基準との差

このレッスンでできるようになること

• 基準を決めて、実際の値を基準との差で表せる
• 差から実際の値へ、実際の値から差へ、行き来できる
• 答えに基準と単位を添えて書ける

前のレッスンの確認

• 絶対値 … ある数を表す点と原点との距離
• 引かれる数 … 最初に書かれている数のこと
• 引く数 … 引き算の記号のあとに書かれている数のこと
• 変えるのは二つだけ … ①引く記号を「たす」に変える ②引く数を反対の数に変える。最初の数は変えない
• 異なる符号の数をたす三つの段階 … ①二つの絶対値をくらべる ②絶対値が大きいほうの符号を、答えの符号にする ③大きい絶対値から小さい絶対値を引く
• 引く数と引かれる数を入れかえると、答えが変わる
• 基準と向きを決める四つの手順 … 1. 何を0とするか決める 2. どちら側を正の向きにするか決める 3. 量の大きさを数で表す 4. 正の向きと同じなら \(+\)、反対なら \(-\) を付ける

絶対値は記号でも書きます。\(|-3|\) は \(3\) です。\(|+5|\) は \(5\) です。

数の話から、場面へもどる

セクション8では、数そのものを見てきました。素数や約数は、場面のない話でした。

ここからは、正負の数を場面にもどして使います。新しい計算は出てきません。変わるのは、式の読み方です。

ならべても、見くらべにくい

ある農家が、米のふくろを出荷します。ふくろは \(50\) kg 入りで作りますが、ぴったりにはなりません。

はかった重さは、\(53\) kg、\(47\) kg、\(50\) kg、\(46\) kg、\(55\) kg でした。

この五つを見て、どれが重いかすぐに言えるでしょうか。ちがいはどれもわずかです。

それなのに、二けたの数を読まされています。

基準を決めると、ずれが見える

そこで、\(50\) kg を基準にします。基準とは、そこを \(0\) とみる、もとになる値のことです。

\(53\) kg は基準より \(3\) kg 重いので \(+3\) kg と書きます。\(47\) kg は \(3\) kg 軽いので \(-3\) kg です。

書きかえた五つをならべます。\(+3\)、\(-3\)、\(0\)、\(-4\)、\(+5\) です。

一けたの数になりました。どれが重いかも、符号を見ればすぐ分かります。

これが基準を決める理由です。基準を決めると、数が小さくなって見くらべやすくなります。

差を求める式

いま、頭の中でしていた計算を式に直します。\(53\) kg のふくろでは \(53-50=3\)、\(47\) kg のふくろでは \(47-50=-3\) です。

どちらも、実際の値から基準値を引いています。

差 ＝ 実際の値 − 基準値

この差を、基準との差といいます。

この単元では、「差」という言葉を別の意味でも使ってきました。異なる符号の数をたすときの「大きい絶対値から小さい絶対値を引く」も、差と呼びました。

このレッスンでいう差は、基準値を引いて出した、符号つきの数です。 二つを混ぜないでください。

実際の値にもどす式

差だけが書かれた記録を渡されることもあります。そのときは、逆にたどります。

基準が \(50\) kg で差が \(-4\) kg なら、\(50+(-4)=46\) です。実際の重さは \(46\) kg でした。

実際の値 ＝ 基準値 ＋ 差

この二つの式は対になっています。 片方が分かれば、いつでももう片方へ行けます。

引くのは基準値、たすのも基準値です。動かないのは基準値のほうだと覚えてください。

引く順番をまちがえると、符号が反対になる

セクション4のレッスン2「4つの型の減法を計算する」を思い出してください。引く数と引かれる数を入れかえると、答えが変わることを確かめました。ここでも、そのまま効いてきます。

\(47\) kg のふくろで、順番を入れかえてみます。

\(50-47\) の答えは \(+3\) です。\(47\) kg のふくろが、基準より重いことになってしまいました。

数の大きさは合っていて、符号が反対です。だから気づきにくいのです。

順番は、場面の言葉で覚えてください。聞かれているのは「そのふくろが基準よりどれだけ重いか」です。

主語は実際の値のほうです。だから、実際の値を先に書きます。

出た差を、たし戻して確かめる

順番のまちがいは、自分で見つけられます。セクション6のレッスン1「わり算は、かけ算の逆」の確かめ方が、そのまま使えるからです。

差が出たら、基準値にたして、実際の値に戻るかを見る。

\(47\) kg のふくろで、二つの答えを試します。

出た差を −3 とした場合
50 + (−3) = 47 。実際の重さに戻った

出た差を +3 とした場合
50 + (+3) = 53 。実際の重さ 47 kg に戻らない

戻らないほうが、まちがいです。差を出したら、必ずこの一行を書いてください。

基準と単位を必ず添える

ここまでで \(+3\) という数が出ました。しかし、この数だけを紙に書いても、意味は決まりません。

基準が \(50\) kg なら \(53\) kg ですが、基準が \(70\) kg なら \(73\) kg だからです。

答えるときは、基準と単位を言葉で添えてください。 「\(50\) kg を基準にして \(+3\) kg」と書いて、はじめて意味が決まります。

これは、基準と向きを決める四つの手順が「何を0とするか決める」を先に置いたのと同じ理由です。

入試の記述では、ここで点が引かれます。計算が合っていても、基準と単位が抜けていれば伝わらないからです。

基準は、自分で決めてよい

基準は、問題文で決められていることもあれば、自分で決めてよいこともあります。

米のふくろでは \(50\) kg が自然でしたが、\(45\) kg を基準にしてもかまいません。

そのときは差がぜんぶ変わり、\(53\) kg は \(+8\) kg になります。ただし、変わらないものもあります。

基準を取り替えても、値どうしのちがいは変わりません。 \(53\) kg と \(47\) kg のちがいは、いつでも \(6\) kg です。

このことは、表を作り直すレッスンでくわしく調べます。ここでは、そういう性質があるとだけ覚えておいてください。

例題1　ふくろの重さを差で表す

\(50\) kg を基準とします。ふくろPの重さは \(58\) kg、ふくろQの重さは \(44\) kg でした。それぞれを基準との差で表しなさい。

実際の値から基準値を引きます。実際の値が先です。

確かめ

50 + (+8) = 58 。Pの重さに戻った
50 + (−6) = 44 。Qの重さに戻った

答えの吟味

Pは基準より重いので \(+\)、Qは基準より軽いので \(-\) になりました。

答え　\(50\) kg を基準にして、P \(+8\) kg、Q \(-6\) kg

例題2　差から実際の重さにもどす

\(50\) kg を基準とします。差が \(+7\) kg のふくろと、差が \(-9\) kg のふくろがあります。それぞれの重さを求めなさい。

今度は基準値に差をたします。

確かめ

57 − 50 = +7 。記録の差に戻った
41 − 50 = −9 。記録の差に戻った

答えの吟味

差が正のふくろは重く、負のふくろは軽くなりました。

答え　\(+7\) kg のふくろは \(57\) kg、\(-9\) kg のふくろは \(41\) kg

例題3　どちらが基準から遠いか

例題1の二つのふくろのうち、基準から遠いのはどちらですか。

遠さを見るので、符号ではなく絶対値をくらべます。

Pの差の絶対値は \(|+8|\) で \(8\)、Qの差の絶対値は \(|-6|\) で \(6\) です。大きいのは \(8\) のほうです。

確かめ

P は 50 kg から 58 kg まで、はなれは 8
Q は 50 kg から 44 kg まで、はなれは 6
8 のほうが大きい

答えの吟味

\(-6\) の \(-\) は、基準より軽い側だという意味です。遠さとは別のことです。

答え　\(50\) kg を基準にして、Pのほうが \(2\) kg 遠い

例題4　得点を差で表す

\(70\) 点を基準とします。Aさんは \(83\) 点、Bさんは \(62\) 点でした。それぞれを基準との差で表しなさい。

重さでも得点でも、式は変わりません。

確かめ

70 + (+13) = 83 。Aさんの得点に戻った
70 + (−8) = 62 。Bさんの得点に戻った

答えの吟味

Aさんは基準より上、Bさんは基準より下です。符号が合っています。

答え　\(70\) 点を基準にして、Aさん \(+13\) 点、Bさん \(-8\) 点

例題5　基準を取り替える

例題4と同じ得点で、基準を \(80\) 点に取り替えます。二人の差はどうなりますか。また、二人の得点のちがいは変わりますか。

得点は動いていません。動かしたのは基準だけです。

確かめ

80 + (+3) = 83 。Aさんの得点に戻った
80 + (−18) = 62 。Bさんの得点に戻った
基準が 70 点のとき、二人の差は +13 と −8
13 − (−8) = 21 。ちがいは 21 点
基準が 80 点のとき、二人の差は +3 と −18
3 − (−18) = 21 。ちがいは 21 点で同じ

答えの吟味

基準を \(10\) 点上げたので、二つの差はそろって \(10\) 小さくなりました。

答え　\(80\) 点を基準にして、Aさん \(+3\) 点、Bさん \(-18\) 点。二人の得点のちがいは \(21\) 点で変わらない

例題6　差の記録から得点にもどす

\(70\) 点を基準とします。差の記録が \(+15\) 点、\(-12\) 点、\(0\) 点の三人がいます。三人の得点を求めなさい。

基準値に差をたします。

確かめ

85 − 70 = +15 。記録の差に戻った
58 − 70 = −12 。記録の差に戻った
70 − 70 = 0 。記録の差に戻った

答えの吟味

差が \(0\) 点の人は、基準と同じ得点でした。

答え　\(85\) 点、\(58\) 点、\(70\) 点

今日の問い

\(53\) kg と \(47\) kg は、どちらも \(50\) kg から \(3\) kg はなれています。

はなれ方が同じなのに、書き表すと \(+3\) kg と \(-3\) kg でちがいます。何がちがうのでしょうか。

ちがうのは、基準のどちら側にあるかです。\(|+3|\) も \(|-3|\) も \(3\) で、はなれの大きさは同じです。

はなれの大きさは絶対値が受け持ち、どちら側かは符号が受け持ちます。二つそろって、重さが一つに決まります。

だから、符号を落としてはいけません。\(3\) kg とだけ書くと、\(53\) kg か \(47\) kg かが決まらなくなります。

よくある間違い

まちがい1：基準値を先に書いてしまう

\(50\) kg を基準として、\(39\) kg のふくろの差を求める問題です。

✗ 50 − 39 = 11
✗ 答え　+11 kg

大きいほうから小さいほうを引く、という小学校のくせが残っています。

○ 39 − 50 = −11
○ 答え　50 kg を基準にして −11 kg

たし戻して確かめます。

誤答の +11 で戻すと 50 + (+11) = 61
実際の重さは 39 kg なので、戻っていない
正しい −11 で戻すと 50 + (−11) = 39 。戻った

引かれる数になるのは、いつも実際の値です。 大きいか小さいかで順番を決めてはいけません。

まちがい2：実際の値にもどすときに、引いてしまう

\(50\) kg を基準として、差が \(-13\) kg のふくろの重さを求める問題です。

✗ 50 − (−13) = 50 + (+13) = 63
✗ 答え　63 kg

差を求めるときに引いたので、もどすときも引くと考えてしまったのです。

○ 50 + (−13) = 37
○ 答え　37 kg

出た値から差を求め直して確かめます。

誤答の 63 kg で確かめると 63 − 50 = +13
記録の差は −13 kg なので、合わない
正しい 37 kg で確かめると 37 − 50 = −13 。合った

引くのは差を出すとき、たすのはもどすときです。 図の矢印の向きを、その場で思い出してください。

まちがい3：答えに基準と単位を書かない

計算は合っているのに、書き方だけで伝わらなくなる間違いです。

✗ 答え　+3

この \(+3\) が何を表すのかは、読む人に分かりません。

基準が 50 kg なら 50 + (+3) = 53 kg
基準が 70 kg なら 70 + (+3) = 73 kg

同じ \(+3\) が、\(53\) kg にも \(73\) kg にもなりました。単位がなければ、重さか得点かも決まりません。

○ 答え　50 kg を基準にして +3 kg

基準と単位を添えて、はじめて答えになります。

自分で確かめよう

紙に書いてから、答えを開いてください。差を出したら、たし戻して実際の値に戻るかを毎回確かめること。

1. \(60\) kg を基準とします。次のふくろの重さを、基準との差で表しなさい。 （1）\(64\) kg　（2）\(53\) kg　（3）\(60\) kg

2. \(60\) kg を基準とします。差が次のようなふくろの重さを求めなさい。 （1）\(+9\) kg　（2）\(-11\) kg　（3）\(-2\) kg

3. \(75\) 点を基準とします。次の得点を、基準との差で表しなさい。 （1）\(87\) 点　（2）\(61\) 点

4. \(75\) 点を基準とします。差が次のような人の得点を求めなさい。 （1）\(+6\) 点　（2）\(-19\) 点

5. 問1の（1）と（2）のふくろでは、どちらが基準から遠いですか。絶対値を使って説明しなさい。

6. 次の答えはまちがっています。どこがまちがっているかを書き、正しく直しなさい。

60 kg を基準とする。
51 kg のふくろの差を、60 − 51 = 9 として +9 kg と答えた。

7. あるクラスでは、目標の点数を基準にして、得点を基準との差で記録しています。Cさんの得点は \(67\) 点で、記録された差は \(-23\) 点でした。目標の点数は何点ですか。

8. \(75\) 点を基準として、Aさんは \(87\) 点、Bさんは \(61\) 点でした。基準を \(80\) 点に取り替えると、二人の差はそれぞれどうなりますか。また、二人の得点のちがいは変わりますか。

9. 次の答えはまちがっています。どこがまちがっているかを書き、正しく直しなさい。

60 kg を基準とする。
差が −5 kg のふくろの重さを、60 − (−5) = 65 として 65 kg と答えた。

10. \(70\) kg を基準とします。差が \(+6\) kg のふくろの重さを求め、その重さから差を求め直して \(+6\) kg に戻ることを確かめなさい。

11. \(57\) kg のふくろを、基準との差で表しなさい。基準は自分で決めてよいものとします。

12. 実際の重さをそのまま書きならべるより、基準との差で書くほうが見くらべやすくなります。その理由を説明しなさい。

（1）60 + (+4) = 64 。実際の重さに戻った
（2）60 + (−7) = 53 。実際の重さに戻った
（3）60 + 0 = 60 。実際の重さに戻った

（1）69 − 60 = +9 。記録の差に戻った
（2）49 − 60 = −11 。記録の差に戻った
（3）58 − 60 = −2 。記録の差に戻った

3（1）75 + (+12) = 87 。実際の得点に戻った
3（2）75 + (−14) = 61 。実際の得点に戻った
4（1）81 − 75 = +6 。記録の差に戻った
4（2）56 − 75 = −19 。記録の差に戻った

64 kg は 60 kg から 4 だけはなれている
53 kg は 60 kg から 7 だけはなれている
7 のほうが大きい

誤答の +9 で戻すと 60 + (+9) = 69
実際の重さは 51 kg なので、戻っていない

60 + (−9) = 51 。実際の重さに戻った

67 − 90 = −23 。記録の差に戻った
90 + (−23) = 67 。Cさんの得点に戻った

80 + (+7) = 87 。Aさんの得点に戻った
80 + (−19) = 61 。Bさんの得点に戻った
基準が 75 点のとき、二つの差は +12 と −14
12 − (−14) = 26 。ちがいは 26 点
基準が 80 点のとき、二つの差は +7 と −19
7 − (−19) = 26 。ちがいは 26 点で同じ

誤答の 65 kg で確かめると 65 − 60 = +5
記録の差は −5 kg なので、合わない

55 − 60 = −5 。記録の差に戻った

求め直した差は +6 kg
はじめの記録の +6 kg と同じ。戻った

60 + (−3) = 57 。実際の重さに戻った

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基準を決めて、実際の値を差で表せるようになりました。差から実際の値へも、いつでも戻れます。

差 ＝ 実際の値 − 基準値、実際の値 ＝ 基準値 ＋ 差。この二つが、セクション9のすべての土台になります。

次のレッスンでは、この差をもっと働かせます。近い値がいくつもならんだとき、計算しやすい数を基準に置いて、平均を求める方法を作ります。

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