変化量

このレッスンでできるようになること

• 変化量を、最後の値から最初の値を引いて求められる
• 三つの関係を使って、最初の値・変化量・最後の値を行き来できる
• 複数の増減を符号付きの数の和にまとめ、場面の言葉で答えられる

前のレッスンの確認

• 絶対値 … ある数を表す点と原点との距離
• 引かれる数 … 最初に書かれている数のこと
• 引く数 … 引き算の記号のあとに書かれている数のこと
• 変えるのは二つだけ … ①引く記号を「たす」に変える ②引く数を反対の数に変える。最初の数は変えない
• 異なる符号の数をたす三つの段階 … ①二つの絶対値をくらべる ②絶対値が大きいほうの符号を、答えの符号にする ③大きい絶対値から小さい絶対値を引く
• 加減の四つの手順 … ①項に分ける（符号は項に含める）②並べかえる（加法の交換法則・結合法則が根拠）③正の項の和と、負の項の和をそれぞれ求める ④合わせる
• 基準との差 … 基準値を引いて出した、符号つきの数
• 差 ＝ 実際の値 − 基準値
• 実際の値 ＝ 基準値 ＋ 差
• 引かれる数になるのは、いつも実際の値です。
• 差が出たら、基準値にたして、実際の値に戻るかを見る。
• 答えるときは、基準と単位を言葉で添えてください。

絶対値は記号でも書きます。\(|-11|\) は \(11\) です。\(|+7|\) は \(7\) です。

時間の流れが、式に入る

前の二つのレッスンでは、同じ時点の値をならべて見てきました。

ここからは、時間の流れが入ります。前の値と、あとの値です。

ある日の気温は、朝が \(-4\) ℃、昼が \(+7\) ℃ でした。朝から昼までに、どれだけ動いたのでしょうか。

変化量を決める

動いた大きさを、一つの数で表します。

最後の値から最初の値を引いた数を、変化量といいます。

変化量 ＝ 最後の値 − 最初の値

朝が最初の値、昼が最後の値です。式にします。

\((+7)-(-4)\)

引き算なので、変えるのは二つだけで書きかえます。

\((+7)+(+4)=+11\)

変化量は \(+11\) ℃ でした。気温は \(11\) ℃ 上がったことになります。

\(+7\) ℃ は昼の気温そのもの、\(+11\) ℃ は朝からのへだたりです。仕事がちがいます。

三つの関係

最初の値・変化量・最後の値は、たがいに行き来できます。

三つの関係を、式で書いておきます。

変化量 ＝ 最後の値 − 最初の値

最後の値 ＝ 最初の値 ＋ 変化量

最初の値 ＝ 最後の値 − 変化量

三つのうち二つが分かれば、残りの一つが出せます。

朝の気温と変化量からは \(-4+(+11)=+7\) で昼の気温が、昼の気温と変化量からは \((+7)-(+11)=-4\) で朝の気温が出ます。

出た変化量を、たし戻して確かめる

前のレッスンで、差が出たら、基準値にたして、実際の値に戻るかを見る。 と決めました。

変化量でも、同じ書きぐせにします。

変化量が出たら、最初の値にたして、最後の値に戻るかを見る。

朝の気温 \(-4\) ℃ で試します。

出た変化量を +11 とすると −4 + (+11) = +7 。昼の気温に戻った
出た変化量を −11 とすると −4 + (−11) = −15 。+7 ℃ に戻らない

戻らないほうが、まちがいです。変化量を出したら、必ずこの一行を書きます。

基準との差と、変化量は別の道具

ここが、このレッスンでいちばん事故の起きやすいところです。

二つはどちらも引き算の形ですが、別の道具です。図で見くらべてください。

基準との差では、基準はこちらで決めます。変化量では、最初の値がそのまま基準になります。

引かれる数になるのは、何か

式の形が似ているので、引かれる数で見分けます。

前のレッスンの 引かれる数になるのは、いつも実際の値です。 は、基準との差の話です。

変化量では、こう決めます。

引かれる数になるのは、いつも最後の値です。

得点で見てみます。前回のテストが \(58\) 点、今回が \(74\) 点でした。

変化量は \(74-58=+16\) 点です。\(65\) 点を基準にした差は、\(58-65=-7\) 点と \(74-65=+9\) 点です。

二つの語を混ぜないでください。 基準を決めたなら基準との差、前とあとをくらべたなら変化量です。

複数の増減をまとめる

気温は、一日のあいだに何度も動きます。ある日、朝から順に \(+5\)、\(-3\)、\(+8\)、\(-2\) と動きました。

一つ一つの動きも、変化量です。ぜんぶ合わせると、朝から夜までの変化量になります。

合わせ方は、符号つきの数の和です。加減の四つの手順を使います。

手順1　項に分ける　+5 、−3 、+8 、−2
手順2　並べかえる　+5 + 8 − 3 − 2
手順3　正の項の和は +13 、負の項の和は −5
手順4　合わせて +13 − 5 = +8

全体の変化量は \(+8\) ℃ でした。朝から夜までに \(8\) ℃ 上がっています。

朝の気温が \(-6\) ℃ なら、夜の気温は \(-6+(+8)=+2\) ℃ です。

通り道は、いくつもある

同じ \(+8\) ℃ に着く動き方は、一とおりではありません。

三つの通り道は、動いた回数がちがいます。それでも、合計はどれも \(+8\) です。

\(-6\) ℃ から出発すれば、どの道でも \(+2\) ℃ に着きます。

全体の変化量は、最初の値と最後の値だけで決まります。

途中の記録がなくても変化量は出せます。

答えを、場面の言葉に戻す

計算が終わっても、まだ答えではありません。\(-3\) ℃ は「\(3\) ℃ 下がった」という意味です。この言葉まで書きます。

前のレッスンで、答えるときは、基準と単位を言葉で添えてください。 と決めました。

変化量でも同じです。単位と、上がったか下がったかを添えてください。入試の記述では、ここで点が引かれます。

例題1　気温の変化量を求める

ある日の気温は、朝が \(-9\) ℃、昼が \(+3\) ℃、夜が \(-5\) ℃ でした。

（1）朝から昼への変化量　（2）昼から夜への変化量　を求めなさい。

式を書く前に、どちらが最後の値かを決めます。

確かめ

（1）−9 + (+12) = +3 。昼の気温に戻った
（2）+3 + (−8) = −5 。夜の気温に戻った

答えの吟味

朝から昼は上がるので \(+\)、昼から夜は下がるので \(-\) です。

答え　（1）\(12\) ℃ 上がった　（2）\(8\) ℃ 下がった

例題2　三つの関係で行き来する

（1）気温が \(-7\) ℃ から \(13\) ℃ 上がりました。あとの気温を求めなさい。

（2）気温が \(+4\) ℃ から \(9\) ℃ 下がりました。あとの気温を求めなさい。

（3）気温が \(6\) ℃ 下がって、\(-1\) ℃ になりました。もとの気温を求めなさい。

（1）（2）は 最後の値 ＝ 最初の値 ＋ 変化量 を使います。

（3）は 最初の値 ＝ 最後の値 − 変化量 を使います。変化量が引く数です。

確かめ

（1）+6 − (−7) = +13 。変化量に戻った
（2）−5 − (+4) = −9 。変化量に戻った
（3）+5 + (−6) = −1 。あとの気温に戻った

答えの吟味

（3）は下がった話なので、もとの気温は \(-1\) ℃ より高いはずです。合っています。

答え　（1）\(+6\) ℃　（2）\(-5\) ℃　（3）\(+5\) ℃

例題3　一日の動きをまとめる

ある日の気温は、朝から順に \(-4\) ℃、\(+9\) ℃、\(-7\) ℃、\(+3\) ℃ と動きました。

朝の気温は \(-2\) ℃ でした。全体の変化量と、夜の気温を求めなさい。

四つの動きを、加減の四つの手順で合わせます。

確かめ

朝から順にたどると
−2 + (−4) = −6
−6 + (+9) = +3
+3 + (−7) = −4
−4 + (+3) = −1 。同じ −1 ℃

答えの吟味

上がった分は合計 \(12\)、下がった分は合計 \(11\) で、\(1\) だけ上がりました。

答え　全体の変化量は \(1\) ℃ 上がった。夜の気温は \(-1\) ℃

例題4　変化量と基準との差を書き分ける

前回のテストは \(71\) 点、今回は \(54\) 点でした。

（1）前回から今回への変化量を求めなさい。

（2）\(60\) 点を基準として、二回の得点を基準との差で表しなさい。

（1）は前とあとをくらべます。（2）は決めた基準とくらべます。

確かめ

（1）71 + (−17) = 54 。今回の得点に戻った
（2）60 + (+11) = 71 、60 + (−6) = 54 。二つの得点に戻った

答えの吟味

（1）の引かれる数は今回の得点、（2）はそれぞれの実際の値です。

答え　（1）\(17\) 点下がった　（2）\(60\) 点を基準にして、前回 \(+11\) 点、今回 \(-6\) 点

例題5　どちらの変化が大きいか

A市の気温は \(-6\) ℃ から \(+1\) ℃ になりました。B市は \(+8\) ℃ から \(-2\) ℃ になりました。

変化が大きいのは、どちらの市ですか。

大きさを見るので、絶対値をくらべます。

A市の変化量の絶対値は \(|+7|\) で \(7\)、B市は \(|-10|\) で \(10\) です。大きいのは \(10\) のほうです。

確かめ

−6 + (+7) = +1 。A市のあとの気温に戻った
+8 + (−10) = −2 。B市のあとの気温に戻った

答えの吟味

\(-10\) の \(-\) は、下がった向きという意味です。大きさとは別のことです。

答え　B市。変化量の絶対値が \(10\) で、A市の \(7\) より大きいから

今日の問い

朝の気温 \(-4\) ℃、昼の気温 \(+7\) ℃ から、変化量 \(+11\) ℃ が出ました。

\(+7\) と \(+11\) は、どちらも符号つきの数です。どこがちがうのでしょうか。

\(+7\) ℃ は、\(0\) ℃ からはかった昼の気温です。はかる起点は \(0\) ℃ です。

\(+11\) ℃ は、朝の気温からはかったへだたりです。はかる起点は \(-4\) ℃ です。

はかりはじめる場所がちがいます。変化量では、最初の値がその起点になります。

どちらも「\(+\)」だからといって、同じ意味には読めません。

よくある間違い

まちがい1：最初の値から最後の値を引いてしまう

気温が \(-5\) ℃ から \(+8\) ℃ になったときの、変化量を求める問題です。

✗ (−5) − (+8) = −13
✗ 答え　13 ℃ 下がった

書かれている順に引いています。最初の値が引かれる数になっています。

○ (+8) − (−5) = +13
○ 答え　13 ℃ 上がった

誤答の −13 で戻すと −5 + (−13) = −18 。+8 ℃ に戻っていない
正しい +13 で戻すと −5 + (+13) = +8 。戻った

引かれる数になるのは、いつも最後の値です。 書かれている順で決めてはいけません。

まちがい2：引く数の符号を落とす

気温が \(-6\) ℃ から \(+4\) ℃ になったときの、変化量を求める問題です。

✗ 4 − 6 = −2
✗ 答え　2 ℃ 下がった

\(-6\) の \(-\) を、引き算の記号として読んでしまっています。引く数は \(-6\) という一つの数です。

○ (+4) − (−6) = (+4) + (+6) = +10
○ 答え　10 ℃ 上がった

誤答の −2 で戻すと −6 + (−2) = −8 。+4 ℃ に戻っていない
正しい +10 で戻すと −6 + (+10) = +4 。戻った

引く数の符号は、引く数の一部です。

まちがい3：最後の値を、変化量として答える

ある日の気温は、朝から順に \(+6\) ℃、\(-9\) ℃、\(+4\) ℃ と動きました。

朝の気温は \(-2\) ℃ でした。全体の変化量を求める問題です。

✗ 朝から順にたどると
✗ −2 + (+6) = +4 、+4 + (−9) = −5 、−5 + (+4) = −1
✗ 答え　変化量は −1 ℃

計算そのものは合っています。ただし、出たのは夜の気温です。問われているのは、朝からどれだけ動いたかです。

○ 三つの動きを合わせる　+6 + 4 − 9 = +1
○ 答え　1 ℃ 上がった

誤答の −1 で戻すと −2 + (−1) = −3 。夜の −1 ℃ に戻っていない
正しい +1 で戻すと −2 + (+1) = −1 。戻った

最後の値と変化量は、別のものです。 何を聞かれているかを、式の前に書いてください。

そのうえで、符号のまま答えて終わらないでください。

自分で確かめよう

紙に書いてから、答えを開いてください。変化量を出したら、最初の値にたして、最後の値に戻るかを毎回見ること。

1. 気温の変化量を求め、場面の言葉で答えなさい。 （1）\(-8\) ℃ から \(-1\) ℃　（2）\(+6\) ℃ から \(-4\) ℃　（3）\(-3\) ℃ から \(+9\) ℃

2. あとの気温を求めなさい。 （1）\(-11\) ℃ から \(7\) ℃ 上がった　（2）\(+2\) ℃ から \(9\) ℃ 下がった

3. もとの気温を求めなさい。 （1）\(8\) ℃ 下がって \(+1\) ℃ になった　（2）\(5\) ℃ 上がって \(-6\) ℃ になった

4. 気温が朝から順に \(+2\) ℃、\(-7\) ℃、\(+6\) ℃、\(-4\) ℃ と動きました。全体の変化量を、加減の四つの手順で求めなさい。

5. 問4で、朝の気温は \(-1\) ℃ でした。夜の気温を求めなさい。

6. 前回のテストは \(67\) 点、今回は \(82\) 点でした。前回から今回への変化量を求め、場面の言葉で答えなさい。

7. \(75\) 点を基準とします。問6の二回の得点を、それぞれ基準との差で表しなさい。また、変化量と基準との差は何がちがいますか。

8. A市の気温は \(-7\) ℃ から \(+2\) ℃、B市は \(+5\) ℃ から \(-6\) ℃ になりました。変化が大きいのはどちらですか。

9. 次の答えはまちがっています。どこがまちがっているかを書き、正しく直しなさい。

気温が −4 ℃ から +5 ℃ になった。
変化量を (−4) − (+5) = −9 として、9 ℃ 下がったと答えた。

10. 次の答えはまちがっています。どこがまちがっているかを書き、正しく直しなさい。

気温が −8 ℃ から +3 ℃ になった。
変化量を 3 − 8 = −5 として、5 ℃ 下がったと答えた。

11. 最初の気温が \(-6\) ℃、最後の気温が \(+1\) ℃ の日がありました。次の二つの通り道で、全体の変化量が同じになることを確かめなさい。

通り道A　\(+4\) ℃、\(-2\) ℃、\(+5\) ℃　　通り道B　\(-3\) ℃、\(+10\) ℃

12. 「気温は \(+5\) ℃」と「変化量は \(+5\) ℃」は、何がちがいますか。説明しなさい。

（1）−8 + (+7) = −1 。あとの気温に戻った
（2）+6 + (−10) = −4 。あとの気温に戻った
（3）−3 + (+12) = +9 。あとの気温に戻った

2（1）−11 + (+7) = −4 。求めた気温に合う
2（2）+2 + (−9) = −7 。求めた気温に合う
3（1）+9 + (−8) = +1 。あとの気温に戻った
3（2）−11 + (+5) = −6 。あとの気温に戻った

朝から順にたどると
−1 + (+2) = +1 、+1 + (−7) = −6
−6 + (+6) = 0 、0 + (−4) = −4 。同じ −4 ℃
変化量も −1 から −4 までの −3 で同じ

6　67 + (+15) = 82 。今回の得点に戻った
7　75 + (−8) = 67 。前回の得点に戻った
7　75 + (+7) = 82 。今回の得点に戻った

−7 + (+9) = +2 。A市のあとの気温に戻った
+5 + (−11) = −6 。B市のあとの気温に戻った

9　誤答の −9 で戻すと −4 + (−9) = −13 。+5 ℃ に戻っていない
9　正しい +9 で戻すと −4 + (+9) = +5 。戻った
10　誤答の −5 で戻すと −8 + (−5) = −13 。+3 ℃ に戻っていない
10　正しい +11 で戻すと −8 + (+11) = +3 。戻った

通り道A　−6 + 4 = −2 、−2 − 2 = −4 、−4 + 5 = +1
通り道B　−6 − 3 = −9 、−9 + 10 = +1
どちらも +1 ℃ に着いた

最初が −2 ℃ で変化量が +5 ℃ なら、最後は +3 ℃
最後の気温 +3 ℃ と 変化量 +5 ℃ は、別の数

次のレッスンへ

変化量 ＝ 最後の値 − 最初の値 が出発点です。三つの関係があるので、どの値でも求められます。

基準との差とは、引かれる数がちがいます。この見分けを崩さないでください。

次のレッスンでは、これらの値を表にまとめます。基準を決めて表を作り、取り替えて作り直す方法まで進みます。

次のレッスンへ　表と資料を正負の数で整理する　→

クイズと理解チェックは、アプリで挑戦できます。