数直線でとらえる
このレッスンでできるようになること
- 数直線上の2点間の距離を、原点をまたぐかどうかで求め分けられる
- 位置・距離・大小の三つの見方を、一枚の数直線の上で結びつけられる
- セクション2の道具を、問題に合わせて選んで使える
前のレッスンの確認
- 数直線 … 直線上に基準の点と目盛りをとり、数を点で表したもの
- 原点 … 数直線で0を表す点
- 数直線の三つの確認 … ①0の位置 ②正の向き ③1目盛りの大きさ
- 絶対値 … ある数を表す点と原点との距離。いつも0か正の数
- 絶対値の記号 … 数の両側を縦線1本ずつではさんで書く。\(|-5| = 5\)、\(|0| = 0\)
- 不等号 … 二つの数の大小を表す記号 \(<\) と \(>\)。開いた側が大きい数を向く
- 大小の原理 … 二つの数をくらべたとき、数直線で右にあるほうが大きい
- 以上・以下・未満・より大きい … 以上・以下はその数を入れる。未満・より大きいはその数を入れない
- ちょうどの数 … \(0\) と、\(1\)、\(2\)、\(3\)、… と、それらと反対の向きの \(-1\)、\(-2\)、\(-3\)、…
一本の線が、三つのことを言っている
セクション2では、ずっと同じ一本の線を見てきました。変わっていたのは見方だけです。
- 位置 … その数が線のどこにあるか。数直線に置く、点から読む
- 距離 … その点が原点からどれだけ離れているか。絶対値
- 大小 … どちらの点が右にあるか。不等号
三つは別々の話ではありません。同じ一つの点について、何を見ているかがちがうだけです。今日はこの三つを一枚の図に重ねます。その前に、足りない道具を一つ足します。これまで測ってきた距離は、いつでも原点からの距離でした。原点でない点から見た距離は、まだ測れません。
原点でない点から見た距離
\(-3\) と \(+5\) を、1目盛りが1の数直線に置きます。この二つの点は、どれだけ離れているでしょうか。
目盛りを一つずつ数えると、\(-3\) から \(+5\) まででぜんぶで8つでした。1目盛りが1なので、\(-3\) と \(+5\) は \(8\) だけ離れています。
数えなくてもすむように、図を見直します。二つの点の間には、ちょうど原点があります。原点で区切ると、線は二つに分かれました。
- 原点から \(-3\) までが \(3\)。これは \(|-3| = 3\) のこと
- 原点から \(+5\) までが \(5\)。これは \(|+5| = 5\) のこと
つなぎ直せばもとの長さに戻るので、\(3 + 5 = 8\) です。
原点をまたぐときは、左側の絶対値と右側の絶対値をたす。 二つの距離が原点でつながって、一本になるからです。
同じ側にあるとき
こんどは、二つの点が原点から見て同じ側にある場合です。\(-16\) と \(-10\) の離れぐあいを考えます。1目盛りが2の数直線で見ます。
原点から左へのびる矢印が2本あります。長いほうが \(|-16| = 16\)、短いほうが \(|-10| = 10\) です。
さっきとちがって、二つの距離は重なっています。短いほうの矢印は長いほうの中にすっぽり入っているので、たすと同じところを二度数えてしまいます。求めたいのは、長いほうがはみ出した分です。
\(16 - 10 = 6\)
\(-16\) と \(-10\) は、\(6\) だけ離れています。 図でも目盛り3つ分で、1目盛りが2なので \(2 \times 3 = 6\)。合っています。
同じ側にあるときは、大きい絶対値から小さい絶対値を引く。 二つの距離が重なっているので、はみ出した分だけが残るからです。
2点間の距離を求める三つの手順
まとめます。
2点間の距離を求める三つの手順
- 二つの数が、原点をはさんで反対側にあるか、同じ側にあるかを見る
- 反対側なら二つの絶対値をたす。同じ側なら大きい絶対値から小さい絶対値を引く
- 数直線で目盛りを数えて確かめる
手順1でつまずくと、たし算と引き算がまるごと入れかわります。両方に \(-\) が付いているか、両方に \(+\) が付いているか、それとも別々かを、先に声に出してください。
距離はいつも0か正の数です。絶対値と同じで、離れぐあいには向きがありません。
負の数のひき算ができるようになれば、一度のひき算でまとめて求められるようになりますが、それはもう少し先の話です。
例題1 原点をまたぐ2点間の距離
\(-10\) と \(+6\) の距離を求めなさい。1目盛りが1の数直線で確かめなさい。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(-10\) は原点より左、\(+6\) は原点より右 | 手順1。原点をはさんで反対側にある |
| \(-10\) の絶対値は \(10\)、\(+6\) の絶対値は \(6\) | 手順2。左側と右側の絶対値を出した |
| \(10 + 6 = 16\) | 手順2。反対側なので二つをたした |
確かめ
1 目盛りが 1 の数直線で、−10 から 0 まで目盛りを数えると 10 個
0 から +6 まで数えると 6 個。合わせて 16 個
1 目盛りは 1 なので、離れぐあいは 1 × 16 = 16 。合っている
答えの吟味
答えの \(16\) は、二つの絶対値 \(10\) と \(6\) のどちらよりも大きくなりました。原点をまたぐと二つの距離がつながるので、片方より短くなることはありません。
答え \(16\)
例題2 同じ側にある2点間の距離
（1）\(-17\) と \(-2\) の距離を求めなさい。 （2）\(+11\) と \(+20\) の距離を求めなさい。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(-17\) も \(-2\) も原点より左 | （1）手順1。同じ側にある |
| 絶対値は \(17\) と \(2\) で、\(17 - 2 = 15\) | （1）手順2。大きいほうから小さいほうを引いた |
| \(+11\) も \(+20\) も原点より右 | （2）手順1。同じ側にある |
| 絶対値は \(11\) と \(20\) で、\(20 - 11 = 9\) | （2）手順2。大きいほうから小さいほうを引いた |
確かめ
（1）1 目盛りが 1 の数直線で、−17 から −2 まで 1 つずつ数えると 15 個
どちらも原点より左にあり、−2 のほうが原点に近い。合っている
（2）+11 から +20 まで 1 つずつ数えると 9 個
どちらも原点より右にあり、+11 のほうが原点に近い。合っている
答えの吟味
（1）と（2）は符号がまるごと反対の組ですが、やり方は同じでした。同じ側かどうかだけを見ればよく、その側が右か左かは関係ありません。
答え （1）\(15\) （2）\(9\)
位置・距離・大小を一枚の図の上で
はじめに挙げた三つの見方を、一枚の数直線の上に重ねます。
点アは \(-6\)、点イは \(+7\) です。この一枚から、三つのことが読めます。
| 見方 | 読み取ること | この図では |
|---|---|---|
| 位置 | その数が線のどこにあるか | アは原点から左へ6目盛り、イは右へ7目盛り |
| 距離 | 原点から、または他の点からの離れぐあい | アの絶対値は \(6\)、イの絶対値は \(7\)、アとイは \(13\) 離れている |
| 大小 | どちらの点が右にあるか | アはイより左なので \(-6 < +7\) |
三つとも、線を書きかえてはいません。同じ図を、ちがう目で見ているだけです。問題文が何をたずねているのかさえ決まれば、答えは同じ図から取り出せます。
例題3 三つの見方を通す
\(-13\)、\(+16\)、\(-6.5\)、\(+4.5\) の四つの数について答えなさい。
（1）小さい順に並べなさい。 （2）絶対値がいちばん大きい数はどれですか。 （3）\(-13\) と \(+16\) の距離を求めなさい。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| 負の数は \(-13\) と \(-6.5\)、正の数は \(+16\) と \(+4.5\) | （1）小さい順に並べる三つの手順1 |
| 負の数の絶対値は \(13\) と \(6.5\) | （1）手順2。絶対値を出した |
| 大きいほうから \(-13\)、\(-6.5\) | （1）手順2。負の数は絶対値が大きいものが先 |
| 正の数の絶対値は \(16\) と \(4.5\) | （1）手順3。絶対値を出した |
| 小さいほうから \(+4.5\)、\(+16\) | （1）手順3。正の数は絶対値が小さいものが先 |
| \(13\)、\(16\)、\(6.5\)、\(4.5\) をくらべる | （2）四つの絶対値をならべた |
| いちばん大きいのは \(16\) | （2）絶対値どうしは0か正の数なのでそのままくらべられる |
| \(-13\) は左、\(+16\) は右 | （3）距離の手順1。反対側にある |
| \(13 + 16 = 29\) | （3）距離の手順2。反対側なのでたした |
確かめ
（1）数直線に置くと、左から −13 、−6.5 、+4.5 、+16 の順にならぶ
となりどうしで −13 < −6.5 、−6.5 < +4.5 、+4.5 < +16 。合っている
（2）+16 は原点から右へ 16 。ほかのどの点よりも原点から遠い。合っている
（3）−13 から 0 まで 13 、0 から +16 まで 16 。合わせて 29 。合っている
答えの吟味
いちばん大きい数 \(+16\) は絶対値もいちばん大きいのに、いちばん小さい数 \(-13\) の絶対値 \(13\) は二番目です。絶対値の順と数の大小の順は、同じにはなりません。
答え （1）\(-13\)、\(-6.5\)、\(+4.5\)、\(+16\) （2）\(+16\) （3）\(29\)
例題4 時計のずれを数直線で見る
時計アは正しい時刻より \(6\) 分遅れ、時計イは \(4\) 分進んでいます。正しい時刻を原点、進んでいるほうを正の向きとして、次の問いに答えなさい。
（1）二つのずれを符号つきの数で表しなさい。 （2）ずれの大きさが大きいのはどちらですか。 （3）アの指す時刻とイの指す時刻は何分ちがいますか。
数直線を使うので、先に三つの確認をそろえます。原点は正しい時刻の点、正の向きは進んでいるほう、1目盛りは1分です。（3）が聞いているのは二つの時計がさす時刻の離れぐあいで、原点からの距離ではなく、二つの点の間の距離になります。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| 原点は正しい時刻、右が正の向き、1目盛りは1分 | 数直線の三つの確認をそろえた |
| アは6分遅れなので \(-6\) 分 | （1）正の向きと反対なので符号は \(-\) |
| イは4分進みなので \(+4\) 分 | （1）正の向きと同じなので符号は \(+\) |
| 絶対値は \(6\) と \(4\) で、\(6\) のほうが大きい | （2）ずれの大きさは、向きを外した値 |
| 原点をはさんで反対側なので \(6 + 4 = 10\) | （3）距離の手順1と2。反対側なのでたした |
確かめ
1 目盛りが 1 分の数直線で、−6 から 0 まで数えると 6 目盛り
0 から +4 まで数えると 4 目盛り。合わせて 10 目盛り
1 目盛りが 1 分なので、離れぐあいは 10 分。合っている
アは 6 分遅れ、イは 4 分進みなので、アはイより 10 分うしろの時刻をさしている
答えの吟味
（2）はそれぞれの点が原点からどれだけ離れているか、（3）は二つの点がたがいにどれだけ離れているかで、聞かれていることがちがいます。同じ数直線を、原点から見るか、点どうしで見るかのちがいでした。
（3）の \(10\) 分が \(6\) 分よりも \(4\) 分よりも大きいのは、二つの時計が原点をはさんで反対側にあるからです。もし両方とも遅れていたら、ちがいは \(6\) 分より小さくなります。
答え （1）ア \(-6\) 分、イ \(+4\) 分 （2）時計ア （3）\(10\) 分
セクション2の道具の地図
セクション2で手に入れた道具を、一枚にまとめます。
言葉のほうも、一覧にしておきます。
| 道具 | 意味 | 確定したレッスン |
|---|---|---|
| 数直線 | 直線上に基準の点と目盛りをとり、数を点で表したもの | 数直線に正負の数を置く |
| 原点 | 数直線で0を表す点 | 数直線に正負の数を置く |
| 数直線の三つの確認 | ①0の位置 ②正の向き ③1目盛りの大きさ | 数直線に正負の数を置く |
| 絶対値 | ある数を表す点と原点との距離 | 絶対値は0からの距離 |
| 絶対値の記号 | 数の両側を縦線1本ずつではさんで書く。答えの側に縦線は残さない | 絶対値は0からの距離 |
| 以上 | その数を入れて、それより大きい範囲 | 絶対値から数を求める |
| 以下 | その数を入れて、それより小さい範囲 | 絶対値から数を求める |
| 未満 | その数を入れずに、それより小さい範囲 | 絶対値から数を求める |
| より大きい | その数を入れずに、それより大きい範囲 | 絶対値から数を求める |
| ちょうどの数 | \(0\) と、\(1\)、\(2\)、\(3\)、… と、それらと反対の向きの \(-1\)、\(-2\)、\(-3\)、… | 絶対値から数を求める |
| 不等号 | 二つの数の大小を表す記号 \(<\) と \(>\) | 正負の数の大小を比べる |
| 大小の原理 | 二つの数をくらべたとき、数直線で右にあるほうが大きい | 正負の数の大小を比べる |
| 2点間の距離 | 数直線上の二つの点が、どれだけ離れているか | このレッスン |
手順も四つそろいました。
| 手順の名前 | 中身 | 確定したレッスン |
|---|---|---|
| 絶対値の数え上げ四つの手順 | ①絶対値がどこからどこまでかを読み取る（その数を入れるか入れないかも決める） ②絶対値になれる値を、小さい順に書き出す ③値ごとに、正のものと負のものを両方書く（値が0のときだけ一つ） ④数直線に印をつけ、小さい順に並べて数える | 絶対値から数を求める |
| 負の数どうしをくらべる二つの段階 | ①二つの絶対値をくらべる ②絶対値が大きいほうを、小さいと答える | 正負の数の大小を比べる |
| 小さい順に並べる三つの手順 | ①負の数・0・正の数に分ける（負の数が左、0がまん中、正の数が右） ②負の数どうしは、絶対値が大きいものから先に書く ③正の数どうしは、絶対値が小さいものから先に書く | 正負の数の大小を比べる |
| 2点間の距離を求める三つの手順 | ①二つの数が、原点をはさんで反対側にあるか、同じ側にあるかを見る ②反対側なら二つの絶対値をたす。同じ側なら大きい絶対値から小さい絶対値を引く ③数直線で目盛りを数えて確かめる | このレッスン |
今日の問い
原点をまたぐときはたし算、同じ側なら引き算でした。同じ「距離を求める」なのに、なぜ反対の計算になるのでしょうか。
分かれ目は、二つの距離が重なっているかどうかです。絶対値はどれも「原点からの距離」なので、二本の矢印はどちらも原点から出ています。反対向きなら重なりようがなく、原点でつながって一本になるのでたします。同じ向きなら短いほうが長いほうの中に入るので、そのままたすと重なった分を二度数えてしまいます。だから、はみ出した分だけを取り出すために引きます。
反対側 原点から左へ 3 と 原点から右へ 5 重なりなし つないで 3 + 5 = 8
同じ側 原点から左へ 16 と 原点から左へ 10 重なりあり はみ出しは 16 − 10 = 6
「たすか引くか」を覚えるのではありません。二本の矢印を思いうかべて、重なっているかどうかを見る。 そうすれば、どちらの計算かはその場で決まります。
よくある間違い
まちがい1：原点をまたぐのに、絶対値を引く
\(-9\) と \(+2\) の距離を求める問題です。
✗ |−9| = 9 、|+2| = 2 で 9 − 2 = 7 だから、距離は 7
目盛りを数えて確かめます。
1 目盛りが 1 の数直線で、−9 から 0 まで数えると 9 個
0 から +2 まで数えると 2 個。合わせて 11 個
数えて出てきたのは 11 で、7 ではない
\(-9\) は左、\(+2\) は右で、二本の矢印は反対向きです。重なっていないものから引くと、あるはずの長さが消えてしまいます。
○ 9 + 2 = 11 だから、距離は 11
符号がちがう二つなら、たす。 手順1を飛ばすと、この形になります。
まちがい2：同じ側なのに、絶対値をたす
\(-12\) と \(-5\) の距離を求める問題です。
✗ |−12| = 12 、|−5| = 5 で 12 + 5 = 17 だから、距離は 17
数えて確かめます。
1 目盛りが 1 の数直線で、−12 から −5 まで 1 つずつ数えると 7 個
もし 17 が正しいなら、−12 から 17 だけ離れた点は +5 のあたり
さがしている相手は −5 なので、行きすぎている
どちらも原点より左で、短いほうの矢印は長いほうの中に入っています。
○ 12 − 5 = 7 だから、距離は 7
符号がそろっている二つなら、引く。 二つの符号を先に見くらべてください。
自分で確かめよう
紙に書いてから、答えを開いてください。距離の問題では、反対側か同じ側かを書き出してから計算すること。
次の2点間の距離を求めなさい。 （1）\(-8\) と \(+12\) （2）\(-23\) と \(-6\)
1目盛りが \(0.2\) の数直線があります。点アは原点から左へ8目盛り、点イは原点から右へ7目盛りの点です。アとイが表す数をそれぞれ答え、アとイの距離も求めなさい。
\(-\dfrac{5}{6}\) と \(-0.9\) の大小を、不等号を使って表しなさい。
絶対値が \(7\) 以下のちょうどの数は何個ありますか。また、そのうち \(-5\) より小さいものをすべて答えなさい。
絶対値が \(3\) 以上 \(6\) 未満のちょうどの数をすべて答えなさい。
ある数直線で、点アが表す数は \(-15\)、点イが表す数は \(+9\)、点ウが表す数は \(-2\) です。 （1）三つの数を小さい順に並べなさい。 （2）絶対値がいちばん大きいのはどの点ですか。 （3）アとイの距離を求めなさい。 （4）アとウの距離を求めなさい。 （5）イとウの距離を求めなさい。
次の答えはまちがっています。どこがまちがっているかを説明し、正しく直しなさい。
−14 と +8 の距離を求める。
|−14| = 14 、|+8| = 8 なので 14 − 8 = 6 。距離は 6 。
答えと考え方
1. どれも、先に「反対側か同じ側か」を決めます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(-8\) は左、\(+12\) は右 | （1）手順1。反対側にある |
| \(8 + 12 = 20\) | （1）手順2。反対側なのでたした |
| \(-23\) も \(-6\) も左 | （2）手順1。同じ側にある |
| \(23 - 6 = 17\) | （2）手順2。大きい絶対値から引いた |
確かめ
（1）−8 から 0 まで 8 個、0 から +12 まで 12 個。合わせて 20 個
（2）−23 から −6 まで 1 つずつ数えると 17 個
答えの吟味
（1）は答えが二つの絶対値のどちらよりも大きく、（2）は大きいほうの絶対値より小さくなりました。またぐときはつながり、同じ側なら重なるからです。
答え （1）\(20\) （2）\(17\)
2. まず三つの確認をします。①原点は0の点 ②右が正の向き ③1目盛りは \(0.2\) です。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| アは左へ8目盛りで \(0.2 \times 8 = 1.6\) | 目盛りの数に、1目盛りの大きさをかけた |
| アが表す数は \(-1.6\) | 原点より左なので符号は \(-\) |
| イは右へ7目盛りで \(0.2 \times 7 = 1.4\) | 目盛りの数に、1目盛りの大きさをかけた |
| イが表す数は \(+1.4\) | 原点より右なので符号は \(+\) |
| アは左、イは右なので \(1.6 + 1.4 = 3\) | 距離の手順1と2。反対側なのでたした |
確かめ
アからイまで目盛りを数えると、8 + 7 = 15 個
1 目盛りは 0.2 なので 0.2 × 15 = 3 。合っている
答えの吟味
目盛りの数は、そのままでは距離になりません。 1目盛りの大きさをかけてはじめて距離になります。
答え アは \(-1.6\)、イは \(+1.4\)、距離は \(3\)
3. 負の数どうしをくらべる二つの段階を通します。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| 絶対値は \(\dfrac{5}{6}\) と \(0.9\) | 段階1。くらべる相手を用意した |
| \(\dfrac{5}{6} = \dfrac{25}{30}\)、\(0.9 = \dfrac{9}{10} = \dfrac{27}{30}\) | 段階1。分母を30にそろえた |
| \(\dfrac{27}{30}\) が大きいので \(-0.9 < -\dfrac{5}{6}\) | 段階2。絶対値が大きいほうを小さいと答えた |
確かめ
30 分の 25 と 30 分の 27 では、30 分の 27 のほうが大きい
だから原点から左へ遠いのは −0.9 のほう
左にあるほうが小さいので、−0.9 のほうが小さい。合っている
答えの吟味
\(\dfrac{5}{6}\) をおよそ \(0.83\) と見て、\(0.9\) とくらべても同じ答えになります。そろえるのは絶対値、向きを決めるのは最後でした。
答え \(-0.9 < -\dfrac{5}{6}\)
4. 絶対値の数え上げ四つの手順を通し、そのあと大小で選び直します。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| 「7以下」なので \(7\) も入る | 手順1。「以」が付いている |
| 絶対値になれる値は \(0\) から \(7\) まで | 手順2。小さい順に書き出した |
| \(0\) は1個、\(1\) から \(7\) は2個ずつで \(1 + 2 \times 7 = 15\) | 手順3と4。0は相棒を持たず、対が7組 |
| \(-5\) より小さいのは \(-7\) と \(-6\) | 大小の原理。\(-5\) より左にあるものを選んだ |
確かめ
小さい順に並べると
−7 、−6 、−5 、−4 、−3 、−2 、−1 、0 、+1 、+2 、+3 、+4 、+5 、+6 、+7
数えると 15 個。0 が入っているので奇数
−5 より左にあるのは −7 と −6 の二つ。−5 自身は「より小さい」に入らない
答えの吟味
負の数のところでは絶対値が大きいほど小さい数なので、左のはしの \(-7\) と \(-6\) が選ばれます。
答え \(15\) 個。\(-5\) より小さいものは \(-7\) と \(-6\)
5. 下の端と上の端を、別々に読み取ります。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| 下の端は \(3\) で、\(3\) は入る | 手順1。「3以上」は「以」が付いている |
| 上の端は \(6\) で、\(6\) は入らない | 手順1。「6未満」は「以」が付いていない |
| 絶対値になれる値は \(3\)、\(4\)、\(5\) | 手順2。\(0\)、\(1\)、\(2\) と \(6\) が外れた |
| \(3\)、\(4\)、\(5\) から、それぞれ2個ずつ | 手順3。対が3組 |
| \(2 \times 3 = 6\) | 手順4。0の分はない |
確かめ
小さい順に並べると −5 、−4 、−3 、+3 、+4 、+5
絶対値は 5 、4 、3 、3 、4 、5 で、どれも 3 以上 6 未満
|0| = 0 で、0 は 3 以上ではないので入らない
|+6| = 6 で、6 は 6 未満ではないので入らない。数えると 6 個
答えの吟味
\(0\) が入らなかったので、個数は偶数の \(6\) 個になりました。絶対値が \(3\) より小さいものが、まるごと抜けているからです。
答え \(-5\)、\(-4\)、\(-3\)、\(+3\)、\(+4\)、\(+5\) の6個
6. 位置・大小・距離を順に読み取ります。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| 負の数は \(-15\) と \(-2\)、正の数は \(+9\) | （1）小さい順に並べる三つの手順1 |
| 負の数の絶対値は \(15\) と \(2\)。大きいほうから \(-15\)、\(-2\) | （1）手順2。負の数は絶対値が大きいものが先 |
| そのあとに \(+9\) | （1）手順3。正の数は一つだけ |
| 絶対値は \(15\)、\(9\)、\(2\)。いちばん大きいのは \(15\) | （2）点アの絶対値 |
| アは左、イは右なので \(15 + 9 = 24\) | （3）距離の手順1と2。反対側なのでたした |
| アもウも左なので \(15 - 2 = 13\) | （4）距離の手順1と2。同じ側なので引いた |
| ウは左、イは右なので \(2 + 9 = 11\) | （5）距離の手順1と2。反対側なのでたした |
確かめ
数直線に置くと、左から −15 、−2 、0 、+9 の順にならぶ
（3）−15 から 0 まで 15 、0 から +9 まで 9 。合わせて 24
（4）−15 から −2 まで 1 つずつ数えると 13
（5）−2 から 0 まで 2 、0 から +9 まで 9 。合わせて 11
（4）と（5）をたすと 13 + 11 = 24 で、（3）と同じ
答えの吟味
ウはアとイの間にあるので、アとウの距離とウとイの距離をたせば、アとイの距離になるはずです。\(24\) でそろったので、三つの答えはたがいに合っています。
答え （1）\(-15\)、\(-2\)、\(+9\) （2）点ア （3）\(24\) （4）\(13\) （5）\(11\)
7. 原点をまたいでいるのに、絶対値を引いてしまったところがまちがいです。
絶対値を出したところまでは合っています。ところが手順1を通していません。
−14 は原点より左、+8 は原点より右で、原点をはさんで反対側にある
反対側なので、二本の矢印は重なっていない
重なっていないものから引くと、あるはずの長さが消える
確かめ
1 目盛りが 1 の数直線で、−14 から 0 まで数えると 14 個
0 から +8 まで数えると 8 個。合わせて 22 個
誤答の 6 では、−14 から 6 だけ右の点は −8 。さがしている相手 +8 に届いていない
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(-14\) は左、\(+8\) は右 | 手順1。落ちていたのはこの行 |
| \(14 + 8 = 22\) | 手順2。反対側なのでたした |
答えの吟味
誤答の \(6\) は、二つとも原点より左にあるときの答えです。符号を見ないと、この取りちがえが起きます。
答え \(22\)
次のレッスンへ
これで、セクション2の道具がそろいました。数直線に数を置き、点から数を読めます。原点からの距離を絶対値として取り出し、二つの点の離れぐあいも求められます。
右にあるほうが大きいという原理で、大小も決められます。すべて一本の線の上でできます。
ただし、計算はまだ一度もしていません。\(-3\) と \(+5\) が \(8\) だけ離れていることは分かっても、\(-3\) に何かをたした答えは求められないままです。
次のセクション3「正負の数の加法」の最初のレッスンは「たし算は数直線上の移動」です。場所を表すために使ってきた数直線が、こんどは動きを表す道具に変わります。最初の数が出発点、たす数が向きと距離。今日ずっと見ていた矢印が、そのまま移動の矢印になります。
クイズと理解チェックは、アプリで挑戦できます。