用語と記号の総整理
このレッスンでできるようになること
- この単元で決めた用語を、分野ごとの表で見わたせる
- 記号のつくりと、自分で書くときの約束を説明できる
- まぎらわしい言葉の対を、どのレッスンで決めたかまで言える
前のレッスンの確認
- 符号 … 数が正か負かを表す \(+\) と \(-\) のしるし。\(+\) は省略できるが、\(-\) は省略できない
- 絶対値 … ある数を表す点と原点との距離
- 項 … 式を \(+\) と \(-\) で区切った、ひとかたまりのこと（符号は項に含まれる）
- 優先順位 … どれを先にするかの順
絶対値は記号でも書きます。\(|-24|\) は \(24\) です。\(|+8|\) は \(8\) です。
この単元で決めた言葉を、一枚にまとめる
この単元では、\(50\) をこえる言葉に名前をつけてきました。分野ごとの表にまとめます。
表の右の列は、その言葉を決めたレッスンです。「\(2\)-\(2\)」は、セクション \(2\) のレッスン \(2\) という意味です。
数の種類
| 用語 | 意味 | 決めたレッスン |
|---|---|---|
| 正の数 | 0より大きい数 | 1-2 正の数・負の数・0 |
| 負の数 | 0より小さい数 | 1-2 正の数・負の数・0 |
| 0 | 正の数でも負の数でもない、境目の数 | 1-2 正の数・負の数・0 |
| 符号 | 数が正か負かを表す \(+\) と \(-\) のしるし。\(+\) は省略できるが、\(-\) は省略できない | 1-2 正の数・負の数・0 |
\(0\) をどちらにも入れないところが、出発点でした。
数直線と大小
| 用語 | 意味 | 決めたレッスン |
|---|---|---|
| 数直線 | 直線上に基準の点と目盛りをとり、数を点で表したもの | 2-1 数直線に正負の数を置く |
| 原点 | 数直線で0を表す点 | 2-1 数直線に正負の数を置く |
| 絶対値 | ある数を表す点と原点との距離 | 2-2 絶対値は0からの距離 |
| 以上 | その数を入れて、それより大きい範囲 | 2-3 絶対値から数を求める |
| 以下 | その数を入れて、それより小さい範囲 | 2-3 絶対値から数を求める |
| 未満 | その数を入れずに、それより小さい範囲 | 2-3 絶対値から数を求める |
| 不等号 | 二つの数の大小を表す記号 \(<\) と \(>\) | 2-4 正負の数の大小を比べる |
「以上」と「以下」はその数を入れます。「未満」は入れません。
加法・減法と項
| 用語 | 意味 | 決めたレッスン |
|---|---|---|
| 加法 | たし算のこと | 3-1 たし算は数直線上の移動 |
| 反対の数 | 符号だけを変えた数のこと | 3-4 反対の数と、たす順番を変えてよい理由 |
| 加法の交換法則 | たす順番を入れかえても、和は変わらない | 3-4 反対の数と、たす順番を変えてよい理由 |
| 加法の結合法則 | どこからたしても、和は変わらない | 3-4 反対の数と、たす順番を変えてよい理由 |
| 減法 | 引き算のこと | 4-1 引き算をたし算に直す |
| 引かれる数 | 最初に書かれている数のこと | 4-2 4つの型の減法を計算する |
| 引く数 | 引き算の記号のあとに書かれている数のこと | 4-2 4つの型の減法を計算する |
| 項 | 式を \(+\) と \(-\) で区切った、ひとかたまりのこと（符号は項に含まれる） | 4-4 項という見方 |
| 正の項 | 符号が \(+\) である項 | 4-4 項という見方 |
| 負の項 | 符号が \(-\) である項 | 4-4 項という見方 |
\(-3+5-8\) は、\(-3\) と \(+5\) と \(-8\) の和です。
乗法・除法
| 用語 | 意味 | 決めたレッスン |
|---|---|---|
| 積 | かけ算の答えのこと | 5-1 負の数をかけるとはどういうことか |
| 乗法 | かけ算のこと | 5-3 乗法の計算：符号と絶対値 |
| 乗法の交換法則 | かける順番を入れかえても、積は変わらない | 5-4 3つ以上の積と、かける順番 |
| 乗法の結合法則 | どこからかけても、積は変わらない | 5-4 3つ以上の積と、かける順番 |
| 商 | わり算の答えのこと | 6-1 わり算は、かけ算の逆 |
| 除法 | わり算のこと | 6-1 わり算は、かけ算の逆 |
| 逆数 | かけて \(1\) になる \(2\) 数の、一方をもう一方の逆数 | 6-3 逆数 |
たして \(0\) になる相手が反対の数、かけて \(1\) になる相手が逆数です。
累乗と計算の順序
| 用語 | 意味 | 決めたレッスン |
|---|---|---|
| 累乗 | 同じ数をいくつかかけたもの | 7-1 累乗（底と指数） |
| 底 | 累乗で、繰り返しかける数 | 7-1 累乗（底と指数） |
| 指数 | 累乗で右上に書く、かける個数を表す数 | 7-1 累乗（底と指数） |
| 分配法則（数の形） | かっこの外の数を、かっこの中のそれぞれにかけて、たすこと。（\(3 \times (5 + 2) = 3 \times 5 + 3 \times 2\)） | 7-3 分配法則 |
| 優先順位 | どれを先にするかの順 | 7-4 四則の混じった計算の順序 |
| くふう | 短い道を選ぶこと | 7-5 くふうして計算する |
| くふうの型 | くふうがまとまる、決まった形 | 7-5 くふうして計算する |
| くくり出し | 同じ数が二か所にかけられているとき、その数をかっこの外へ出すこと | 7-5 くふうして計算する |
優先順位は かっこの中 → 累乗 → 乗除 → 加減 です。同じ優先順位のものは、左から順に。
数の集合と素数
| 用語 | 意味 | 決めたレッスン |
|---|---|---|
| 自然数 | 1、2、3、… のような正の整数 | 8-1 自然数・整数・数の広がり |
| 整数 | 自然数と0と負の整数を合わせたもの | 8-1 自然数・整数・数の広がり |
| 反例 | あてはまらない例のこと | 8-1 自然数・整数・数の広がり |
| 約数 | ある整数を割り切ることのできる整数 | 8-3 素数 |
| 素数 | 1より大きい整数で、1とその数自身のほかに約数をもたないもの | 8-3 素数 |
| 素因数 | 整数を素数のかけ算で表したときの、その一つ一つの素数 | 8-4 素因数分解 |
| 素因数分解 | 整数を、素数だけのかけ算の形に表すこと | 8-4 素因数分解 |
| 最大公約数 | 公約数のうちいちばん大きいもの | 8-5 素因数分解を使う |
| 最小公倍数 | 公倍数のうちいちばん小さいもの | 8-5 素因数分解を使う |
| 平方数 | 同じ整数を \(2\) 回かけてできる数 | 8-5 素因数分解を使う |
素因数分解は、小さい素数から順に書きます。\(120 = 2^{3} \times 3 \times 5\) が、書き方の見本です。
正負の数の利用
| 用語 | 意味 | 決めたレッスン |
|---|---|---|
| 基準との差 | 基準値を引いて出した、符号つきの数 | 9-1 基準との差 |
| 平均 | いくつかの数量をならして、どれも同じ大きさになるようにしたときの一つ分の大きさ | 9-2 仮平均で平均を求める |
| 仮平均 | 平均を求めるときに、値の近くに置く、計算しやすい基準の数 | 9-2 仮平均で平均を求める |
| 変化量 | 最後の値から最初の値を引いた数 | 9-3 変化量 |
| 基準との差の表 | 項目、実際の値、基準との差の三つの列でつくる表 | 9-4 表と資料を正負の数で整理する |
| 値どうしのちがい | 二つの値のへだたり | 9-4 表と資料を正負の数で整理する |
| 時差 | 基準にする都市から見た、もう一つの都市の時刻のずれ | 9-5 入試型の利用問題 |
| 標高差 | 二つの地点の標高のへだたり | 9-5 入試型の利用問題 |
この七つの表に、この単元の言葉がすべて入っています。全部で \(54\) 語です。
記号のつくりを見る
絶対値の記号は \(|a|\) の形に書きます。たての線ではさんだ数の、原点からの距離を表します。\(|-7|\) は \(7\) です。
累乗は、底を大きく、指数を右上に小さく書きます。\(5^{3}\) の底は \(5\)、指数は \(3\) です。指数は、かける回数です。
プラスとマイナスの二つの役目
\(+\) と \(-\) には、役目が二つあります。数の符号としてのはたらきと、計算記号としてのはたらきです。
\(-5-(-2)\) には \(-\) が三つあります。はじめの \(-\) は符号、まん中の \(-\) は計算記号、かっこの中の \(-\) は符号です。
かっこの内と外
かっこを二重にするときは、外側を \(\{\ \}\) の形で書きます。内側のかっこは、ひとかたまりです。
計算は内側から始めます。
不等号の向き
口の開いたほうが、大きい数を向きます。
\(-6 < -2\) と書きます。数直線で右にあるほうが大きいからです。
差という言葉は、一つではない
「差」という言葉は、この単元で何度も出てきました。同じ意味ではありません。
| 出てくる場所 | 何を指すか | 決めたレッスン |
|---|---|---|
| 異なる符号の数をたすとき | 大きい絶対値から小さい絶対値を引く、という計算 | 3-3 異なる符号の数をたす |
| 基準との差 | 基準値を引いて出した、符号つきの数 | 9-1 基準との差 |
| 仮平均との差 | 仮平均を基準にした、基準との差 | 9-2 仮平均で平均を求める |
| 値どうしのちがい | 二つの値のへだたり | 9-4 表と資料を正負の数で整理する |
| 標高差 | 二つの地点の標高のへだたり | 9-5 入試型の利用問題 |
この重なりは、三つのレッスンが順に書き分けています。
レッスン「基準との差」は、まず範囲を限りました。このレッスンでいう差は、基準値を引いて出した、符号つきの数です。 ここでいう「このレッスン」とは、レッスン「基準との差」のことです。
レッスン「表と資料を正負の数で整理する」は、二つの言葉を分けました。ここでいう「差」は基準からのずれ、「ちがい」は二つの値のへだたりです。
レッスン「入試型の利用問題」は、標高差を「ちがい」の側に置きました。標高差は、二つの標高のちがいです。時間の前後がないので、変化量ではありません。
だから「差を求めなさい」と言われたら、何の差かを先に見てください。
型と形、二段階と二つの段階
数え方の言葉が似ている名前を、五つ並べます。
| 名前 | 何の名前か | 決めたレッスン |
|---|---|---|
| 4つの型 | 減法の型（正から正を引く、など） | 4-2 4つの型の減法を計算する |
| 4つの形 | かっこを外すときの形（形1から形4まで） | 4-3 かっこを外して和の形に書く |
| 二段階 | 減法を計算する二段階 | 4-2 4つの型の減法を計算する |
| 二つの段階 | 同じ符号の数をたす二つの段階 | 3-2 同じ符号の数をたす |
| ミスの四つの種類 | 見直しで分ける、まちがいの四つ | 10-2 ミスの四つの種類 |
「型」は減法、「形」はかっこ外しです。加法の分け方は「種類」、まちがいの分け方は「ミスの四つの種類」です。
基準との差と変化量
見た目はどちらも引き算です。ちがうところは二つあります。
- 基準との差は、基準をこちらで決めます。くらべるのは、同じ時点の値どうしです。
- 変化量は、最初の値が自動的に基準になります。しかも時間の前後があります。
二つの語を混ぜないでください。 最後の値と変化量は、別のものです。
引く向きも、言い方が対になっています。基準との差では 引かれる数になるのは、いつも実際の値です。 変化量では 引かれる数になるのは、いつも最後の値です。
かっこのある累乗と、ない累乗
\((-4)^{2}\) と \(-4^{2}\) は、別の数です。
かっこがあれば、かっこの中ぜんぶが底になります。 かっこがなければ、底は数の部分だけです。
\((-4)^{2} = (-4)\times(-4) = 16\)
\(-4^{2} = -(4\times 4) = -16\)
下の式では、前についた \(-\) は、累乗を計算したあとにかかります。
一つもないと、一つに決まらない
\(0\) で割れないわけを、二通りに分けて決めました。「一つもない」と「一つに決まらない」は、別のことです。
\(11\div 0\) は、\(0\) にかけて \(11\) になる数をさがすことです。そんな数は一つもありません。
\(0\div 0\) は、\(0\) にかけて \(0\) になる数をさがすことです。どんな数でもあてはまるので、一つに決まりません。
\(0\) で割ってはいけないのではなく、商を決められないのです。 そして 計算できないのは、わる数が \(0\) のときだけです。
自分で書くときのきまり
ここは、自分で式を書くときの決まりです。
| きまり | 例 | 決めたレッスン |
|---|---|---|
| 負の数を累乗するなら、かっこをつける | \(-9\) の \(2\) 乗は \((-9)^{2}\) | 7-2 かっこがつくときとつかないとき |
| \(0\) に符号をつけない | \(-0\) とも \(+0\) とも書かない | 6-2 0のあつかいと、0で割れない理由 |
| 指数が \(1\) なら書かない | \(5^{1}\) ではなく \(5\) | 7-1 累乗（底と指数） |
| 省けるのは先頭の \(+\) だけ | 途中の記号は残す | 4-3 かっこを外して和の形に書く |
| 素因数分解は小さい素数から順に書く | 同じ素因数がならんだら累乗で書く | 8-4 素因数分解 |
| 二重のかっこは、外側を \(\{\ \}\) で書く | 内側は丸いかっこのまま | 6-5 乗除の混じった計算 |
表を作るときは、絶対値の記号を使わないでください。たての線が、表の区切りとまぎれるからです。表の中では「\(-5\) の絶対値は \(5\)」と言葉で書きます。
例題1 用語と記号を答える
数直線で \(0\) を表す点を何といいますか。また、\(-12\) の絶対値を記号を使って書き、値を求めなさい。
まず、表の「数直線と大小」の欄を思い出します。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| 原点 | 数直線で \(0\) を表す点の名前 |
| 距離は \(12\) | \(-12\) を表す点から原点までのへだたりを読んだ |
確かめ
−12 を表す点から原点までは、目盛り 12 個ぶん
距離だから 0 以上。12 は 0 以上
答えの吟味
絶対値は距離です。負の数にはなりません。
答え 原点。\(-12\) の絶対値は \(|-12| = 12\)
例題2 項を書き出す
\(-6+11-3\) の項を全部書き出し、正の項と負の項に分けなさい。
符号ごと書き出します。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(-6\) 、\(+11\) 、\(-3\) | \(+\) と \(-\) で区切って、符号ごと書き出した |
| 正の項は \(+11\) | 符号が \(+\) である項を選んだ |
| 負の項は \(-6\) と \(-3\) | 符号が \(-\) である項を選んだ |
確かめ
−6 + 11 − 3 = 2
並べかえて +11 − 6 − 3 = 2
答えの吟味
項の数は三つです。区切りの数と合っています。
答え 項は \(-6\)、\(+11\)、\(-3\)。正の項は \(+11\)、負の項は \(-6\) と \(-3\)
例題3 マイナスの役目を見分ける
\(-8-(-3)\) にある三つの \(-\) は、それぞれ符号ですか、計算記号ですか。
左から順に見ていきます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| はじめの \(-\) | \(8\) についた符号だと読んだ |
| まん中の \(-\) | 引き算を表す計算記号だと読んだ |
| かっこの中の \(-\) | \(3\) についた符号だと読んだ |
確かめ
−8 − (−3) は、−8 から −3 を引く式
引く数を反対の数に変えて −8 + 3 = −5
答えの吟味
まん中を符号と読むと、引き算が消えてしまいます。
答え 順に、符号、計算記号、符号
例題4 使う言葉を選ぶ
次の(1)と(2)で使う言葉は、「基準との差」と「変化量」のどちらですか。
(1) 朝の気温と昼の気温をくらべて、上がった分を表す
(2) 目標の重さを決めて、そこからのずれを表す
時間の前後があるかどうかを見ます。
| 見分け | この行でしたこと |
|---|---|
| (1)には時間の前後がある | 最初の値と最後の値があると読んだ |
| (2)は基準をこちらで決める | 同じ時点の値と基準をくらべると読んだ |
確かめ
(1) 最後の値 − 最初の値 の形になる
(2) 実際の値 − 基準値 の形になる
答えの吟味
二つの語を混ぜないでください。 のとおりに分けました。
答え (1) 変化量 (2) 基準との差
例題5 書き方の約束に直す
次の書き方を、約束に合う形に直しなさい。
(1) \(-27\) の \(2\) 乗を \(-27^{2}\) と書いた
(2) \(0\) になった商を \(+0\) と書いた
(3) \(7\) を \(7^{1}\) と書いた
書くときの決まりの表を、上から当てはめます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \((-27)^{2}\) | 負の数を累乗するので、かっこをつけた |
| \(0\) | \(0\) に符号をつけないので、\(+\) を取った |
| \(7\) | 指数が \(1\) なので、\(1\) を書かないことにした |
確かめ
−27 の 2 乗 は (−27) × (−27) で、かっこの中ぜんぶが底
かっこをつけないと、底は 27 だけになる
答えの吟味
表す数が変わったのは、(1)だけです。(2)と(3)は書き方だけです。
答え (1) \((-27)^{2}\) (2) \(0\) (3) \(7\)
例題6 戻り先のレッスンを答える
次の言葉を決めたレッスンの名前を、それぞれ答えなさい。
(1) くくり出し (2) 反例 (3) 逆数
分野の見当をつけてから、表の右の列を読みます。
| 言葉 | この行でしたこと |
|---|---|
| くくり出し | 分野は累乗と計算の順序だと見当をつけた |
| 反例 | 分野は数の集合と素数だと見当をつけた |
| 逆数 | 分野は乗法・除法だと見当をつけた |
確かめ
くくり出し … 同じ数が二か所にかけられているとき、その数をかっこの外へ出すこと
反例 … あてはまらない例のこと
逆数 … かけて 1 になる 2 数の、一方をもう一方の逆数
答えの吟味
意味を言えれば、名前も出てきます。
答え (1) くふうして計算する (2) 自然数・整数・数の広がり (3) 逆数
今日の問い
同じ「差」という言葉を、どうして一つの意味に決めなかったのでしょうか。
決められなかったのではありません。場面ごとに、何から何を引くかがちがうからです。
そこで、どの差なのかを名前で分けました。
よくある間違い
まちがい1：項を、符号を落として書き出す
\(9-4+2\) の項を、\(9\)、\(4\)、\(2\) と書いてしまうことがあります。
✗ 項を 9 、4 、2 とした → 9 + 4 + 2 = 15
○ 項は +9 、−4 、+2 → +9 − 4 + 2 = 7
元の式 9 − 4 + 2 = 7 と合うのは ○ のほう
\(15\) は、元の式の値と合いません。符号を落としたぶんだけ、\(-4\) が \(+4\) に変わったからです。
まちがい2：負の数を累乗するのに、かっこをつけない
\(-21\) の \(2\) 乗を書くときに、かっこを忘れることがあります。
✗ かっこなしの形 → −(21 × 21) = −441
○ (−21) × (−21) = 441
かっこがなければ、底は \(21\) だけです。
\(441\) と \(-441\) では、符号がちがいます。かっこは飾りではありません。
自分で確かめよう
紙に書いてから、答えを開いてください。用語を答える問題では、決めたレッスンの名前も書くこと。
二つの数の大小を表す記号 \(<\) と \(>\) を何といいますか。口の開いたほうが向くのは、大きい数と小さい数のどちらですか。
ある数を表す点と原点との距離を何といいますか。
式を \(+\) と \(-\) で区切った、ひとかたまりを何といいますか。符号はどちらに入りますか。
累乗で、繰り返しかける数と、右上に書く数を、それぞれ何といいますか。
あてはまらない例のことを何といいますか。また、同じ整数を \(2\) 回かけてできる数を何といいますか。
\(-14\) の絶対値を、記号を使って書き、値を求めなさい。
\(12-5+8\) の項を全部書き出し、正の項と負の項に分けなさい。
\(-7-(-4)\) にある三つの \(-\) は、それぞれ符号ですか、計算記号ですか。
「4つの型」と「4つの形」は、それぞれどのレッスンで決めましたか。
「二段階」と「二つの段階」は、それぞれ何の手順の名前ですか。
標高差の「差」は、「基準からのずれ」と「二つの値のへだたり」のどちらですか。理由も書きなさい。
「一つもない」と「一つに決まらない」は、それぞれどんなわり算のことですか。
次の書き方を、約束に合う形に直しなさい。(1) \(-16\) の \(2\) 乗を \(-16^{2}\) と書いた (2) \(0\) になった商を \(-0\) と書いた
「仮平均」と「変化量」を決めたレッスンの名前を、それぞれ答えなさい。
答えと考え方
1.〜5. 用語を答える問題です。確かめは、その言葉を決めたレッスンにさかのぼることです。
| 問 | 決めたレッスン |
|---|---|
| 1 | 2-4 正負の数の大小を比べる |
| 2 | 2-2 絶対値は0からの距離 |
| 3 | 4-4 項という見方 |
| 4 | 7-1 累乗（底と指数） |
| 5 | 8-1 自然数・整数・数の広がり と 8-5 素因数分解を使う |
答えの吟味
言葉の意味まで言えるか、見てください。
答え 1 不等号。開いたほうが大きい数を向く 2 絶対値 3 項。符号は項に入る 4 底と指数 5 反例と平方数
6. 確かめ
−14 を表す点から原点までは、目盛り 14 個ぶん
距離だから 0 以上
答えの吟味
記号はレッスン「絶対値は0からの距離」で決めました。
答え \(|-14| = 14\)
7. 確かめ
12 − 5 + 8 = 15
並べかえて +12 + 8 − 5 = 15
答えの吟味
レッスン「項という見方」のとおり、符号ごと書き出しました。
答え 項は \(+12\)、\(-5\)、\(+8\)。正の項は \(+12\) と \(+8\)、負の項は \(-5\)
8. 確かめ
−7 − (−4) は、引く数を反対の数に変えて −7 + 4 = −3
答えの吟味
読み分けはレッスン「符号と計算記号を読み分ける」で決めました。
答え 順に、符号、計算記号、符号
9.・10. 確かめ
「型」は減法、「形」はかっこ外しです。「二段階」は減法、「二つの段階」は加法です。
答えの吟味
数え方の言葉ではなく、レッスンの名前で見分けます。
答え 9 型は 4-2 4つの型の減法を計算する、形は 4-3 かっこを外して和の形に書く
答え 10 二段階は減法を計算する二段階、二つの段階は同じ符号の数をたす二つの段階
11. 確かめ
レッスン「入試型の利用問題」で 標高差は、二つの標高のちがいです。時間の前後がないので、変化量ではありません。 と決めました。
答えの吟味
二つの地点に、時間の前後はありません。
答え 二つの値のへだたり。二つの標高のちがいであって、時間の前後もないから
12. 確かめ
5 ÷ 0 … 0 にかけて 5 になる数は一つもない
0 ÷ 0 … どんな数でもあてはまり、一つに決まらない
答えの吟味
レッスン「0のあつかいと、0で割れない理由」で決めた書き分けです。
答え 「一つもない」は \(0\) でない数を \(0\) で割るとき、「一つに決まらない」は \(0\div 0\) のとき
13. 確かめ
−16 の 2 乗 は (−16) × (−16) で、かっこの中ぜんぶが底
0 には符号がない
答えの吟味
(1)は表す数が変わります。(2)は書き方だけが変わります。
答え (1) \((-16)^{2}\) (2) \(0\)
14. 確かめ
分野は「正負の数の利用」です。
答えの吟味
どちらもセクション \(9\) で決めました。
答え 仮平均は 9-2 仮平均で平均を求める、変化量は 9-3 変化量
次のレッスンへ
用語と記号が、一枚になりました。あやしい言葉は、表の右の列のレッスンへ戻ってください。
次のレッスンは「ミスの四つの種類」です。まちがいを四つに分けて、どこで道を外したかを見つけられるようにします。
クイズと理解チェックは、アプリで挑戦できます。