素因数分解を使う

このレッスンでできるようになること

• 素因数分解を使って、約数をすべて書き出し、その個数を数えられる
• 二つの数の素因数分解を上下にならべて、最大公約数と最小公倍数を求められる
• かけて平方数にする、いちばん小さい自然数を求められる

前のレッスンの確認

• ある整数を割り切ることのできる整数を、約数といいます。
• 約数は、\(1\) から順に割ってみて、割り切れたら商もいっしょに書きます。この書き方を 組で書き出す といいます。
• \(1\) より大きい整数で、\(1\) とその数自身のほかに約数をもたないものを、素数といいます。
• 整数を素数のかけ算で表したときの、その一つ一つの素数を、素因数といいます。
• 整数を、素数だけのかけ算の形に表すことを、素因数分解といいます。
• 分け方の順番がちがっても、出てくる素因数の顔ぶれは同じです。
• 素因数分解は、小さい素数から順に書きます。
• 同じ素因数がならんだら、累乗を使って書きます。
• 同じ数をいくつかかけたものを、累乗といいます。
• 累乗で、繰り返しかける数を底といいます。
• 累乗で右上に書く、かける個数を表す数を指数といいます。
• 指数は、かける回数です。

絶対値は記号でも書きます。\(|-36|\) は \(36\) です。

前のレッスンの終わりに、こう書きました。

順番をそろえておくと、二つの数の素因数分解を上下にならべて見くらべられます。

今日は、その見くらべ方を実際に使います。

素因数分解は、答えではなく道具です

素因数分解は、書き上げて終わりではありません。その形は、数の中身を見せてくれます。

今日は、四つの使い方を身につけます。

• 約数をすべて書き出す
• 約数の個数を数える
• 最大公約数と最小公倍数を求める
• かけて平方数にする

約数を、すべて書き出す

\(36\) の約数を書き出します。まず、前のレッスンの道具を使います。

組で書き出す

\(1\) から順に割って、割り切れたら商もいっしょに書きます。

\(5\) では割り切れないので、飛ばしました。

\(6\) で割ると、商も \(6\) になりました。割る数と商が出会ったので、ここでおしまいです。

\(36\) の約数は \(1\)、\(2\)、\(3\)、\(4\)、\(6\)、\(9\)、\(12\)、\(18\)、\(36\) の \(9\) 個です。

素因数分解からも作れます

\(36=2^{2}\times 3^{2}\)

約数は、\(36\) を割り切る数です。割り切るためには、\(36\) の中にある素因数だけでできている必要があります。

たとえば \(6=2\times 3\) です。\(2\) も \(3\) も \(36\) の中にあります。だから \(6\) は約数です。

\(5\) はどうでしょうか。\(36\) の素因数は \(2\) と \(3\) です。\(5\) はどこにもありません。

だから \(5\) は \(36\) を割り切れません。組で書き出したときに飛ばしたのは、このためです。

約数は、その数の素因数を何個ずつ使うかを決めると、一つできます。

\(2\) の使い方は \(0\) 個・\(1\) 個・\(2\) 個の \(3\) 通りです。\(3\) の使い方も \(3\) 通りです。

一つも使わない、という使い方

指数は、かける回数です。 だから「\(2\) を \(0\) 個使う」は、\(2\) を一つもかけない、という意味になります。

では、どちらも \(0\) 個ならどうなるでしょうか。かける相手が一つもありません。

どの素因数も使わないときの約数が、\(1\) です。

\(1\) はどんな整数も割り切るので、約数です。ただし、素因数分解のかけ算の中には書きません。

約数の個数を数える

約数は、全部書き出さなくても、個数だけ先に数えられます。

\(120\) を使います。前のレッスンで \(120=2^{3}\times 3\times 5\) と分かりました。

素因数ごとに、使い方が何通りあるかを数えます。

三つの決め方は、たがいに関係ありません。だから、通り数はかけ合わせます。

\((3+1)\times(1+1)\times(1+1)=16\)

それぞれの指数に \(1\) を足して、かけ合わせると、約数の個数になります。

なぜ指数より一つ多くなるのか

\(2\) の指数は \(3\) です。ところが、使い方は \(4\) 通りありました。

一つ多くなるのは、\(0\) 個という使い方があるからです。\(1\) 個から \(3\) 個までの \(3\) 通りに、\(0\) 個が加わります。

\(0\) 個という使い方があるので、通り数は指数より \(1\) 多くなります。

確かめ

120 の 約数を 書き出すと
1 、2 、3 、4 、5 、6 、8 、10 、12 、15 、20 、24 、30 、40 、60 、120
数えると 16 個　計算した 16 と そろった

最大公約数と最小公倍数

公約数と公倍数は、小学校で習いました。二つの数に共通する約数が公約数、共通する倍数が公倍数です。

公約数のうちいちばん大きいものを、最大公約数といいます。

公倍数のうちいちばん小さいものを、最小公倍数といいます。

上下にならべて見くらべる

\(84\) と \(30\) で試します。まず、それぞれを素因数分解します。

\(84=2^{2}\times 3\times 7\)

\(30=2\times 3\times 5\)

どちらも小さい素数から順に書いてあります。だから、同じ素因数が上下でそろいます。

二つの素因数分解を、素因数ごとにそろえて見ることを 上下にならべて見くらべる といいます。

素因数を何個ずつ持っているかを、丸で書いてみます。

最大公約数は、少ないほうの個数だけ取る

最大公約数は、共通する素因数を、少ないほうの個数だけ取ります。

なぜ少ないほうなのでしょうか。\(30\) は \(2\) を \(1\) 個しか持っていません。

\(2\) を \(2\) 個使った数は、\(30\) を割り切れません。\(30\) の中に \(2\) が足りないからです。

両方を割り切るには、少ないほうに合わせるしかありません。

\(5\) と \(7\) は、片方にしかありません。片方に \(0\) 個なら、少ないほうは \(0\) 個です。だから取れません。

共通するのは \(2\) が \(1\) 個と \(3\) が \(1\) 個です。

\(2\times 3=6\)

最小公倍数は、多いほうの個数だけ取る

最小公倍数は、出てくる素因数を、多いほうの個数だけ取ります。

こちらは倍数なので、向きが反対になります。\(84\) の倍数になるには、\(2\) が \(2\) 個いります。

\(2\) が \(1\) 個では、\(84\) で割り切れません。足りないほうに合わせると、倍数になれないのです。

片方にしかない \(5\) と \(7\) も、忘れずに入れます。片方が \(0\) 個でも、多いほうは \(1\) 個だからです。

\(2\times 2\times 3\times 5\times 7=420\)

確かめ

84 ÷ 6 = 14 、30 ÷ 6 = 5 　どちらも 割り切れた
420 ÷ 84 = 5 、420 ÷ 30 = 14 　どちらの 倍数にも なっている

かけて平方数にする

平方数

レッスン「累乗（底と指数）」で、\(2\) 乗を平方、\(3\) 乗を立方といいました。

その平方の形になる数に、名前をつけます。

同じ整数を \(2\) 回かけてできる数を、平方数といいます。

\(1=1\times 1\)、\(4=2\times 2\)、\(9=3\times 3\)、\(16=4\times 4\)、\(25=5\times 5\) です。

平方数を素因数分解すると、どうなるでしょうか。\(576=24\times 24\) で調べます。

\(24=2^{3}\times 3\) なので、同じ顔ぶれが二組ならびます。

\(576=2^{3}\times 3\times 2^{3}\times 3=2^{6}\times 3^{2}\)

底は \(2\) と \(3\) で、指数はどちらも偶数になりました。二組そろうので、個数が \(2\) 倍になるからです。

平方数を素因数分解すると、指数はすべて偶数になります。

足りない分だけ、かけ足す

\(96\) にかけて平方数にする、いちばん小さい自然数を考えます。

\(96=2^{5}\times 3\)

\(2\) の指数は \(5\)、\(3\) の指数は \(1\) です。どちらも奇数なので、このままでは平方数ではありません。

奇数を偶数にするには、\(1\) をたせば足ります。つまり、その素因数をもう \(1\) 個ずつかければよいのです。

指数が奇数の素因数を、\(1\) つずつかければ平方数になります。

かける数は \(2\times 3=6\) です。

\(96\times 6=576=2^{6}\times 3^{2}\)

これより小さい数ではどうでしょうか。\(2\) か \(3\) のどちらかを省くと、その指数が奇数のまま残ります。

だから \(6\) より小さくはできません。

セクション8で作った道具

例題1　約数をすべて書き出す

\(80\) の約数を、素因数分解を使ってすべて書き出しなさい。

まず素因数分解し、それぞれの素因数を何個使うかで組み合わせを作ります。

\(5\) を使わない側は \(1\)、\(2\)、\(4\)、\(8\)、\(16\) です。\(5\) を \(1\) 個使う側は、それぞれを \(5\) 倍します。

確かめ

1 、2 、4 、8 、16 の それぞれに 5 を かけると
5 、10 、20 、40 、80
合わせて 10 個　80 ÷ 16 = 5 　16 も 約数

答えの吟味

組で書き出しても、同じ \(10\) 個になります。個数が一致するので、書きもれはありません。

答え　\(1\)、\(2\)、\(4\)、\(5\)、\(8\)、\(10\)、\(16\)、\(20\)、\(40\)、\(80\) の \(10\) 個

例題2　約数の個数を数える

次の数の約数の個数を求めなさい。（1）\(|-300|\)　（2）\(81\)

（1）の \(|-300|\) は \(300\) です。約数を数える相手は自然数にそろえます。

確かめ

（1）1 、2 、3 、4 、5 、6 、10 、12 、15 、20 、25 、30 、
　　 50 、60 、75 、100 、150 、300 　数えると 18 個
（2）1 、3 、9 、27 、81 　数えると 5 個

答えの吟味

（2）は \(81=9\times 9\) です。組で書き出すと \(9\) と \(9\) が出会って一つに重なるので、個数が奇数になります。

答え　（1）\(18\) 個　（2）\(5\) 個

例題3　最大公約数と最小公倍数

\(99\) と \(363\) の最大公約数と最小公倍数を求めなさい。

素因数分解して、上下にならべて見くらべます。

確かめ

99 ÷ 33 = 3 、363 ÷ 33 = 11 　どちらも 割り切れた
1089 ÷ 99 = 11 、1089 ÷ 363 = 3 　どちらの 倍数にも なっている

答えの吟味

\(3\) は \(99\) のほうが多く、\(11\) は \(363\) のほうが多くなっています。素因数ごとに見くらべる相手が入れかわります。

答え　最大公約数 \(33\)、最小公倍数 \(1089\)

例題4　正方形のタイルをしきつめる

たて \(136\) cm、よこ \(102\) cm の長方形の板があります。

同じ大きさの正方形のタイルを、あまりが出ないようにすきまなくはります。

いちばん大きいタイルの一辺は何 cm ですか。また、そのとき何枚いりますか。

一辺の長さは、たてもよこもちょうど割り切れる数です。いちばん大きいのは最大公約数です。

確かめ

34 × 4 = 136 　たては ちょうど
34 × 3 = 102 　よこも ちょうど
4 × 3 = 12 　枚数

答えの吟味

長さなので、答えは正の数になります。\(34\) cm より大きい正方形では、どちらかにあまりが出ます。

答え　一辺 \(34\) cm で、\(12\) 枚

例題5　かけて平方数にする

次の数にかけて平方数にする、いちばん小さい自然数を求めなさい。（1）\(108\)　（2）\(112\)

素因数分解して、指数が奇数の素因数をさがします。

確かめ

（1）108 × 3 = 324 　324 = 18 × 18
（2）112 × 7 = 784 　784 = 28 × 28

答えの吟味

（1）の \(2\) の指数は \(2\) で、もう偶数です。偶数の素因数には、かけ足す必要がありません。

答え　（1）\(3\)　（2）\(7\)

今日の問い

\(36\) の約数は \(9\) 個でした。組で書き出したから分かった、と思ったかもしれません。

では、書き出さずに \(9\) 個だと言い当てられるでしょうか。

\(36=2^{2}\times 3^{2}\) です。\(2\) の使い方が \(3\) 通り、\(3\) の使い方が \(3\) 通りです。

\(3\times 3=9\) で、書き出す前に個数が出ます。それぞれの指数に \(1\) を足して、かけ合わせると、約数の個数になります。

素因数分解は、その数の設計図です。設計図が読めれば、中身は数えなくても分かります。

よくある間違い

まちがい1：指数を、そのままかけてしまう

\(120\) の約数の個数を求める問題です。

✗ 120 = 2 の 3 乗 × 3 × 5
✗ 3 × 1 × 1 = 3
✗ 約数は 3 個

指数をそのままかけています。\(0\) 個という使い方が、数えられていません。

○ 2 は 0 個 から 3 個 で 4 通り
○ 3 は 0 個 か 1 個 で 2 通り　5 も 2 通り
○ 4 × 2 × 2 = 16 個

誤答の \(3\) 個を確かめます。

1 、2 、3 は どれも 120 の 約数
4 も 5 も 6 も 約数　3 個では 足りない

\(0\) 個という使い方があるので、通り数は指数より \(1\) 多くなります。

まちがい2：最大公約数で、多いほうを取ってしまう

\(84\) と \(30\) の最大公約数を求める問題です。

✗ 2 は 2 個 と 1 個 だから 2 個 取る
✗ 2 × 2 × 3 = 12

多いほうを取ってしまいました。誤答の \(12\) を確かめます。

84 ÷ 12 = 7 　割り切れる
30 ÷ 12 　割り切れない
両方を 割り切れないので 公約数ですら ない

\(30\) は \(2\) を \(1\) 個しか持っていません。少ないほうに合わせないと、割り切れないのです。

○ 2 は 少ないほうの 1 個
○ 3 は どちらも 1 個
○ 2 × 3 = 6

最大公約数は、共通する素因数を、少ないほうの個数だけ取ります。

まちがい3：あてずっぽうに、かける数を決める

\(96\) にかけて平方数にする、いちばん小さい自然数を求める問題です。

✗ 2 を かければ よさそう
✗ 96 × 2 = 192

\(192\) が平方数かどうかを確かめます。

13 × 13 = 169 、14 × 14 = 196
192 は この 間　平方数では ない
192 = 2 の 6 乗 × 3 　3 の 指数が 1 の まま

\(3\) の指数が奇数のまま残っています。かけ足す相手は、指数が奇数の素因数です。

○ 96 = 2 の 5 乗 × 3 　どちらの 指数も 奇数
○ 2 と 3 を 1 つずつ かける　2 × 3 = 6
○ 96 × 6 = 576 = 24 × 24

指数が奇数の素因数を、\(1\) つずつかければ平方数になります。

自分で確かめよう

紙に書いてから、答えを開いてください。まず素因数分解をしてから考えること。

1. \(75\) の約数をすべて書き出しなさい。

2. \(88\) の約数をすべて書き出しなさい。

3. 素因数分解すると \(2^{3}\times 13\) になる数について、約数の個数と、その数そのものを答えなさい。

4. \(135\) の約数の個数を求めなさい。

5. \(392\) の約数の個数を求めなさい。

6. \(|-250|\) の約数の個数を求めなさい。

7. \(38\) と \(95\) の最大公約数と最小公倍数を求めなさい。

8. \(40\) と \(116\) の最大公約数と最小公倍数を求めなさい。

9. \(180\) にかけて平方数にする、いちばん小さい自然数を求めなさい。

10. \(588\) にかけて平方数にする、いちばん小さい自然数を求めなさい。

11. \(490\) の約数の個数と、かけて平方数にするいちばん小さい自然数を求めなさい。

12. \(400\) にかけて平方数にする、いちばん小さい自然数を求めなさい。

13. 素因数分解すると \(3^{3}\times 5^{2}\) になる数の約数の個数を、\(3\times 2=6\) 個と答えた人がいます。どこがちがうかを説明し、正しい個数を求めなさい。

14. たて \(160\) cm、よこ \(272\) cm の長方形の紙があります。同じ大きさの正方形に、あまりなく切り分けます。いちばん大きい正方形の一辺と、そのときの枚数を求めなさい。

15. 二つの機械が、それぞれ \(27\) 秒ごとと \(42\) 秒ごとに音を鳴らします。いま同時に鳴りました。次に同時に鳴るのは何秒後ですか。

1. 3 × 25 = 75 、5 × 15 = 75 　組に なっている　6 個
2. 8 × 11 = 88 、4 × 22 = 88 、2 × 44 = 88 　8 個

3. 1 、2 、4 、8 、13 、26 、52 、104 　8 個
4. 1 、3 、5 、9 、15 、27 、45 、135 　8 個
5. 1 、2 、4 、7 、8 、14 、28 、49 、56 、98 、196 、392 　12 個
6. 1 、2 、5 、10 、25 、50 、125 、250 　8 個

7. 38 ÷ 19 = 2 、95 ÷ 19 = 5 　190 ÷ 38 = 5 、190 ÷ 95 = 2
8. 40 ÷ 4 = 10 、116 ÷ 4 = 29 　1160 ÷ 40 = 29 、1160 ÷ 116 = 10

9. 180 × 5 = 900 　900 = 30 × 30
10. 588 × 3 = 1764 　1764 = 42 × 42

1 、2 、5 、7 、10 、14 、35 、49 、70 、98 、245 、490 　12 個
490 × 10 = 4900 　4900 = 70 × 70

400 = 20 × 20 　もう 平方数
400 × 1 = 400 　1 を かけても 平方数の まま

3 は 0 個 から 3 個 で 4 通り
5 は 0 個 から 2 個 で 3 通り
4 × 3 = 12 個
1 、3 、5 、9 、15 、25 、27 、45 、75 、135 、225 、675 　12 個

16 × 10 = 160 、16 × 17 = 272 　どちらも ちょうど
10 × 17 = 170 　枚数

378 ÷ 27 = 14 、378 ÷ 42 = 9 　どちらの 倍数にも なっている

次のレッスンへ

素因数分解した形が、四つの道具になりました。

約数は、その数の素因数を何個ずつ使うかを決めると、一つできます。 それぞれの指数に \(1\) を足して、かけ合わせると、約数の個数になります。

最大公約数は、共通する素因数を、少ないほうの個数だけ取ります。 最小公倍数は、出てくる素因数を、多いほうの個数だけ取ります。

同じ整数を \(2\) 回かけてできる数を、平方数といいます。 指数が奇数の素因数を、\(1\) つずつかければ平方数になります。

ここでセクション8は終わりです。

次のセクションは「正負の数の利用」です。その第1回では、正負の数を場面にもどして使います。

次のセクションへ　基準との差　→

クイズと理解チェックは、アプリで挑戦できます。