表と資料を正負の数で整理する

このレッスンでできるようになること

• 基準との差の表を作り、実際の値と差を行き来できる
• 基準を取り替えて表を作り直し、変わるものと変わらないものを見分けられる
• 差の欄から、合計・平均・値どうしのちがいを求められる

前のレッスンの確認

• 絶対値 … ある数を表す点と原点との距離
• 基準との差 … 基準値を引いて出した、符号つきの数
• 差 ＝ 実際の値 − 基準値
• 実際の値 ＝ 基準値 ＋ 差
• 差が出たら、基準値にたして、実際の値に戻るかを見る。
• 答えるときは、基準と単位を言葉で添えてください。
• 基準を取り替えても、値どうしのちがいは変わりません。
• 仮平均の四つの手順 … 1. 値の近くに、計算しやすい仮平均を決める 2. 各値について「実際の値−仮平均」で差を求める 3. 差の合計を個数で割り、差の平均を求める 4. 「仮平均＋差の平均」で本当の平均に戻す
• 加減の四つの手順 … ①項に分ける（符号は項に含める）②並べかえる（加法の交換法則・結合法則が根拠）③正の項の和と、負の項の和をそれぞれ求める ④合わせる
• 変化量 ＝ 最後の値 − 最初の値
• 二つの語を混ぜないでください。

絶対値は記号でも書きます。\(|-13|\) は \(13\) です。\(|+9|\) は \(9\) です。

記録が増えると、文では追えなくなる

五つの地点で、ある夏の日の最高気温をはかりました。

地点アは \(33\) ℃、地点イは \(27\) ℃、地点ウは \(34\) ℃、地点エは \(29\) ℃、地点オは \(22\) ℃ でした。

いちばん高い地点はどこでしょうか。五つになると、文のままでは追えません。

基準との差の表

そこで、記録を三つの列の表に置きかえます。

項目、実際の値、基準との差の三つの列でつくる表を、基準との差の表といいます。

左の列に記録を区別する名前、まん中の列にはかった値、右の列に基準との差を書きます。

基準は、表の外に一度だけ書きます。

表を作る

基準を \(25\) ℃ にします。値の近くにある、きりのよい数だからです。

差 ＝ 実際の値 − 基準値 を、五つの行で順に使います。

地点ア　33 − 25 = +8
地点イ　27 − 25 = +2
地点ウ　34 − 25 = +9
地点エ　29 − 25 = +4
地点オ　22 − 25 = −3

地点オだけ、引く数のほうが大きく、答えは負の数です。

基準は \(25\) ℃、単位は ℃ です。右の列だけで、いちばん高いのが地点ウだと分かります。

表ができたら、全部の行でたし戻す

差が出たら、基準値にたして、実際の値に戻るかを見る。 を、五つの行すべてで行います。

25 + (+8) = 33 、25 + (+2) = 27 、25 + (+9) = 34
25 + (+4) = 29 、25 + (−3) = 22
五行とも、はかった気温に戻った

表を作ったら、行を飛ばさずに全部たし戻してください。 一行でも書きまちがえると、あとの合計も平均もずれます。

基準を取り替えて、作り直す

前のレッスンで、基準を取り替えても、値どうしのちがいは変わりません。 と書きました。ここでくわしく調べます。

\(35\) ℃ 以上の日を猛暑日といいます。同じ記録を、\(35\) ℃ を基準にして作り直します。

地点ア　33 − 35 = −2
地点イ　27 − 35 = −8
地点ウ　34 − 35 = −1
地点エ　29 − 35 = −6
地点オ　22 − 35 = −13

前の表の差とならべます。

五つとも負の差で、猛暑日の地点はありませんでした。

基準を上げた分だけ、差は下がる

どの行も、右の列が \(10\) 小さくなりました。

基準を \(10\) 増やすと、差はぜんぶ \(10\) 減ります。 実際の値は動かず、引く数だけが \(10\) 大きくなったからです。

変わらないのは、棒どうしの高さのちがい

それでも、変わらないものがあります。地点ウと地点オで見ます。

基準が 25 ℃ のとき　(+9) − (−3) = +12
基準が 35 ℃ のとき　(−1) − (−13) = +12
実際の値で　34 − 22 = 12

三つとも \(12\) ℃ です。基準を取り替えても、値どうしのちがいは変わりません。

だから、基準は、計算が楽になるように選んでよいのです。 ただし、答えるときは、基準と単位を言葉で添えてください。

高いほうと低いほうの、ちがいを求める

いちばん高い値といちばん低い値のちがいは、実際の値に戻さなくても、差の欄だけで求められます。

差の最大は地点ウの \(+9\)、最小は地点オの \(-3\) です。

\((+9)-(-3)=(+9)+(+3)=+12\)

ここでいう「差」は基準からのずれ、「ちがい」は二つの値のへだたりです。 使い分けてください。

合計と平均を、差から求める

合計も、差の欄から出せます。どの値も基準値と差に分かれるからです。

合計 ＝ 基準値 × 個数 ＋ 差の合計

差の合計は、加減の四つの手順で求めます。

手順1　項に分ける　+8 、+2 、+9 、+4 、−3
手順2　並べかえる　+8 + 2 + 9 + 4 − 3
手順3　正の項の和は +23 、負の項の和は −3
手順4　合わせて +23 − 3 = +20

基準値の \(5\) つ分と、差の合計を合わせます。

25 × 5 = 125 、125 + 20 = 145

平均は、仮平均の四つの手順 がそのまま使えます。基準を仮平均とみるだけです。

差の合計 \(+20\) を \(5\) で割ると、差の平均は \(+4\) ℃ です。\(25+(+4)=29\) で、平均は \(29\) ℃ です。

平均の \(29\) ℃ は、\(22\) ℃ と \(34\) ℃ のあいだにあります。

基準が 35 ℃ でも 35 × 5 + (−30) = 145 、平均は 29 ℃

資料を読み取るときの順序

表や資料を渡されたら、この順に見てください。

1. まず基準と単位を確かめる
2. 差の欄を見て、正の行と負の行を分ける
3. 問われているのが、実際の値か、差か、値どうしのちがいかを見分ける

この三つの手順を、資料を読み取るときの順序といいます。

式を書く前に、何を聞かれたかを紙に書いてください。

この表は、同じ時点の値をならべたものです。前とあとをくらべる 変化量 ＝ 最後の値 − 最初の値 とは別の道具です。二つの語を混ぜないでください。

例題1　基準を決めて表を作る

四つのクラスが集めた古紙は、\(1\) 組から順に \(86\)、\(93\)、\(79\)、\(98\) kg でした。\(90\) kg を基準として、基準との差の表を作りなさい。

差 ＝ 実際の値 − 基準値 を、四つの行で順に使います。

確かめ

90 + (−4) = 86 、90 + (+3) = 93
90 + (−11) = 79 、90 + (+8) = 98 。四行とも戻った

答えの吟味

\(90\) kg より重い二つが正、軽い二つが負です。

答え　\(90\) kg を基準にして、\(1\) 組 \(-4\) kg、\(2\) 組 \(+3\) kg、\(3\) 組 \(-11\) kg、\(4\) 組 \(+8\) kg

例題2　基準を取り替えて作り直す

例題1と同じ記録で、基準を \(100\) kg に取り替えます。表を作り直しなさい。また、\(2\) 組と \(3\) 組のちがいが変わらないことを確かめなさい。

動かしたのは基準だけです。

確かめ

100 + (−14) = 86 、100 + (−7) = 93
100 + (−21) = 79 、100 + (−2) = 98 。四行とも戻った
基準が 90 kg のとき　(+3) − (−11) = +14
基準が 100 kg のとき　(−7) − (−21) = +14
実際の値で　93 − 79 = 14 。三つとも同じ

答えの吟味

基準を \(10\) 増やしたので、差は四つとも \(10\) 減りました。

答え　\(100\) kg を基準にして、\(1\) 組 \(-14\) kg、\(2\) 組 \(-7\) kg、\(3\) 組 \(-21\) kg、\(4\) 組 \(-2\) kg。\(2\) 組と \(3\) 組のちがいは \(14\) kg で変わらない

例題3　高いほうと低いほうのちがい

四つの地点の最高気温を、\(20\) ℃ を基準にして表にしました。

（1）いちばん高い地点といちばん低い地点の、気温のちがいを差の欄だけで求めなさい。

（2）基準からいちばん遠い地点はどこですか。

（1）は差の最大と最小を選び、（2）は絶対値をくらべます。

差の絶対値は \(|+6|=6\)、\(|-5|=5\)、\(|+12|=12\)、\(|+1|=1\) で、いちばん大きいのは \(12\) です。

確かめ

実際の値で 32 − 15 = 17 。差の欄で出した 17 と同じ
20 + (+12) = 32 、20 + (−5) = 15 。気温に戻った

答えの吟味

\(-5\) の \(-\) は、基準より低い側だという意味です。遠さとは別です。

答え　（1）\(17\) ℃　（2）地点ク（差の絶対値が \(12\) でいちばん大きいから）

例題4　合計と平均を、差から求める

五つのクラスが集めた古紙の重さは、\(82\)、\(77\)、\(91\)、\(89\)、\(96\) kg でした。\(85\) kg を基準として、合計と平均を差から求めなさい。

まず五つの差を出し、合計 ＝ 基準値 × 個数 ＋ 差の合計 を使います。

確かめ

82 + 77 + 91 + 89 + 96 = 435 。同じ合計
435 ÷ 5 = 87 。同じ平均

答えの吟味

\(87\) kg は、いちばん小さい \(77\) kg といちばん大きい \(96\) kg のあいだにあります。

答え　合計は \(435\) kg、平均は \(87\) kg

例題5　差の表から、問われたものを読み取る

四つのクラスの古紙を、\(95\) kg を基準にして記録しました。実際の値は書かれていません。

（1）いちばん重かったクラスの実際の重さを求めなさい。

（2）いちばん重いクラスといちばん軽いクラスのちがいを求めなさい。

（1）は実際の値を聞かれています。差のままで答えてはいけません。

確かめ

95 + (+8) = 103 、95 + (−14) = 81
103 − 81 = 22 。差の欄で出した 22 と同じ

答えの吟味

（1）は実際の値、（2）はちがいです。問われたものがちがいます。

答え　（1）\(103\) kg　（2）\(22\) kg

今日の問い

基準を \(25\) ℃ から \(35\) ℃ に取り替えると、五つの差はぜんぶ変わりました。

それなのに、地点ウと地点オのちがいは \(12\) ℃ のままでした。なぜでしょうか。

どちらの実際の値も 実際の値 ＝ 基準値 ＋ 差 の形で、基準値の部分は同じです。

ちがいを求めると、その基準値どうしが打ち消し合います。残るのは差どうしのちがいです。

だから、基準をどこに置いても答えは動きません。

よくある間違い

まちがい1：基準を取り替えるとき、一部の行しか直さない

三つのクラスの古紙 \(84\)、\(79\)、\(91\) kg を、基準 \(85\) kg から \(95\) kg に取り替える問題です。もとの差は \(-1\)、\(-6\)、\(+6\) kg でした。

✗ 84 − 95 = −11
✗ 答え　−11 kg 、−6 kg 、+6 kg

いちばん上の行だけ直して、下の二行をそのまま写しています。

○ 84 − 95 = −11
○ 79 − 95 = −16
○ 91 − 95 = −4
○ 答え　−11 kg 、−16 kg 、−4 kg

たし戻して確かめます。

誤答の −6 で戻すと 95 + (−6) = 89 。79 kg に戻っていない
誤答の +6 で戻すと 95 + (+6) = 101 。91 kg に戻っていない

基準を取り替えたら、全部の行を書き直してください。 一行でも残すと、表の中で基準が二つになります。

まちがい2：問われているのが実際の値なのに、差を答える

基準が \(26\) ℃ の表で、ある地点の差が \(+5\) ℃ でした。その地点の気温を求める問題です。

✗ 答え　+5 ℃

表に書かれた数を、そのまま写しています。\(+5\) ℃ は基準からのずれです。

○ 26 + (+5) = 31
○ 答え　31 ℃

たし戻して確かめます。

誤答の +5 ℃ を実際の気温とすると 5 − 26 = −21
表の差は +5 ℃ なので、合わない

問われたものを答えないまちがいは、計算が合っていても点になりません。

自分で確かめよう

紙に書いてから、答えを開いてください。表を作ったら、毎回たし戻して確かめること。

1. 四つのクラスの古紙は \(92\)、\(83\)、\(99\)、\(94\) kg でした。\(90\) kg を基準として、基準との差の表を作りなさい。

2. 問1の表で、いちばん重いクラスといちばん軽いクラスのちがいを、差の欄だけを使って求めなさい。

3. 問1と同じ記録で、基準を \(100\) kg に取り替えて表を作り直しなさい。差はどう変わりますか。

4. 問1の記録で、合計と平均を差の欄から求めなさい。

5. 三つの地点サ・シ・スの最高気温は \(30\) ℃、\(23\) ℃、\(28\) ℃ でした。\(25\) ℃ を基準として表を作りなさい。

6. 問5の表で、いちばん高い地点といちばん低い地点のちがいを、差の欄だけで求めなさい。

7. 四つのクラスの古紙を、\(97\) kg を基準にして記録しました。差は \(+6\)、\(-9\)、\(+2\)、\(-3\) kg です。四つの実際の重さを求めなさい。

8. 問7の記録で、合計と平均を求めなさい。

9. 問5の表で、基準からいちばん遠い地点はどこですか。絶対値を使って説明しなさい。

10. 次の答えはまちがっています。どこがまちがっているかを書き、正しく直しなさい。

基準 66 kg の表に、3 組の差が +12 kg とあった。
3 組の実際の重さを聞かれて、+12 kg と答えた。

11. 次の答えはまちがっています。どこがまちがっているかを書き、正しく直しなさい。

基準 110 kg 、4 つのクラスの差が +3 、−5 、+9 、−3 の表がある。
4 つの合計を、差の合計の +4 として 4 kg と答えた。

12. 基準を取り替えても、値どうしのちがいが変わらないのはなぜですか。説明しなさい。

90 + (+2) = 92 、90 + (−7) = 83
90 + (+9) = 99 、90 + (+4) = 94 。四行とも戻った

実際の値で 99 − 83 = 16 。差の欄で出した 16 と同じ

100 + (−8) = 92 、100 + (−17) = 83
100 + (−1) = 99 、100 + (−6) = 94 。四行とも戻った

92 + 83 + 99 + 94 = 368 。同じ合計
368 ÷ 4 = 92 。92 は 83 と 99 のあいだにある

25 + (+5) = 30 、25 + (−2) = 23 、25 + (+3) = 28 。三行とも戻った

実際の値で 30 − 23 = 7 。差の欄で出した 7 と同じ

103 − 97 = +6 、88 − 97 = −9
99 − 97 = +2 、94 − 97 = −3 。四行とも記録の差に戻った

103 + 88 + 99 + 94 = 384 。同じ合計
384 ÷ 4 = 96 。96 は 88 と 103 のあいだにある

25 ℃ から 30 ℃ までのはなれは 5
ほかの地点は 2 と 3 で、5 より小さい

誤答の +12 kg を実際の重さとすると 12 − 66 = −54
表の差は +12 kg なので、合わない

78 − 66 = +12 。表の差に戻った

110 + (+3) = 113 、110 + (−5) = 105 、110 + (+9) = 119 、110 + (−3) = 107
113 + 105 + 119 + 107 = 444 。合った

基準が 90 kg のとき　(+9) − (−7) = 16
基準が 100 kg のとき　(−1) − (−17) = 16
実際の値でも 99 − 83 = 16

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項目、実際の値、基準との差の三つの列でつくる表を、基準との差の表といいます。

基準を取り替えても、値どうしのちがいは変わりません。

合計と平均も動きません。基準は、計算が楽になるように選んでよいのです。

次のレッスンは、このセクションのまとめです。平均が分かっていて欠けた一つを求め直す問題や、二つの地点の時刻のずれをあつかいます。

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