反対の向きをもつ量を符号で表す
このレッスンでできるようになること
- 反対の向きをもつ量を、基準と正の向きを決めて、符号つきの数で表せる
- 正の向きが問題ごとに変わることを、同じ場面の決め直しで説明できる
- 符号つきの数を、場面の言葉に読みもどせる
前のレッスンの確認
- 正の数 … 0より大きい数／負の数 … 0より小さい数／0 … 正の数でも負の数でもない、境目の数
- 符号 … 数が正か負かを表す \(+\) と \(-\) のしるし。\(+\) は省略できるが、\(-\) は省略できない
- 何を0とみるかを先に書く … 0を決めないまま数だけ書いても、読む人には何も伝わらない
前のレッスンで、符号という道具が手に入りました。ただし今のところ符号は、「0より大きいか、0より小さいか」を書き分けているだけです。このレッスンでは、この符号を身のまわりの量に向けます。
反対の向きをもつ量
世の中には、二つで一組になっている量がたくさんあります。
反対の向きをもつ量 … 一つの基準をはさんで、向きがちょうど正反対になる二つの量
言葉で並べてみると、すぐに見つかります。
| 一方 | もう一方 | 何が基準になるか |
|---|---|---|
| 東へ進む | 西へ進む | 出発した場所 |
| 上がる | 下がる | いまの高さ |
| 収入 | 支出 | やりとりする前のお金 |
| ふえる | へる | 変わる前の数量 |
| 前へ進む | あとへもどる | いまいる場所 |
どの組も、基準からはなれていく向きが正反対になっています。そして、二つのあいだには「動かない」「変わらない」というちょうどまん中の状態があります。これが基準そのもの、つまり0です。
大きさだけでは足りない
図書館の前を出発して、東へ \(700\) m歩いたとします。この道のりを数で表すと \(700\) です。西へ \(700\) m歩いたときも、やはり \(700\) です。
同じ \(700\) になってしまいました。どちらへ歩いたのかが、数から消えています。そこで、二つのことがらを分けて書いてみます。
| 実際の移動 | 向き | 量の大きさ |
|---|---|---|
| 東へ \(700\) m | 東 | \(700\) |
| 西へ \(400\) m | 西 | \(400\) |
| 歩かなかった | なし | \(0\) |
これで区別はつきましたが、欄が二つに増えてしまいました。数のとなりに、いちいち向きの言葉を書き足すことになります。
ここで符号の出番です。向きの欄を、符号一つに引き受けさせます。
| 実際の移動 | 符号つきの数 |
|---|---|
| 東へ \(700\) m | \(+700\) m |
| 西へ \(400\) m | \(-400\) m |
| 歩かなかった | \(0\) m |
欄が一つにもどりました。それでいて、東と西の区別は消えていません。\(+\) が「東へ」を、\(-\) が「西へ」を引き受けているからです。
必要なのは二つの決めごとです。どこを基準の0にするかと、どちら側を正の向きにするか。この二つが決まれば、符号は自動的に決まります。
四つの手順
そこで、次の手順にまとめます。反対の向きをもつ量を数にするときは、いつでもこの順にたどります。
基準と向きを決める四つの手順
- 何を0とするか決める
- どちら側を正の向きにするか決める
- 量の大きさを数で表す
- 正の向きと同じなら \(+\)、反対なら \(-\) を付ける
手順1と2は、計算ではありません。自分で決めることがらです。ここを飛ばして手順3から始めると、書いた符号が何を意味しているのか、だれにも分からなくなります。
そして答えを書くときには、もう一つ約束があります。答えには、基準と正の向きを言葉で添えることです。\(-400\) mとだけ書かれても読む人には伝わりません。「図書館の前を \(0\) m、東を正の向きとすると \(-400\) m」と書いて、はじめて意味が決まります。
例題1 東西の移動を数で表す
図書館の前を出発点とします。書店は図書館の前から東へ \(700\) m、公園は図書館の前から西へ \(400\) mのところにあります。東へ進む向きを正の向きとして、書店と公園の場所をそれぞれ符号つきの数で表しなさい。
四つの手順を順に書き出します。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(0\) | 手順1 図書館の前を基準の \(0\) mとした |
| \(+\) | 手順2 東へ進む向きを正の向きと決めた |
| \(700\) | 手順3 書店までの大きさを数で表した |
| \(+700\) | 手順4 東は正の向きと同じなので \(+\) をつけた |
| \(400\) | 手順3 公園までの大きさを数で表した |
| \(-400\) | 手順4 西は正の向きと反対なので \(-\) をつけた |
確かめ
+700 m は「正の向きへ 700 m」という意味
正の向きは東と決めたので、東へ 700 m
書店の場所と合っている
−400 m は「正の向きと反対へ 400 m」という意味
正の向きの反対は西なので、西へ 400 m
公園の場所と合っている
答えの吟味
書店と公園は反対側にあるので、符号もちがっていなければおかしいはずです。\(+700\) と \(-400\) は符号がちがうので、これでよいと分かります。
答え 図書館の前を \(0\) m、東を正の向きとして、書店 \(+700\) m、公園 \(-400\) m
例題2 正の向きを逆に決め直す
例題1とまったく同じ場所で、今度は西へ進む向きを正の向きと決め直します。書店と公園の場所を、それぞれ符号つきの数で表しなさい。
場所は一つも動いていません。変わったのは、こちらの決め方だけです。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(0\) | 手順1 図書館の前を基準の \(0\) mとした（変えていない） |
| \(+\) | 手順2 今度は西へ進む向きを正の向きと決めた |
| \(700\) | 手順3 書店までの大きさを数で表した |
| \(-700\) | 手順4 東は正の向きと反対なので \(-\) をつけた |
| \(400\) | 手順3 公園までの大きさを数で表した |
| \(+400\) | 手順4 西は正の向きと同じなので \(+\) をつけた |
確かめ
−700 m は「正の向きと反対へ 700 m」という意味
正の向きは西と決めたので、その反対は東
東へ 700 m。書店の場所と合っている
+400 m は「正の向きへ 400 m」という意味
西へ 400 m。公園の場所と合っている
答えの吟味
例題1と符号がそっくり入れかわっています。正の向きだけを反対にしたのだから、これでよいと分かります。
答え 図書館の前を \(0\) m、西を正の向きとして、書店 \(-700\) m、公園 \(+400\) m
例題1と例題2をならべると、符号がそっくり入れかわっていることが分かります。
ここから、大事なことが言えます。
正の向きは、問題ごとに変わる。 「西だから負」ではない。
符号は、その言葉にはじめから貼りついているものではありません。手順2でこちらが決めたことの結果です。だから、問題が変われば同じ「西へ」が \(+\) になることもあります。
なお、基準の \(0\) mだけはどちらの決め方でも \(0\) mのままです。図書館の前は、正の向きと同じでも反対でもない分かれ目なので、符号のつけようがありません。前のレッスンで「0には符号をつけない」と決めたことと、ぴったり重なります。
例題3 収入と支出を数で表す
ある店の一日を記録します。お金が入ってくることを収入、出ていくことを支出といいます。この日は、品物が売れて \(1500\) 円の収入があり、そのあと箱を買って \(480\) 円の支出がありました。収入を正の向きとして、それぞれを符号つきの数で表しなさい。
移動ではありませんが、やることは同じです。収入と支出も、反対の向きをもつ量だからです。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(0\) | 手順1 やりとりする前を基準の \(0\) 円とした |
| \(+\) | 手順2 収入を正の向きと決めた |
| \(1500\) | 手順3 入ってきた金額を数で表した |
| \(+1500\) | 手順4 収入は正の向きと同じなので \(+\) をつけた |
| \(480\) | 手順3 出ていった金額を数で表した |
| \(-480\) | 手順4 支出は正の向きと反対なので \(-\) をつけた |
確かめ
+1500 円は「正の向きへ 1500 円」という意味
正の向きは収入と決めたので、1500 円の収入
記録と合っている
−480 円は「正の向きと反対へ 480 円」という意味
正の向きの反対は支出なので、480 円の支出
記録と合っている
答えの吟味
もしこの店が「支出を正の向き」と決めていたら、答えは \(-1500\) 円と \(+480\) 円になります。同じ一日の記録でも、決め方しだいで書き方が変わるのですから、答えには決め方を必ず添えます。
答え やりとりする前を \(0\) 円、収入を正の向きとして、売れた分 \(+1500\) 円、箱を買った分 \(-480\) 円
例題4 符号つきの数を、場面の言葉にもどす
ここまでは場面を数にしてきました。今度は反対に、次の数が何を表しているかを言葉で答えなさい。
（1）入口のある階を \(0\) 階、上へ行く向きを正としたときの \(-4\) 階 （2）今年の人口を \(0\) 人、ふえることを正としたときの \(-150\) 人 （3）海面を \(0\) m、上を正としたときの \(+22\) m
読みもどすときは、手順4を逆にたどります。符号を見て向きを言い、数を見て大きさを言います。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(-4\) | （1）符号が \(-\) なので、正と決めた「上へ」の反対、つまり下へ |
| \(4\) | （1）大きさは \(4\)。入口の階から \(4\) 階分下 |
| \(-150\) | （2）符号が \(-\) なので、正と決めた「ふえる」の反対、つまりへる |
| \(150\) | （2）大きさは \(150\)。\(150\) 人へった |
| \(+22\) | （3）符号が \(+\) なので、正と決めた「上」と同じ向き |
| \(22\) | （3）大きさは \(22\)。海面より \(22\) m高い |
確かめ
（1）地下 4 階から 4 階分上がると入口の階、つまり 0 階にもどる
（2）150 人へったあとに 150 人ふえると、今年の人口にもどる
（3）海面より 22 m 高いところから 22 m 下がると海面にもどる
どれも基準にもどったので、読みもどし方は合っている
答えの吟味
（1）は下、（2）はへった、（3）は上と、符号が \(-\) のものはすべて正の向きの反対になっています。読みちがえていません。
答え （1）入口の階から \(4\) 階分下（地下 \(4\) 階） （2）人口が \(150\) 人へったこと （3）海面より \(22\) m高いこと
今日の問い
「東へ \(400\) m」と「西へ \(400\) m」は、大きさだけを見るとどちらも \(400\) です。向きまで一つの数で表すには、どうすればよいでしょうか。
答えは、このレッスンでたどってきたとおりです。先に基準と正の向きを決めて、向きを符号一つに引き受けさせます。
図書館の前を \(0\) m、東を正の向きと決めれば、東へ \(400\) mは \(+400\) m、西へ \(400\) mは \(-400\) mになります。\(400\) が「どれだけ」を、符号が「どちらへ」を受け持ち、二つで場所が一つに決まります。
ここで大事なのは、この決め方に正しいも正しくないもないということです。西を正の向きと決めてもかまいません。そのときは東へ \(400\) mが \(-400\) mになるだけで、表している場所は同じです。
だからこそ、決め方を書き残すことが必要になります。\(+400\) mという数だけを見ても、東なのか西なのかは分かりません。符号は、決め方とセットではじめて意味をもちます。
よくある間違い
まちがい1：正の向きを決めずに符号をつける
「西へ \(400\) m」を、いきなり次のように書いてしまう間違いです。
✗ 西へ 400 m → −400 m
東を正の向きと決めたのなら、これで合っています。しかし、そのことがどこにも書かれていません。手順1と手順2を飛ばして、手順3から始めてしまった形です。
読んだ人には、次の二つの区別がつきません。
東を正の向きと決めた場合 … 西へ 400 m は −400 m
西を正の向きと決めた場合 … 西へ 400 m は +400 m
同じ「西へ \(400\) m」が、\(-400\) mにも \(+400\) mにもなります。決め方が書かれていない数は、意味が一つに決まらないのです。
○ 図書館の前を 0 m、東を正の向きとすると、西へ 400 m は −400 m
符号を書く前に、基準と正の向きを書く。 これが手順1と手順2を先に置いた理由です。
まちがい2：正の向きを決め直したのに、符号をそのままにする
例題2のように、同じ場面で正の向きだけを変えたときに起きる間違いです。
✗ 決め方1（東が正） 書店 +700 m
✗ 決め方2（西が正） 書店 +700 m
「場所が動いていないのだから数も変わらない」と考えてしまったのです。しかし変わったのは場所ではなく、どちらを正と呼ぶかでした。呼び方が反対になれば、符号も反対になります。
誤答の \(+700\) mを、決め方2のもとで読みもどしてみます。
決め方2 では、正の向きは西
+700 m は「正の向きへ 700 m」という意味
つまり西へ 700 m
ところが書店は東にある
場所が合わないので、この答えはまちがい
○ 決め方2（西が正） 書店 −700 m
場所が同じでも、正の向きを決め直せば符号は入れかわる。 読みもどして場所が合うかどうかで、いつでも確かめられます。
まちがい3：言葉だけを見て符号を決める
「西」「へる」「支出」「下がる」といった言葉が出てきたら、いつでも \(-\) をつけてしまう間違いです。
✗ 「西」と書いてあるから −
✗ 「へる」と書いてあるから −
これらの言葉に、\(-\) がはじめから貼りついているわけではありません。西へ進む向きを正と決めた問題では西への移動が正の数になり、支出を正と決めた記録では支出が正の数になります。
○ 正の向きと同じ向きなら +
○ 正の向きと反対の向きなら −
見るべきなのは言葉そのものではなく、その言葉が正の向きと同じか反対かです。問題文にもどり、正の向きに矢印を引いてから決めてください。
まちがい4：答えに基準と正の向きを書かない
計算そのものは合っているのに、答えの書き方だけで伝わらなくなる間違いです。
✗ 答え −480 円
この \(-480\) 円は、収入を正と決めたときの \(480\) 円の支出でした。決め方が書かれていないので、読んだ人は「\(480\) 円の収入」と受け取ってしまうかもしれません。
○ 答え やりとりする前を 0 円、収入を正の向きとして −480 円
答えるときは、基準と正の向きを言葉で添える。 符号つきの数は、決め方とセットではじめて意味をもつからです。
自分で確かめよう
紙に書いてから、答えを開いてください。符号を書く前に、基準と正の向きを必ず書き出すこと。
- 駅前を基準の \(0\) mとし、北へ進む向きを正の向きとします。次の場所を符号つきの数で表しなさい。
（1）駅前から北へ \(250\) m （2）駅前から南へ \(180\) m （3）駅前そのもの
- ある部の部員の数について、いまの人数を基準の \(0\) 人とし、ふえることを正の向きとします。次を符号つきの数で表しなさい。
（1）\(6\) 人が入部する （2）\(13\) 人がやめる
問1と同じ場所のまま、南へ進む向きを正の向きに決め直します。（1）（2）（3）の答えはそれぞれどうなりますか。
次の符号つきの数を、場面の言葉にもどしなさい。
（1）海面を \(0\) m、上を正としたときの \(-95\) m （2）今月の気温の記録で、平年の気温を \(0\) ℃、高いほうを正としたときの \(+1.4\) ℃ （3）ある町の人口で、去年の人口を \(0\) 人とみて、ふえるほうを正としたときの \(-35\) 人
ある人が記録用紙に「今日の記録は \(-9\)」とだけ書き残しました。この記録だけでは読み取れないことを二つ挙げ、なぜ読み取れないのかを説明しなさい。
次の答えはまちがっています。どこがまちがっているかを説明し、正しく直しなさい。
公民館の前を 0 m、東を正の向きとする。
西へ 520 m のところにある郵便局を +520 m と表した。
答えと考え方
1. 基準と正の向きは問題文で決められています。基準は駅前、正の向きは北です。あとは手順3と手順4だけです。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(250\) | （1）大きさを数で表した |
| \(+250\) | （1）北は正の向きと同じなので \(+\) をつけた |
| \(180\) | （2）大きさを数で表した |
| \(-180\) | （2）南は正の向きと反対なので \(-\) をつけた |
| \(0\) | （3）駅前は基準そのもの。正の向きとも反対の向きとも言えないので符号をつけない |
確かめ
+250 m は「正の向きへ 250 m」＝北へ 250 m。合っている
−180 m は「正の向きと反対へ 180 m」＝南へ 180 m。合っている
0 m は基準そのもの。駅前と合っている
答え （1）\(+250\) m （2）\(-180\) m （3）\(0\) m
2. ふえる・へるも、反対の向きをもつ量です。基準はいまの人数、正の向きは「ふえる」と決められています。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(6\) | （1）大きさを数で表した |
| \(+6\) | （1）入部は「ふえる」なので正の向きと同じ。\(+\) をつけた |
| \(13\) | （2）大きさを数で表した |
| \(-13\) | （2）やめるのは「へる」なので正の向きと反対。\(-\) をつけた |
確かめ
+6 人は「正の向きへ 6 人」＝ 6 人ふえる。合っている
−13 人は「正の向きと反対へ 13 人」＝ 13 人へる。合っている
答え （1）\(+6\) 人 （2）\(-13\) 人
3. 場所は一つも動いていません。変わったのは手順2の決め方だけです。正の向きが北から南に入れかわったので、北の側と南の側の符号がそっくり入れかわります。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(-250\) | （1）北は、正と決めた南の反対なので \(-\) をつけた |
| \(+180\) | （2）南は正の向きと同じなので \(+\) をつけた |
| \(0\) | （3）基準そのものなので、決め方を変えても \(0\) mのまま |
確かめ
南が正なので、−250 m は「南の反対へ 250 m」＝北へ 250 m
問1（1）の場所と同じ。合っている
+180 m は「南へ 180 m」
問1（2）の場所と同じ。合っている
（3）だけが変わらないのは、駅前が正の向きと反対の向きの分かれ目にあるからです。
答え （1）\(-250\) m （2）\(+180\) m （3）\(0\) m
4. 手順4を逆にたどり、符号から向きを、数から大きさを読み取ります。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(-95\) | （1）符号が \(-\) なので、正と決めた「上」の反対、つまり下 |
| \(95\) | （1）大きさは \(95\)。海面より \(95\) m低い |
| \(+1.4\) | （2）符号が \(+\) なので、正と決めた「高い」と同じ |
| \(1.4\) | （2）大きさは \(1.4\)。平年より \(1.4\) ℃高い |
| \(-35\) | （3）符号が \(-\) なので、正と決めた「ふえる」の反対、つまりへる |
| \(35\) | （3）大きさは \(35\)。去年より \(35\) 人へった |
確かめ
（1）海面より 95 m 低いところから 95 m 上がると海面にもどる
（2）平年より 1.4 ℃高い気温が 1.4 ℃下がると平年にもどる
（3）去年より 35 人へったあとに 35 人ふえると、去年の人口にもどる
どれも基準にもどったので、読みもどし方は合っている
答え （1）海面より \(95\) m低いこと （2）平年より \(1.4\) ℃高いこと （3）去年より \(35\) 人へったこと
5. 記録用紙には数だけがあり、四つの手順のうち手順1と手順2で決めたことが書き残されていません。読み取れないのは次の二つです。
- 何を \(0\) とみたのか（基準）
- どちら側を正の向きにしたのか
基準が書かれていないので、\(-9\) が何より \(9\) 小さいのかが決まりません。正の向きも書かれていないので、どちら向きに \(9\) なのかも決まりません。
答え 基準（何を \(0\) とみたか）と正の向き。符号つきの数は、この二つとセットではじめて意味が決まるから
6. 符号を反対につけてしまったところがまちがいです。
正の向きは東と決められています。郵便局は西にあるので、正の向きと反対です。したがって符号は \(-\) でなければなりません。
誤答の \(+520\) mを、決められたとおりに読みもどしてみます。
正の向きは東
+520 m は「正の向きへ 520 m」という意味
つまり東へ 520 m
ところが郵便局は西にある
場所が合わないので、この答えはまちがい
正しく手順をたどり直します。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(0\) | 手順1 公民館の前を基準の \(0\) mとした |
| \(+\) | 手順2 東へ進む向きを正の向きと決めた |
| \(520\) | 手順3 郵便局までの大きさを数で表した |
| \(-520\) | 手順4 西は正の向きと反対なので \(-\) をつけた |
確かめ
−520 m は「正の向きと反対へ 520 m」という意味
正の向きの反対は西なので、西へ 520 m
郵便局の場所と合っている
答え 公民館の前を \(0\) m、東を正の向きとして \(-520\) m
次のレッスンへ
反対の向きをもつ量を、基準と正の向きを決めて符号つきの数で表せるようになりました。ここまでで \(+\) と \(-\) は、数がどちら側にあるかを表すしるしとして使われています。
ところが、\(+\) と \(-\) には、もう一つのまったくちがう役目があります。小学校からずっと使ってきた、たし算とひき算の記号としての役目です。次のレッスン「符号と計算記号を読み分ける」では、\(-5\) の \(-\) と \(7-5\) の \(-\) が別のはたらきをしていることを確かめます。そして、\(-5\) をたすときに \(7+-5\) とは書かず、\(7+(-5)\) とかっこを使う理由をはっきりさせます。かっこは、どこまでが一つの数かを示すしるしです。
クイズと理解チェックは、アプリで挑戦できます。