素因数分解

このレッスンでできるようになること

• 整数を、素数だけのかけ算の形に表せる
• 分け方の順番を変えても、出てくる素数の顔ぶれが同じになることを説明できる
• 素因数分解を、小さい素数から順に、累乗を使って書ける

前のレッスンの確認

• 自然数 … \(1\)、\(2\)、\(3\)、… のような正の整数
• ある整数を割り切ることのできる整数を、約数といいます。
• \(1\) より大きい整数で、\(1\) とその数自身のほかに約数をもたないものを、素数といいます。
• 素数の約数は、ちょうど \(2\) 個です。
• 割り切れたら、その場で素数ではないと決まります。
• \(◯\times◯\) がその数をこえたら、そこでやめてよい。
• 同じ数をいくつかかけたものを、累乗といいます。
• 累乗で、繰り返しかける数を底といいます。
• 累乗で右上に書く、かける個数を表す数を指数といいます。
• 指数は、かける回数です。
• 指数が \(1\) のときは、ふつう \(1\) を書かず、\(5\) とだけ書きます。

絶対値は記号でも書きます。\(|-12|\) は \(12\) です。

前のレッスンの終わりに、こう予告しました。素数でない整数を、素数だけのかけ算の形に書きかえます、と。

今日は、その書きかえ方を決めます。

素数のかけ算に、分けてみる

\(12\) を、かけ算の形に分けてみます。

\(12=2\times 6\)

\(2\) は素数です。約数が \(1\) と \(2\) のちょうど \(2\) 個だからです。

では \(6\) はどうでしょうか。\(6\) は \(2\) で割り切れます。

割り切れたら、その場で素数ではないと決まります。 だから \(6\) は素数ではありません。

\(6\) の約数は \(1\)、\(2\)、\(3\)、\(6\) の \(4\) 個です。ちょうど \(2\) 個ではないので、ここでも答えは同じです。

素数ではないので、\(6\) はまだ分けられます。

\(6=2\times 3\)

\(2\) も \(3\) も素数です。これ以上は分けられません。

\(6\) のところに \(2\times 3\) を書きこむと、次のようになります。

\(12=2\times 2\times 3\)

もう分けられないところまで分けると、素数だけが残ります。

素因数と素因数分解

いま出てきた \(2\)、\(2\)、\(3\) に、名前をつけます。

整数を素数のかけ算で表したときの、その一つ一つの素数を、素因数といいます。

\(12=2\times 2\times 3\) の素因数は、\(2\) と \(2\) と \(3\) です。

書きかえること自体にも、名前があります。

整数を、素数だけのかけ算の形に表すことを、素因数分解といいます。

\(12\) を素因数分解すると \(2\times 2\times 3\) になります。

素因数分解では、素数以外の数がかけ算の中に残ってはいけません。 \(12=2\times 6\) はとちゅうです。

分け方を変えても、素数の顔ぶれは同じ

\(12\) の分け方は、\(2\times 6\) だけではありません。\(3\times 4\) からも始められます。

\(4\) は素数ではないので、\(4=2\times 2\) と分けます。すると \(12=3\times 2\times 2\) になります。

分け方の道はちがうのに、出てきた素数は \(2\) と \(2\) と \(3\) でそろいました。

分かれていくようすを、図にしてみます。

この図を 枝分かれ図 といいます。

素数になった枝は、そこで止まります。素数でない枝だけが、さらに分かれます。

二つの道を、表にならべてみます。

書きならべる順番はちがっても、出てきた素数は個数まで同じです。

分け方の順番がちがっても、出てくる素因数の顔ぶれは同じです。

だから、どの道から始めても、素因数分解の答えは一つに決まります。

書き方の約束

顔ぶれが同じでも、書く順番がばらばらだと見くらべにくくなります。そこで、書き方を決めます。

素因数分解は、小さい素数から順に書きます。

\(12\) なら \(2\times 2\times 3\) と書きます。\(3\times 2\times 2\) とは書きません。

順番をそろえておくと、二つの数の素因数分解を上下にならべて見くらべられます。

この見くらべ方は、次のレッスンで使います。

同じ素因数がならんだら、累乗を使って書きます。

\(2\) が \(2\) 個ならんでいます。だから \(2\times 2\) は \(2^{2}\) と書けます。

\(12=2\times 2\times 3=2^{2}\times 3\)

\(2^{2}\) の底は \(2\)、指数は \(2\) です。

指数は、かける回数です。 \(2^{2}\) の指数 \(2\) は、\(2\) をならべた個数を表しています。

\(3\) は \(1\) 個だけです。レッスン「累乗（底と指数）」で、こう決めました。

指数が \(1\) のときは、ふつう \(1\) を書かず、\(5\) とだけ書きます。

だから \(3^{1}\) ではなく \(3\) と書きます。

素数はそれ以上分けられないので、そのまま書きます。

\(7\) は素数です。\(7\) を素因数分解すると \(7\) です。かけ算の記号は出てきません。

小さい素数から順に割っていく

枝分かれ図は分け方がよく見えますが、大きい数では枝がふえます。

そこで、割り算で調べる手順を決めます。

\(2\) で割れるだけ割り、次に \(3\)、次に \(5\)、と小さい素数から順に進みます。

\(120\) でやってみます。わり算を縦にならべて書くと、とちゅうの数が一目で分かります。

\(2\) で \(3\) 回、\(3\) で \(1\) 回割れて、最後に \(5\) が残りました。

\(120=2\times 2\times 2\times 3\times 5=2^{3}\times 3\times 5\)

割った素数と、最後に残った数を全部ならべたものが答えです。

最後に残る数は、いつも素数になります。それより小さい素数では、もう割り切れないからです。

相手にする数の範囲

素因数分解できる数と、できない数があります。

\(1\) の約数は \(1\) の \(1\) 個だけです。素数の約数は、ちょうど \(2\) 個です。 なので、\(1\) は素数ではありません。

\(1\) はどの素数でも割り切れません。だから素数を一つも書けません。

\(1\) は素因数分解できません。

\(0\) と負の数はどうでしょうか。

素因数分解の相手は、\(1\) より大きい自然数です。

\(0\) も負の数も自然数ではないので、この単元では相手にしません。

\(0\) を素数で割ると、商はいつも \(0\) です。\(0\div 2=0\)、\(0\div 3=0\) となります。

商が \(0\) のままなので、割り算がいつまでも終わりません。

負の数には \(-\) の符号がついています。素数はすべて正の数なので、かけ算だけでは \(-\) を作れません。

答えを確かめる

書いた答えが合っているかは、自分で確かめられます。

書いた素因数を全部かけもどして、もとの数になるかを見ます。

\(120\) で確かめてみます。累乗の形は、いったんかけ算の形に戻します。

2 × 2 = 4 、4 × 2 = 8
8 × 3 = 24 、24 × 5 = 120
もとの 120 にもどった

たとえば \(120\) の答えを \(2^{2}\times 3\times 5\) と書いてしまったとします。

かけもどすと \(2\times 2=4\)、\(4\times 3=12\)、\(12\times 5=60\) です。

\(60\) にしかなりません。\(2\) で割る回数が \(1\) 回足りなかったと分かります。

もとの数にもどらなければ、どこかで割りまちがえています。

例題1　枝分かれ図で分ける

\(44\) を、枝分かれ図を使って素因数分解しなさい。

まず、思いついたかけ算に分けます。ここでは \(44=4\times 11\) から始めます。

確かめ

2 × 2 = 4 、4 × 11 = 44
もとの 44 にもどった

答えの吟味

\(44=2\times 22\) から始めても、\(22=2\times 11\) と分かれて同じ顔ぶれになります。

答え　\(44=2^{2}\times 11\)

例題2　小さい素数から順に割る

\(105\) を素因数分解しなさい。

\(2\) から順に試します。\(105\) は奇数なので、\(2\) では割り切れません。

確かめ

3 × 5 = 15 、15 × 7 = 105
もとの 105 にもどった

答えの吟味

同じ素因数がならばなかったので、累乗は使いません。

答え　\(105=3\times 5\times 7\)

例題3　同じ素因数がならぶとき

次の数を素因数分解しなさい。（1）\(200\)　（2）\(147\)

小さい素数から順に割り、同じ素因数がならんだら累乗にまとめます。

確かめ

（1）2 × 2 = 4 、4 × 2 = 8 、8 × 5 = 40 、40 × 5 = 200
（2）3 × 7 = 21 、21 × 7 = 147

答えの吟味

（2）の \(3\) は \(1\) 個だけなので、指数は書きません。

答え　（1）\(200=2^{3}\times 5^{2}\)　（2）\(147=3\times 7^{2}\)

例題4　素数かどうかで、書き方が変わる

次の数を素因数分解しなさい。（1）\(41\)　（2）\(68\)

まず素数かどうかを調べます。\(◯\times◯\) がその数をこえたら、そこでやめてよい。 です。

\(7\times 7\) は \(49\) で \(41\) をこえるので、（1）は \(2\)、\(3\)、\(5\) まで調べれば足ります。

確かめ

（1）41 ÷ 2 、41 ÷ 3 、41 ÷ 5 　どれも 割り切れない
（2）2 × 2 = 4 、4 × 17 = 68

答えの吟味

素数はそれ以上分けられないので、（1）にはかけ算の記号が出てきません。

答え　（1）\(41\)　（2）\(68=2^{2}\times 17\)

例題5　かけもどして確かめる

\(252\) を素因数分解し、かけもどして確かめなさい。

小さい素数から順に割ります。\(2\) で割れるだけ割ってから、\(3\) に進みます。

確かめ

2 × 2 = 4 、3 × 3 = 9
4 × 9 = 36 、36 × 7 = 252
もとの 252 にもどった

答えの吟味

残った \(7\) は素数なので、ここで止まります。\(7\) より大きい素数は試しません。

答え　\(252=2^{2}\times 3^{2}\times 7\)

例題6　素因数分解できるかどうか

次の数のうち、素因数分解できるものを選び、その数を素因数分解しなさい。

\(1\)、\(0\)、\(-66\)、\(110\)

素因数分解の相手は、\(1\) より大きい自然数です。 まず、この範囲に入るかを見ます。

\(-66\) の絶対値 \(|-66|\) は \(66\) ですが、\(-66\) そのものは自然数ではありません。

\(110\) を小さい素数から割ります。\(110\div 2=55\)、\(55\div 5=11\)、\(11\) は素数です。

確かめ

2 × 5 = 10 、10 × 11 = 110
もとの 110 にもどった

答えの吟味

\(1\) は素数を一つも使えないので、かけ算の形に書けません。

答え　素因数分解できるのは \(110\) で、\(110=2\times 5\times 11\)

例題7　わり算と枝分かれ図で、同じ数を分ける

\(315\) を、小さい素数から順に割る方法で素因数分解しなさい。

また、\(315=5\times 63\) から始めた枝分かれ図でも同じ答えになるかを確かめなさい。

\(315\) は奇数なので、\(3\) から試します。

枝分かれ図のほうは、\(63=7\times 9\)、\(9=3\times 3\) と分かれます。

確かめ

3 × 3 = 9 、9 × 5 = 45 、45 × 7 = 315
枝分かれ図に 出てきた 素数は 5 、7 、3 、3
小さい順に ならべると 3 、3 、5 、7 　同じ 顔ぶれ

答えの吟味

始めの分け方はちがっても、出てきた素因数の顔ぶれはそろいました。

答え　\(315=3^{2}\times 5\times 7\)

今日の問い

\(12\) の分け方は、\(2\times 6\) からも \(3\times 4\) からも始められました。

道が何通りもあるのに、なぜ答えは一つに決まるのでしょうか。

枝分かれ図を思い出してください。どちらの道でも、素数になった枝はそこで止まりました。

分かれる枝がなくなったとき、残っているのは素数だけです。だから、たどりつく先は同じになります。

分け方の順番がちがっても、出てくる素因数の顔ぶれは同じです。 道のちがいは、着く先を変えません。

よくある間違い

まちがい1：とちゅうでやめてしまう

\(12\) を素因数分解する問題です。

✗ 12 = 2 × 6
✗ 答えは 2 × 6

\(6\) は素数ではありません。\(6\) の約数は \(1\)、\(2\)、\(3\)、\(6\) の \(4\) 個です。

○ 6 は まだ 分けられる 　6 = 2 × 3
○ 12 = 2 × 2 × 3
○ 累乗を 使って 12 = 2 の 2 乗 × 3

かけもどすと数は合いますが、素数だけのかけ算になっていません。

2 × 6 = 12 　もとの数には もどる
でも 6 が 素数でない ので 素因数分解では ない

素因数分解では、素数以外の数がかけ算の中に残ってはいけません。

まちがい2：1 をかけ算にまぜてしまう

\(12\) を素因数分解する問題です。

✗ 12 = 1 × 2 × 2 × 3

\(1\) は素数ではありません。\(1\) の約数は \(1\) の \(1\) 個だけだからです。

○ 12 = 2 × 2 × 3
○ 12 = 2 の 2 乗 × 3

\(1\) をいくつまぜても、積は変わりません。だから値では見分けられません。

1 × 2 × 2 × 3 = 12 　値は 合う
でも 1 は 素数ではない ので 書いては いけない

素数の約数は、ちょうど \(2\) 個です。 \(1\) の約数は \(1\) 個なので、素数の仲間に入りません。

まちがい3：指数を、かける数だと思ってしまう

\(120=2^{3}\times 3\times 5\) を、かけ算の形に戻す問題です。

✗ 2 の 3 乗 を 2 × 3 と読んで
✗ 2 × 3 × 3 × 5
✗ = 90

\(2^{3}\) は \(2\times 3\) ではありません。\(2\) を \(3\) 個ならべた形です。

○ 2 の 3 乗 は 2 × 2 × 2
○ 2 × 2 × 2 × 3 × 5
○ 2 × 2 = 4 、4 × 2 = 8 、8 × 3 = 24 、24 × 5 = 120

誤答の \(90\) を確かめます。

2 × 3 = 6 、6 × 3 = 18 、18 × 5 = 90
誤答は 90 。もとの 120 とちがうので、まちがい

指数は、かける回数です。

自分で確かめよう

紙に書いてから、答えを開いてください。小さい素数から順に割ること。

1. \(78\) を、\(2\times 39\) から始める分け方と、\(6\times 13\) から始める分け方の両方で素因数分解しなさい。

2. \(117\) を素因数分解しなさい。

3. \(132\) を素因数分解しなさい。

4. \(140\) を素因数分解しなさい。

5. \(150\) を素因数分解しなさい。

6. \(154\) を素因数分解しなさい。

7. \(165\) を素因数分解しなさい。

8. \(168\) を素因数分解しなさい。

9. \(175\) を素因数分解しなさい。

10. \(189\) を素因数分解しなさい。

11. \(196\) を素因数分解しなさい。

12. \(53\) を素因数分解しなさい。

13. 次の書き方は、素因数分解の書き方の約束に合っていません。どこを直せばよいかを説明し、書き直しなさい。

228 = 19 × 2 × 3 × 2

14. \(198\) を素因数分解し、かけもどして確かめなさい。

15. \(275\) を素因数分解しなさい。

16. \(308\) を素因数分解しなさい。

2 × 3 = 6 、6 × 13 = 78
どちらの 道でも 素数は 2 と 3 と 13

2. 3 × 3 = 9 、9 × 13 = 117
3. 2 × 2 = 4 、4 × 3 = 12 、12 × 11 = 132
4. 2 × 2 = 4 、4 × 5 = 20 、20 × 7 = 140
5. 2 × 3 = 6 、6 × 5 = 30 、30 × 5 = 150
6. 2 × 7 = 14 、14 × 11 = 154
7. 3 × 5 = 15 、15 × 11 = 165

8. 2 × 2 = 4 、4 × 2 = 8 、8 × 3 = 24 、24 × 7 = 168
9. 5 × 5 = 25 、25 × 7 = 175
10. 3 × 3 = 9 、9 × 3 = 27 、27 × 7 = 189
11. 2 × 2 = 4 、7 × 7 = 49 、4 × 49 = 196

8 × 8 = 64 　53 を こえる
だから 2 、3 、5 、7 まで 調べれば 足りる
53 ÷ 2 、53 ÷ 3 、53 ÷ 5 、53 ÷ 7 　どれも 割り切れない

19 × 2 = 38 、38 × 3 = 114 、114 × 2 = 228 　値は 合っている
2 、3 、19 は どれも 素数
小さい順に ならべると 2 、2 、3 、19
2 が 2 個 なので 2 の 2 乗
2 × 2 = 4 、4 × 3 = 12 、12 × 19 = 228 　もとの 228 にもどった

3 × 3 = 9 、2 × 9 = 18 、18 × 11 = 198
もとの 198 にもどった

15. 5 × 5 = 25 、25 × 11 = 275
16. 2 × 2 = 4 、4 × 7 = 28 、28 × 11 = 308

次のレッスンへ

整数を、素数だけのかけ算の形に表せるようになりました。

整数を、素数だけのかけ算の形に表すことを、素因数分解といいます。 その一つ一つの素数が 素因数 です。

分け方の順番がちがっても、出てくる素因数の顔ぶれは同じです。 だから答えは一つに決まります。

書き方も決めました。素因数分解は、小さい素数から順に書きます。 同じ素因数がならんだら、累乗を使って書きます。

次のレッスンは「素因数分解を使う」です。素因数分解した形は、答えを書いて終わりではありません。

その形を使うと、約数をすべて書き出したり、約数の個数を数えたりできます。

二つの数の最大公約数と最小公倍数も、素因数分解から求められます。

次のレッスンへ　素因数分解を使う　→

クイズと理解チェックは、アプリで挑戦できます。