(+\dfrac{8}{3}\) は \(\dfrac{8}{3}\)。\(-19\) は省略できない

今日の問い

\(-0.06\) と \(\dfrac{1}{9}\) は、どちらも0のすぐ近くにある小さな数です。それでも、一方は負の数、もう一方は正の数です。分類を決めているのは、いったい何でしょうか。

決めているのは、0のどちら側にいるか、それだけです。0からどれだけかけはなれているかは、分類には一つも関係しません。

\(-0.06\) は0にどれほど近くても、0より小さい側にいます。だから \(-500\) と同じ負の数の仲間です。\(\dfrac{1}{9}\) は1より小さい数ですが、0より大きい側にいます。だから \(500\) と同じ正の数の仲間です。

図の左の枠に入っている数は、大きさもけたもばらばらです。それでも同じ枠に入っているのは、全部が0より小さい側にいるからです。0との大小だけが枠を決めています。

0からどれだけかけはなれているかも大事なことがらで、次のセクションで名前をつけてあつかいます。今は分類とは別の話だと切り分けておいてください。

よくある間違い

まちがい1：0を「負の数ではないから正の数」としてしまう

✗ 0 は負の数ではない
✗ だから 0 は正の数である

言い分としてはもっともらしく聞こえます。そこで、正の数の定義に0をあてはめて確かめてみます。

正の数 … 0 より大きい数
0 は 0 より大きい？
0 と 0 は等しいので、大きくない
あてはまらないので、0 は正の数ではない

同じように負の数の定義にあてはめても、0は0より小さくないので、負の数でもありません。

○ 0 は正の数でも負の数でもない、境目の数

数の世界は「正か負か」の二つではなく、正・0・負の三つに分かれています。二つしかないと思いこむと、この間違いが出ます。

まちがい2：負の数のマイナスを省略してしまう

✗ 0 より 6 小さい数 → 6

\(+\) が省略できるのだから \(-\) も省略できるだろう、と考えてしまう間違いです。書いた \(6\) が何を表すかを見ます。

6 は符号が省略された数 → +6 と同じ
+6 は 0 より 6 大きい数
書きたかったのは 0 より 6 小さい数
0 をはさんで反対側の数を書いてしまっている

○ 0 より 6 小さい数 → −6

省略してよいのは、省略しても意味が変わらないものだけです。省略できるのは \(+\) だけです。

まちがい3：小数や分数は正の数・負の数に入らないと思う

✗ マイナス 6 分の 5 は分数だから、正の数でも負の数でもない

正の数・負の数・0のどれになるかは、数の形では決まりません。0とくらべた結果だけで決まります。

6 分の 5 は 0 より大きい数
その前についた符号が − なので、0 より小さい側の数
0 より小さいので負の数

○ マイナス 6 分の 5 は負の数

正の数でも負の数でもないのは0だけです。0以外の数は、どんな形をしていても必ずどちらかに入ります。

まちがい4：0に符号をつけて書く

✗ +0
✗ −0

符号は、その数が正か負かを表すしるしでした。0は正でも負でもないので、つけたところで何も表せません。

○ 0

0には符号をつけず、いつでもそのまま書きます。分類の問題で0が出てきたら、正の組にも負の組にも入れず、0として別に書き出してください。

自分で確かめよう

紙に書いてから、答えを開いてください。分類の問題では、なぜそう分けたのかを数ごとに一行ずつ書くこと。

1. 次の数を、正の数・負の数・0に分けなさい。

\(-17,\quad +23,\quad 0,\quad 8,\quad -30\)

2. 次の数を、正の数・負の数・0に分けなさい。

\(-0.9,\quad \dfrac{4}{7},\quad +3.6,\quad -\dfrac{13}{2},\quad 0.02\)

3. \(+\) は省略してよいのに、\(-\) は省略してはいけません。それはなぜですか。省略したときに何が起きるかを使って説明しなさい。

4. 次の文が正しいかどうかを答えなさい。正しくないものは、理由を書いて直しなさい。

（1）\(-\dfrac{1}{2}\) は0より小さいので負の数である （2）\(-1.3\) は小数なので、正の数にも負の数にも入らない （3）\(+\) が書かれていない数は、正の数か負の数かを決められない （4）\(-0.05\) は0にとても近いので、0の仲間である

5. なぜ0が正の数と負の数の境目になるのですか。境目を5にした場合と見くらべて説明しなさい。

6. 次の書き方はまちがっています。まちがいを説明し、正しく直しなさい。

0 より 21 小さい数 → +21

分けた個数 = 正の数 2 個 + 負の数 2 個 + 0 が 1 個 = 5 個
もとの数も 5 個なので、もれもダブりもない

分けた個数 = 正の数 3 個 + 負の数 2 個 = 5 個
もとの数も 5 個なので、もれもダブりもない
0 に近い 0.02 も、1 より小さい 7 分の 4 も、0 より大きいので正の数

+29 の + を省くと 29 → 正の数として読まれる → もとと同じ数
−29 の − を省くと 29 → 正の数として読まれる → 0 をはさんで反対側の数

−0.05 は 0 と等しい？ → 等しくない
−0.05 は 0 より小さい → 負の数

+21 は 0 より 21 大きい数
書きたかったのは 0 より 21 小さい数
0 をはさんで反対側の数を書いてしまっている

−21 は 0 より 21 小さい数
言いたかったことと合っているので、これでよい

次のレッスンへ

正の数・負の数・0という三つの名前と、符号という道具が手に入りました。ただし符号は今のところ、「0より大きいか小さいか」を書き分けているだけです。

次のレッスン「反対の向きをもつ量を符号で表す」では、この符号を身のまわりの量に使えるようにします。東へ進むことと西へ進むことのように、向きが反対になる量は、片方を \(+\)、もう片方を \(-\) で表せます。そのためには、何を0とするかとどちら側を \(+\) にするかを、自分で先に決めなければなりません。決め方しだいで、同じ「西へ進む」が \(+\) になることも \(-\) になることもあります。

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