仮平均で平均を求める

このレッスンでできるようになること

• 平均を、ならしたときの一つ分の大きさとして説明できる
• 仮平均の四つの手順を使って、平均を求められる
• 仮平均に差の平均をたすと本当の平均になる理由を、説明できる

前のレッスンの確認

• 絶対値 … ある数を表す点と原点との距離
• 基準との差 … 基準値を引いて出した、符号つきの数
• 差 ＝ 実際の値 − 基準値
• 実際の値 ＝ 基準値 ＋ 差
• 差が出たら、基準値にたして、実際の値に戻るかを見る。
• 引かれる数になるのは、いつも実際の値です。
• 答えるときは、基準と単位を言葉で添えてください。
• 加減の四つの手順 … ①項に分ける（符号は項に含める）②並べかえる（加法の交換法則・結合法則が根拠）③正の項の和と、負の項の和をそれぞれ求める ④合わせる
• 符号が先、絶対値があと … ①符号を先に決める（同じ符号どうしなら \(+\)、ちがう符号どうしなら \(-\)）②絶対値どうしを割る

絶対値は記号でも書きます。\(|-5|\) は \(5\) です。\(|+6|\) は \(6\) です。

平均は、ならしたときの一つ分

小学校で平均を習いました。ここで言葉をはっきりさせます。

いくつかの数量をならして、どれも同じ大きさになるようにしたときの一つ分の大きさを、平均といいます。

求め方も決まっていました。合計を個数で割ります。

この求め方に、もう一本の道をつけ足します。

そのまま合計すると、手間がかかる

図書室に、同じシリーズの本が \(5\) 冊あります。ページ数は \(487\)、\(492\)、\(485\)、\(496\)、\(495\) でした。

どれも \(490\) ページ前後で、ちがいは \(10\) ページほどしかありません。

それなのに、平均を出すには三けたの数を \(4\) 回もたすことになります。

仮平均を置く

前のレッスンで、値の近くに基準を置く手を作りました。ここでも、それを使います。

\(490\) ページを基準にします。

平均を求めるときに、値の近くに置く、計算しやすい基準の数を、仮平均といいます。

名前が変わっただけで、前のレッスンの基準と同じはたらきです。

仮平均の四つの手順

道すじを、四つの手順にまとめます。

仮平均の四つの手順

1. 値の近くに、計算しやすい仮平均を決める
2. 各値について「実際の値−仮平均」で差を求める
3. 差の合計を個数で割り、差の平均を求める
4. 「仮平均＋差の平均」で本当の平均に戻す

手順2は、新しい計算ではありません。前のレッスンの 差 ＝ 実際の値 − 基準値 そのものです。

基準値のところに仮平均が入っただけです。手順4も、実際の値 ＝ 基準値 ＋ 差 と同じ形をしています。

ここで出る差は、仮平均を基準にした 基準との差 です。このレッスンでは、仮平均との差と呼びます。

手順2で引く順番を反対にすると、差の符号が全部反対になります。引かれる数になるのは、いつも実際の値です。

出した差は、差が出たら、基準値にたして、実際の値に戻るかを見る。 で確かめられます。

四つの手順で、通してみる

\(5\) 冊のページ数で、実際に通します。

手順1 値は \(490\) の近くに集まっているので、仮平均を \(490\) ページにします。

手順2 \(5\) 冊すべての差を、順に求めます。

487 − 490 = −3
492 − 490 = +2
485 − 490 = −5
496 − 490 = +6
495 − 490 = +5

手順3 差を合計します。ここは加減の四つの手順の出番です。

項に分ける　−3 、+2 、−5 、+6 、+5
並べかえる　+2 + 6 + 5 − 3 − 5
正の項の和は +13 、負の項の和は −8
合わせて +13 − 8 = +5

差の合計 \(+5\) を、個数の \(5\) で割ります。符号が先、絶対値があと を使います。

符号は +　同じ符号どうし
絶対値は 5 ÷ 5 = 1
差の平均は +1 ページ

手順4 仮平均に差の平均をたします。\(490+(+1)=491\) です。

平均は \(491\) ページでした。三けたのたし算は、一度もしていません。

なぜ、これで本当の平均になるのか

「そういう決まりだから」では、不安が残ります。理由を見ます。

出発点は、前のレッスンの 実際の値 ＝ 基準値 ＋ 差 です。どの値も、仮平均と差に分けて書けます。

487 = 490 + (−3)
492 = 490 + (+2)
485 = 490 + (−5)
496 = 490 + (+6)
495 = 490 + (+5)

\(5\) 冊を全部たします。\(490\) が \(5\) つ分と、差の合計に分かれます。

合計 = 490 × 5 + (+5)
    = 2450 + 5 = 2455

この合計を、個数の \(5\) で割ります。\(490\) が \(5\) つ分を \(5\) で割れば \(490\) に戻ります。

差の合計を \(5\) で割れば、差の平均です。だから、次のようになります。

平均 ＝ 仮平均 ＋ 差の平均

図で見ると、はみ出した分をならしていることが分かります。

上の段の棒はでこぼこです。ならすと、どれも仮平均より \(1\) ページ高くなりました。

でこぼこをならした高さが、差の平均です。

全部たす道でも、確かめる

小学校の道でも計算します。\(5\) 冊を順に全部たします。

487 + 492 = 979
979 + 485 = 1464
1464 + 496 = 1960
1960 + 495 = 2455
2455 ÷ 5 = 491

\(491\) ページで、仮平均で出した答えと同じです。

二つの道は、どちらを通っても同じ平均に着きます。

差の平均が負になることもある

値が仮平均より小さいほうに寄っていると、差の合計は負の数になります。

\(5\) 人の身長を見ます。\(148\)、\(153\)、\(146\)、\(151\)、\(147\) cm でした。仮平均を \(150\) cm にします。

差の合計は \(+3+1-2-4-3=-5\) です。これを \(5\) で割ります。

符号は −　ちがう符号どうし
絶対値は 5 ÷ 5 = 1
差の平均は −1 cm

仮平均に \(-1\) をたします。\(150+(-1)=149\) で、平均は \(149\) cm です。

差の平均が負なら、本当の平均は仮平均より小さくなります。

仮平均は、どれを選んでもよい

仮平均に選ぶ数は、自分で決められます。\(5\) 冊のページ数で、\(487\) にしてみます。

\(487\) は、値の一つです。値の一つを、そのまま仮平均にしてもかまいません。

487 − 487 = 0
492 − 487 = +5
485 − 487 = −2
496 − 487 = +9
495 − 487 = +8
差の合計は +5 + 9 + 8 − 2 = +20
差の平均は 20 ÷ 5 = +4
487 + (+4) = 491

同じ \(491\) ページになりました。どの数を仮平均にしても、本当の平均は同じです。

変わるのは差の平均で、\(+1\) にも \(+4\) にもなります。答えるときは、基準と単位を言葉で添えてください。

ただし、値から遠い数を選ぶと差が大きくなり、計算が楽になりません。

出た平均を、確かめる

平均は、値をならした一つ分の大きさです。どの値よりも小さくも、大きくもなりません。

ここから、確かめ方が一つ作れます。

平均が出たら、いちばん小さい値といちばん大きい値のあいだにあるかを見る。

\(5\) 冊のページ数では、いちばん小さい値が \(485\)、いちばん大きい値が \(496\) です。答えの \(491\) は、その間にあります。

答えを書く前に、必ず見てください。

例題1　利用者数の平均を求める

図書室の \(5\) 日間の利用者数は、\(214\)、\(208\)、\(219\)、\(205\)、\(219\) 人でした。平均を求めなさい。

値は \(210\) の近くに集まっています。仮平均を \(210\) 人にします。

確かめ

214 + 208 = 422
422 + 219 = 641
641 + 205 = 846
846 + 219 = 1065
1065 ÷ 5 = 213 。同じ答え

答えの吟味

\(213\) は \(205\) と \(219\) のあいだにあります。

答え　\(213\) 人

例題2　差の平均が負になる場合

ある人が学校まで歩いた時間は、\(38\)、\(43\)、\(36\)、\(42\)、\(36\) 分でした。平均を求めなさい。

仮平均を \(40\) 分にします。差の合計の符号に気をつけます。

確かめ

38 + 43 + 36 + 42 + 36 = 195
195 ÷ 5 = 39 。同じ答え

答えの吟味

値は \(40\) 分より下に寄っています。平均が仮平均より小さいのは自然です。

答え　\(39\) 分

例題3　仮平均を取りかえる

例題1と同じ記録で、仮平均を \(205\) 人に取りかえます。平均はどうなりますか。

記録は動いていません。動かしたのは仮平均だけです。

確かめ

仮平均 210 のとき 差の平均は +3 、平均は 213
仮平均 205 のとき 差の平均は +8 、平均は 213 。同じ答え

答えの吟味

仮平均を \(5\) 小さくしたので、差はどれも \(5\) 大きくなり、差の平均も \(5\) 大きくなります。

答え　\(213\) 人で、例題1と同じ

例題4　二つの道で求める

\(4\) 人の身長は、\(154\)、\(158\)、\(152\)、\(164\) cm でした。仮平均を \(155\) cm として平均を求め、全部たす道でも確かめなさい。

個数が \(4\) 人なので、差の合計は \(4\) で割ります。

確かめ

154 + 158 + 152 + 164 = 628 、628 ÷ 4 = 157 。同じ答え

答えの吟味

\(157\) は \(152\) と \(164\) のあいだにあり、範囲の確かめも通りました。

答え　\(157\) cm

例題5　仮平均からいちばん遠い値

\(4\) 冊の本のページ数は、\(273\)、\(281\)、\(266\)、\(276\) でした。仮平均を \(275\) ページとして平均を求め、仮平均からいちばん遠い値も答えなさい。

遠さを見るときは、符号ではなく絶対値をくらべます。

差の絶対値は、\(|-2|\) が \(2\)、\(|+6|\) が \(6\)、\(|-9|\) が \(9\)、\(|+1|\) が \(1\) です。いちばん大きいのは \(9\) です。

確かめ

273 + 281 + 266 + 276 = 1096 、1096 ÷ 4 = 274 。同じ答え

答えの吟味

遠さは絶対値が受け持ち、上か下かは符号が受け持ちます。

答え　平均は \(274\) ページ。仮平均からいちばん遠い値は \(266\) ページ

今日の問い

\(5\) 冊のページ数を、仮平均 \(490\) でも \(487\) でも計算しました。どちらも \(491\) ページでした。

仮平均を変えれば、五つの差は全部変わります。それなのに、なぜ答えは動かないのでしょうか。

仮平均を \(3\) 小さくすると、どの差も \(3\) 大きくなります。\(-3\) は \(0\) に、\(+2\) は \(+5\) になりました。

五つとも \(3\) 大きくなるので、差の平均も \(3\) 大きくなります。\(+1\) が \(+4\) になりました。

たし戻すとき、仮平均は \(3\) 小さく、差の平均は \(3\) 大きい。二つは打ち消し合います。

だから、答えは動かないのです。

よくある間違い

まちがい1：差の合計を、そのまま仮平均にたす

\(4\) 日間の利用者数 \(174\)、\(168\)、\(171\)、\(175\) 人の平均を、仮平均 \(170\) 人で求める問題です。

✗ 差は +4 、−2 、+1 、+5 で 合計は +8
✗ 170 + 8 = 178
✗ 答え　178 人

手順3をとばしています。\(+8\) は \(4\) 日ぶんの差で、\(1\) 日ぶんではありません。

○ 差の合計 +8 を 個数の 4 で割る
○ 8 ÷ 4 = +2
○ 170 + (+2) = 172

確かめます。

174 + 168 = 342 、342 + 171 = 513 、513 + 175 = 688
688 ÷ 4 = 172
誤答の 178 は いちばん大きい値 175 より大きい。あいだに入っていない

差の合計は、必ず個数で割ってから仮平均に戻します。

まちがい2：差の平均を、そのまま答えにする

\(4\) 冊のページ数 \(316\)、\(322\)、\(319\)、\(327\) の平均を、仮平均 \(320\) ページで求める問題です。

✗ 差は −4 、+2 、−1 、+7 で 合計は +4
✗ 4 ÷ 4 = +1
✗ 答え　+1 ページ

手順3で止まっています。\(+1\) は差の平均で、本当の平均ではありません。

○ 320 + (+1) = 321
○ 答え　321 ページ

確かめます。

どの本も 316 ページ以上ある。平均が +1 ページになることはない
321 なら 316 と 327 のあいだにある

手順4を書かずに終わらせないでください。 差の平均は、まだ答えの手前です。

自分で確かめよう

紙に書いてから、答えを開いてください。平均が出たら、いちばん小さい値といちばん大きい値のあいだにあるかを毎回見ること。

1. \(4\) 冊の本のページ数は \(306\)、\(298\)、\(303\)、\(309\) でした。仮平均を \(300\) ページとして、平均を求めなさい。

2. \(5\) 人の身長は \(143\)、\(149\)、\(145\)、\(152\)、\(146\) cm でした。仮平均を \(145\) cm として平均を求めなさい。

3. \(5\) 日間の利用者数は \(178\)、\(172\)、\(185\)、\(169\)、\(176\) 人でした。仮平均を \(175\) 人として平均を求めなさい。

4. \(5\) 日間の通学にかかった時間は \(24\)、\(32\)、\(28\)、\(35\)、\(31\) 分でした。仮平均を \(30\) 分として平均を求めなさい。

5. \(4\) 人の身長は \(162\)、\(158\)、\(164\)、\(160\) cm でした。\(162\) cm を仮平均にして平均を求めなさい。

6. 問3と同じ記録で、仮平均を \(170\) 人に取りかえて平均を求めなさい。問3と同じ答えになりますか。

7. \(5\) 日間の利用者数は \(246\)、\(252\)、\(249\)、\(257\)、\(251\) 人でした。仮平均 \(250\) 人で平均を求め、全部たす道でも確かめなさい。

8. 次の答えはまちがっています。どこがまちがっているかを書き、正しく直しなさい。

5 冊のページ数 189 、196 、192 、198 、190 の平均を、仮平均 190 で求める。
差の合計は +15 。190 + 15 = 205 として 205 ページと答えた。

9. 次の答えはまちがっています。どこがまちがっているかを書き、正しく直しなさい。

5 人の身長 137 、144 、139 、142 、143 cm の平均を、仮平均 140 cm で求める。
差の合計は +5 。5 ÷ 5 = +1 として +1 cm と答えた。

10. 問2の \(5\) 人のうち、仮平均からいちばん遠いのは何cmの人ですか。絶対値を使って説明しなさい。

11. 仮平均に差の平均をたすと、なぜ本当の平均になるのですか。理由を説明しなさい。

12. 仮平均は、どんな数を選ぶとよいですか。理由もつけて書きなさい。

1. 306 + 298 + 303 + 309 = 1216 、1216 ÷ 4 = 304
2. 143 + 149 + 145 + 152 + 146 = 735 、735 ÷ 5 = 147
3. 178 + 172 + 185 + 169 + 176 = 880 、880 ÷ 5 = 176
三つとも 仮平均で出した答えと同じ

4. 24 + 32 + 28 + 35 + 31 = 150 、150 ÷ 5 = 30
5. 162 + 158 + 164 + 160 = 644 、644 ÷ 4 = 161
二つとも 仮平均で出した答えと同じ

6. 仮平均 175 のとき 差の平均は +1 、平均は 176
6. 仮平均 170 のとき 差の平均は +6 、平均は 176 。同じ答え
7. 246 + 252 + 249 + 257 + 251 = 1255 、1255 ÷ 5 = 251 。同じ答え

8. 15 ÷ 5 = +3 、190 + (+3) = 193
9. 140 + (+1) = 141

8. 189 + 196 + 192 + 198 + 190 = 965 、965 ÷ 5 = 193
8. 誤答の 205 は いちばん大きい値 198 より大きい。あいだに入っていない
9. 137 + 144 + 139 + 142 + 143 = 705 、705 ÷ 5 = 141
9. 141 は 137 と 144 のあいだにある

145 cm から 152 cm までのはなれは 7
ほかの人のはなれは 2 、4 、0 、1 で 7 より小さい

合計 = 490 × 5 + (+5) = 2455
2455 ÷ 5 は 490 と +1 に分かれ、490 + 1 = 491 。全部たす道と同じ

仮平均 490 なら 差は −3 、+2 、−5 、+6 、+5
仮平均 400 なら 差は +87 、+92 、+85 、+96 、+95
どちらも平均は 491 だが、後ろは計算が楽にならない

次のレッスンへ

平均を求める道が、二本になりました。全部たして個数で割る道と、仮平均を使う道です。

仮平均の四つの手順は、前のレッスンの 差 ＝ 実際の値 − 基準値 をそのまま使っています。

次のレッスンでは、同じ差の考え方を時間の流れの中で使います。はじめの値と終わりの値のあいだで、量がどれだけ動いたかを読み取ります。

平均が分かっていて、欠けた一つを求め直す問題は、このセクションの最後であつかいます。

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