符号と計算記号を読み分ける

このレッスンでできるようになること

• 式の中の \(+\) と \(-\) が、符号なのか計算記号なのかを見分けられる
• \((+3)\) と \(3\) が同じ数であることを説明し、\(-(-3)\) の形を正しく読める
• 計算記号の直後に符号つきの数を置くとき、かっこが必要になる理由を言える

前のレッスンの確認

• 正の数 … 0より大きい数／負の数 … 0より小さい数／0 … 正の数でも負の数でもない、境目の数
• 符号 … 数が正か負かを表す \(+\) と \(-\) のしるし。\(+\) は省略できるが、\(-\) は省略できない
• 反対の向きをもつ量 … 基準の0と正の向きを決めれば、符号つきの数で表せる

ここまで \(+\) と \(-\) は、その数が0のどちら側にあるかを知らせるしるしでした。ところが \(+\) と \(-\) には、小学校からずっと使ってきたもう一つの仕事があります。たし算と引き算の記号としての仕事です。

同じ形の記号が、二つの仕事をしている

前のレッスンの終わりで予告したとおり、次の二つを見くらべます。

紙の上の形は同じですが、していることはまるでちがいます。まず、命令する側に名前をつけます。

計算記号 … たし算・引き算・かけ算・わり算のどれをするかを命令する記号。\(+\)、\(-\)、\(\times\)、\(\div\) の4つ

そのうえで \(-\) の二つの役割を分けます。

符号としての \(-\) … その数が負の数だと表すしるし。\(-4\) の \(-\) がこれで、\(-4\) の2文字で一つの数を表す

計算記号としての \(-\) … 「引く」という命令を表す記号。\(9-4\) の \(-\) がこれで、9と4のあいだに立つ

ちがいはこう言えます。符号は数の一部ですが、計算記号は数の一部ではありません。 \(-4\) から \(-\) を取ると \(4\) という別の数になります。\(9-4\) から \(-\) を取ると \(9\) と \(4\) が残るだけで、それをどうするのかが分からなくなります。

一つの式の中に、二つの役割が同時に出ることもあります。

この式は「9から、マイナス4を、引く」と読みます。前の \(-\) が命令を、うしろの \(-\) が数のしるしを受け持ちます。

見分け方は、すぐ左を見るだけ

役割を決めるのは記号の形ではなく、式のどこに置かれているかです。見るところは一か所で済みます。

\(+\) や \(-\) の役割は、そのすぐ左にあるものを見て決める。

• すぐ左に数か閉じかっこ \()\) があれば … 計算記号
• すぐ左に何もない（式のはじめ）か、開きかっこ \((\) があれば … 符号

計算記号は二つの数のあいだに立つ記号でした。だから左には、命令される相手の数が必ずいます。

閉じかっこを数と同じあつかいにするのは、\((-11)\) がまとめて一つの数を表すからです。数が書き終わった直後の記号は、次の数への命令になります。

かっこをつけた正の数は、もとの数と同じ

かっこは、ここまでで一つの数だと示すだけで、中身を書き変えたりはしません。\((+3)\) を順にほどきます。

三つとも同じ数です。では \((-3)\) はどうでしょうか。

ここで止まります。\(-\) は省略できないからです。\((-3)\) を \(3\) と書くと、0より3小さい数が0より3大きい数に変わります。かっこを外すことと、符号を省略することは別のことがらです。

なお、かっこを外してよいかは、その数が式のどこにいるかで決まります。理由はすぐあとで確かめます。

マイナスが二つ続く形をどう読むか

\(-\) が二つ続く \(-(-3)\) という形は、前に数がある式の中に出てきます。\(18-(-6)\) を例にします。

読み方は「18から、マイナス6を、引く」の一通りです。まちがった読み方を二つ確かめます。

一つめは「18、引く、引く、6」です。命令が二つ並びますが、引かれる相手の数は \(6\) 一つしかありません。二つめの \(-\) のすぐ左は開きかっこなので、符号です。

二つめは「18、マイナス、マイナス6」です。一つめの \(-\) まで符号として読んだ形ですが、そのすぐ左には数の \(18\) がいます。これでは、\(18\) と \(-6\) をどうするのかを言う記号が消えてしまいます。

大事な約束です。この式の答えは、ここでは求めません。 負の数を引く計算はセクション4であつかいます。

かっこが必要になるのはどんなときか

\(7\) に \(-5\) をたしたいとします。そのまま並べて \(7+-5\) と書くと、何が起きるでしょうか。

7 + −5   … 命令の + と、数のしるしの − がとなり合ってしまった
どこまでが命令で、どこからが一つの数なのかが目で追えない
読みまちがいのもとになるので、数学ではこの書き方をしない

記号が二つ続くと、どこまでが命令でどこからが数かが見えません。そこで、記号を二つ続けて書かないという約束にします。数のほうをかっこで囲めば、記号はとなり合いません。

7 + (−5)  … かっこが「ここまでで一つの数」と示している
+ のすぐ左は数の 7 なので計算記号、− のすぐ左は ( なので符号
記号はとなり合わないので「7 に マイナス5 を たす」と読める

これで書き方の決まりが言えます。

計算記号の直後に符号つきの数を置くときは、その数をかっこで囲む。

\(7\) と \(5\) で並べてみます。

かっこがいらないのは、符号を省略した正の数のとき（\(7+5\)）と、式のいちばん前にある符号つきの数のとき（\(-5+7\)）です。あとのほうは \((-5)+7\) と書いてもかまいません。

例題1　式の中のマイナスを読み分ける

次の式に出てくる \(-\) が、符号か計算記号かを答えなさい。

（1）\(-27\)　（2）\(32-27\)　（3）\((-27)+32\)　（4）\(32+(-27)\)

確かめ

判定した − は 4 個。式の − も 4 個なので、見落としはない
計算記号と判定したのは、すぐ左が 数 だったもの
符号と判定したのは、すぐ左が 何もない か ( だったもの

答えの吟味

判定した個数と、式にある記号の個数が合うかを見ます。どちらも4個で、見落としはありません。

並べ方が変わっても、かっこの中の \(-\) が計算記号になることはありません。

答え　（1）符号　（2）計算記号　（3）符号　（4）符号

例題2　プラスを読み分け、省略できる形に直す

次の式に出てくる \(+\) と \(-\) が、符号か計算記号かを答えなさい。また、（1）の数を、符号を省略した形で書き直しなさい。

（1）\(+16\)　（2）\(41+16\)　（3）\((+16)-41\)

確かめ

判定した記号は (1) 1 個、(2) 1 個、(3) 2 個 で 合わせて 4 個
式の + と − も 4 個なので、見落としはない
計算記号と判定したのは、すぐ左が 数 か ) だったもの

答えの吟味

（2）と（3）は計算記号が1個ずつで、数が二つに命令が一つ。数が合っています。（1）は数が一つだけなので命令はありません。

（3）は \(+\) を省略すると \(16-41\) になります。符号を省略しても、計算記号は消えません。

答え　（1）符号。省略した形は \(16\)　（2）計算記号　（3）\(+\) は符号、\(-\) は計算記号

例題3　言葉で言われたことを、記号の式に直す

次を式に表しなさい。計算はしなくてかまいません。

（1）\(36\) に \(-14\) をたす （2）\(36\) から \(-14\) を引く （3）\(-36\) に \(14\) をたす

確かめ

左から読むと、順に「36 に マイナス14 を たす」
「36 から マイナス14 を 引く」「マイナス36 に 14 を たす」
どれも問題文の言い方に戻ったので合っている

答えの吟味

（1）と（2）はかっこの中身が同じ \(-14\) で、ちがうのはかっこの前の計算記号だけです。そこが「たす」か「引く」かを引き受けています。

答え　（1）\(36+(-14)\)　（2）\(36-(-14)\)　（3）\(-36+14\)

例題4　式を、言葉で読む

次の式を言葉で読みなさい。計算はしなくてかまいません。

（1）\(-45+20\)　（2）\(-45-(-20)\)　（3）\(24-(+30)\)

確かめ

読んだ言葉を記号に戻すと、順に −45 + 20 、−45 − (−20) 、24 − (+30)
どれももとの式に戻ったので、読み方は合っている

答えの吟味

読んだ言葉を記号に戻すと、三つとももとの式に一致しました。読みちがいはありません。

（3）は \(24-30\) と書き直せます。（2）の \((-20)\) は、外すと記号がとなり合うので外せません。

答え　（1）マイナス45に20をたす　（2）マイナス45からマイナス20を引く　（3）24からプラス30を引く

今日の問い

\(5-3\) の \(-\) と \(-3\) の \(-\) は、紙の上ではまったく同じ形です。それなのに役割がちがうと、どうして言い切れるのでしょうか。

理由は、引き算のしくみそのものにあります。引き算は、二つの数がそろってはじめてできる計算です。\(5-3\) には \(5\) と \(3\) がそろっているので、\(-\) は「引け」という命令として立てます。

ところが \(-3\) には、\(-\) の左に数がありません。引かれる相手がいないので、命令は立てられません。この \(-\) にできるのは、右にある \(3\) が0よりどちら側の数かを知らせることだけです。

5 − 3   … − の左に 5 がいる → 引かれる相手がいる → 計算記号
  − 3   … − の左に何もない → 引かれる相手がいない → 符号にしかなれない

「すぐ左を見る」は、思いつきの覚え方ではありません。引き算には二つの数が必要だという当たり前のことを、見分け方にしただけです。

よくある間違い

まちがい1：マイナスをすべて「引く」と読んでしまう

✗ −28 + 13 を「28 を 引いて、13 を たす」と読む

\(-\) を見たらいつも「引く」と読む、という思いこみから起きます。この読み方では、何から28を引くのかが言えません。引かれる数がどこにもないからです。

○ −28 + 13 を「マイナス28 に 13 を たす」と読む

はじめの \(-\) のすぐ左には何もありません。式のはじめの \(-\) は符号で、\(-28\) の2文字で一つの数を表します。誤った読み方を式に戻すと、はっきりします。

「28 を 引いて 13 を たす」を式に戻すと （何かの数）− 28 + 13
数が三つの式になってしまうが、もとの式の数は −28 と 13 の 二つだけ
数の個数が合わないので、この読み方はまちがい

まちがい2：かっこを省いて書いてしまう

\(26\) に \(-15\) をたすことを、こう書いてしまう間違いです。

✗ 26 + −15

言いたいことは分かりますが、この形は使えません。

26 + −15  … 命令の + と、数のしるしの − がとなり合っている
どこまでが一つの数か目で追えず、読みまちがいのもとになる
数学では、記号を二つ続けて書かない約束になっている

○ 26 + (−15)

かっこが「ここまでで一つの数」と示すので、記号はとなり合わず区切りもはっきりします。計算記号の直後に符号つきの数を置くときは、かっこで囲む。

まちがい3：かっこを外すときにマイナスまで消してしまう

\((+12)\) が \(12\) と書けたのだから \((-12)\) も \(12\) だろう、と考える間違いです。

✗ (−12) を 12 と書く

省略できるのは \(+\) だけでした。実際に省いてみます。

(+12) の中身は +12 、+ を省いて 12 。0 より 12 大きい数のまま
(−12) の中身は −12 、− を省くと 12 。0 より 12 小さい数が、大きい数に変わる

○ (−12) は −12 と書く（かっこは外せるが、− は残る）

かっこを外しても、中身の符号はそのまま残ります。

まちがい4：置かれている場所を見ずに決めてしまう

「まん中あたりにあるから計算記号」と、だいたいの位置で決める間違いです。

✗ 38 + (−21) の − は、式のまん中にあるから計算記号

この読み方では、数が \(38\) と \(21\) の二つなのに命令が二つあることになります。

○ 38 + (−21) の − は、すぐ左が ( なので符号
○ 計算記号はこの式に一つだけ。数の 38 のすぐ右にある + がそれ

見るのはすぐ左の一文字です。開きかっこの直後にある記号は、いつでも符号です。

自分で確かめよう

紙に書いてから、答えを開いてください。すぐ左に何があったかを必ず書き残すこと。

1. 次の式に出てくる \(+\) と \(-\) を一つずつ取り上げ、符号か計算記号かを答えなさい。

（1）\(34+29\)　（2）\(34-29\)　（3）\(-34+29\)　（4）\(34-(-29)\)　（5）\((+34)-29\)

2. 次の数について、かっこを外し、省略できる符号は省略した形で書きなさい。省略できないものは、その理由も書きなさい。

（1）\((+43)\)　（2）\((-43)\)　（3）\((+0.8)\)

3. 次を式に表しなさい。計算はしなくてかまいません。

（1）\(47\) に \(-33\) をたす （2）\(47\) から \(-33\) を引く （3）\(-47\) から \(33\) を引く

4. 次の式を言葉で読みなさい。

（1）\(-52+19\)　（2）\(52-(+19)\)　（3）\(-52-(-19)\)

5. \(31\) に \(-8\) をたすことを、なぜ \(31+-8\) と書かず、\(31+(-8)\) と書くのですか。理由を説明しなさい。

6. 次の読み方はまちがっています。まちがいを説明し、正しく読み直しなさい。

40 − (−17) は、− が二つあるから
40 から 17 を 二回 引く、と読む

判定した記号は 1 + 1 + 2 + 2 + 2 = 8 個。式の + と − も 8 個
どの式も計算記号は 1 個。数が二つに命令が一つで数が合っている

−43 の − を省くと 43 になり、0 をはさんで反対側の数になる
省略できるかは、符号が + か − かだけで決まる

左から読むと、順に「47 に マイナス33 を たす」
「47 から マイナス33 を 引く」「マイナス47 から 33 を 引く」
どれも問題文の言い方に戻ったので合っている

読んだ言葉を記号に戻すと、順に −52 + 19 、52 − (+19) 、−52 − (−19)
どれももとの式に戻ったので、読み方は合っている

31 + −8   … 命令の + と、数のしるしの − がとなり合っている
どこまでが一つの数か目で追えず、読みまちがいのもとになる
数学では、記号を二つ続けて書かない約束になっている

31 + (−8)  … かっこが「ここまでで一つの数」と示している
記号はとなり合わず、「31 に マイナス8 を たす」と読める

「40 から 17 を 二回 引く」を式に戻すと 40 − 17 − 17
数が 40 と 17 と 17 の 三つになるが、もとの式は 40 と −17 の 二つ
数の個数が合わないので、この読み方はまちがい

次のレッスンへ

\(+\) と \(-\) が符号なのか計算記号なのかを、すぐ左を見るだけで見分けられるようになりました。次の三つも確かめました。

• \((+3)\) と \(3\) は同じ数であること
• \((-3)\) を \(3\) と書いてはいけないこと
• 計算記号の直後に符号つきの数を置くなら、かっこで囲むこと

これでセクション1の道具はそろいました。次のレッスン「身のまわりの正負の数」はセクション1のまとめです。気温・建物の階・海面からの高さといった場面を符号つきの数に直し、逆に符号つきの数を場面の言葉へ読みもどす往復を練習します。

次のレッスンへ　身のまわりの正負の数　→

クイズと理解チェックは、アプリで挑戦できます。