入試実戦の計算

このレッスンでできるようになること

• 入試で出る計算の式を見て、どの道具が要るかを先に見立てられる
• 累乗・分数・かっこの入れ子・くふうの混じった式を、最後まで解ききれる
• 一行に一つのことだけを書いて、ミスの出やすいところに気をつけられる

前のレッスンの確認

• かっこの中 → 累乗 → 乗除 → 加減　同じ優先順位のものは、左から順に。
• 内側のかっこは、ひとかたまりです。
• かっこがあれば、かっこの中ぜんぶが底になります。
• かっこがなければ、底は数の部分だけです。
• \((-4)^{2}\) と \(-4^{2}\) は、別の数です。
• 前についた \(-\) は、累乗を計算したあとにかかります。
• 底が負の数のときは、指数が偶数なら正、指数が奇数なら負になります。
• 一行に一つのことだけをする。　等号を縦にそろえる。　途中式を飛ばさない。
• わる数を逆数にして、かけ算に直す。
• 逆数にするのは、わる数だけです。わられる数は、そのまま置いておきます。
• 同じ符号どうしなら商は正、ちがう符号どうしなら商は負になります。
• 配り残しがあってはいけません。
• くくり出し … 同じ数が二か所にかけられているとき、その数をかっこの外へ出すこと
• この決まった形を、くふうの型と呼びます。
• 順番を変えてよいのは、この三つのどれかが根拠になるときです。
• くふうできないことは、失敗ではありません。　順序どおりに計算すればよいのです。
• ミスの四つの種類 … 符号のミス／かっこの外し方のミス／計算の順序のミス／問われたものを答えないミス
• ミスの見つけ方 … 答えのどこがちがうかを見て、種類を決める見分け方

絶対値は記号でも書きます。\(|-24|\) は \(24\) です。\(\left|-\dfrac{5}{8}\right|\) は \(\dfrac{5}{8}\) です。

新しい道具は、一つも出てきません

入試の計算問題は、長くて手ごわそうに見えます。

けれども、使われている道具はもう全部そろっています。累乗も、入れ子も、分数のわり算も、くふうもです。

難しく見えるのは、道具が多く重なっているからです。一つずつはずせば、見覚えのある計算になります。

新しく覚えることはありません。やることは二つだけです。

• 式を見て、どの道具が要るかを先に決める
• 決めた順に、一行ずつ書いて解ききる

解く前の見立て

いきなり左から手をつけると、途中で道に迷います。

式を見て、どの道具が要るかを先に決めることを、解く前の見立てといいます。見るのは次の四つです。

見立てをしても、順序は動きません。かっこの中 → 累乗 → 乗除 → 加減、同じ優先順位のものは、左から順に。 です。

見立てが決めるのは、どの道具を手元に置くかだけです。

累乗のかっこを、いちばん先に見る

累乗を見つけたら、かっこがあるかないかを必ず見ます。

\((-4)^{2}\) と \(-4^{2}\) は、別の数です。 大きい数でも同じです。

かっこがあれば、かっこの中ぜんぶが底になります。 \((-24)^{2}\) の底は \(-24\) で、指数が偶数なので \(576\) です。

かっこがなければ、底は数の部分だけです。 \(-24^{2}\) の底は \(24\) で、\(24^{2}=576\) に前の \(-\) がかかって \(-576\) です。

\(576\) と \(-576\) では、あとの計算がまるごと変わります。ここは符号のミスが出やすいところです。

一行に一つのことだけを書く

書き方も点になります。セクション7のレッスン4「四則の混じった計算の順序」の三つです。

• 一行に一つのことだけをする。
• 等号を縦にそろえる。
• 途中式を飛ばさない。

\((-24)^{2}\div 36+7\) で、二通りの書き方をくらべます。

答えはどちらも \(23\) です。まとめて書くと、どちらで外したのかが分かりません。

ミスが出やすいところは、決まっています

セクション10のレッスン2「ミスの四つの種類」の四つを、そのまま使います。

見立てが書く前に見る四つなら、こちらは答えが出たあとに見る四つです。

これから解く式にも、出やすいミスの種類を書きそえます。

例題1　累乗と四則の混じった式

次の計算をしなさい。

（1）\((-30)^{2}\div 45-31\)　（2）\(-24^{2}\div 32+18\)

見立てをします。どちらも累乗だけで、入れ子も分数もくふうの型もありません。

見るのは、累乗にかっこが付いているかです。ここは符号のミスが出やすいところです。

（1）は \(|-30|\) が \(30\) で、指数が偶数なので符号は \(+\) です。

（2）は底が \(24\) です。前についた \(-\) は、累乗を計算したあとにかかります。

確かめ

（1）(−30) の 2 乗 = 900 　900 ÷ 45 = 20 　20 − 31 = −11
（2）24 の 2 乗 = 576 　前の − がかかって −576 　−576 ÷ 32 = −18

答えの吟味

（2）は \(-18\) と \(+18\) が反対の数どうしなので、たして \(0\) になります。

答え　（1）\(-11\)　（2）\(0\)

例題2　かっこの入れ子

次の計算をしなさい。

（1）\(\{-25+(18-37)\}\div(-11)\)　（2）\(56-\{13-(9-24)\}\times 2\)

見立てをします。どちらも入れ子だけで、累乗も分数もありません。

内側のかっこは、ひとかたまりです。 いちばん内側から順にほどきます。

（2）の外側では、\(13\) から \(-15\) を引きます。ここは符号のミスが出やすいところです。

確かめ

（1）−44 ÷ (−11) = 4 　(−11) × 4 = −44 　もどった
（2）13 − (−15) = 13 + 15 = 28 　28 × 2 = 56 　56 − 56 = 0

答えの吟味

（1）は同じ符号どうしのわり算なので、商は正の数になりました。

答え　（1）\(4\)　（2）\(0\)

例題3　分数と累乗が同居する式

次の計算をしなさい。

（1）\(\left(-\dfrac{2}{9}\right)^{2}\div\left(-\dfrac{4}{27}\right)\)

（2）\(\dfrac{3}{4}-\left(-\dfrac{4}{5}\right)^{2}\div\dfrac{8}{5}\)

見立てをします。累乗と分数のわり算が同居しています。

累乗が先で、かっこがあるので底は分数ぜんぶです。

\(\left|-\dfrac{2}{9}\right|\) は \(\dfrac{2}{9}\) なので、\(\left(-\dfrac{2}{9}\right)^{2}=\dfrac{4}{81}\) です。

そのあとで わる数を逆数にして、かけ算に直す。 を使います。

逆数にするのは、わる数だけです。わられる数は、そのまま置いておきます。

（2）はわり算の答えが \(\dfrac{2}{5}\) です。最後に \(\dfrac{3}{4}-\dfrac{2}{5}\) を計算します。

確かめ

（1）81 分の 4 × 4 分の 27 = 3 分の 1 　符号は − で −3 分の 1
　　 (−27 分の 4) × (−3 分の 1) = 81 分の 4 　もどった
（2）25 分の 16 × 8 分の 5 = 5 分の 2 　20 分の 15 − 20 分の 8 = 20 分の 7

答えの吟味

（1）は、ぱっと見ると負の数どうしのわり算です。

けれども、わられる数の \(\left(-\dfrac{2}{9}\right)^{2}\) は正の数です。だから商は負になります。

答え　（1）\(-\dfrac{1}{3}\)　（2）\(\dfrac{7}{20}\)

例題4　くふうが効く式

次の計算をしなさい。

（1）\((-43)\times 68+(-43)\times 32\)

（2）\(\left(-\dfrac{5}{9}\right)\times 61\times\dfrac{9}{5}\)

見立てをします。（1）は \(-43\) が二か所にあるので、くくり出しが使えます。

（2）は \(\dfrac{5}{9}\) と \(\dfrac{9}{5}\) で \(1\) になります。かける順番を変える型です。

順番を変えてよいのは、この三つのどれかが根拠になるときです。 根拠を書きそえます。

（1）は \(-43\) を符号ごと外へ出します。置いていくと符号のミスになります。

確かめ

（1）くくらない道　(−43) × 68 = −2924 、(−43) × 32 = −1376
　　 −2924 + (−1376) = −4300
（1）くくり出した道　68 + 32 = 100 、(−43) × 100 = −4300
（2）くふうした道　(−9 分の 5) × 5 分の 9 = −1 、(−1) × 61 = −61

答えの吟味

どちらも負の数は \(1\) つで奇数個です。だから答えは負になります。

答え　（1）\(-4300\)　（2）\(-61\)

例題5　見立てて、くふうがなければ順序どおり

\(\{(-28)^{2}-64\}\div 30-11\) を計算しなさい。

見立てをします。累乗はありますが、入れ子も分数もありません。

くふうの型を上からさがしても、\(0\) をかける組も反対の数の組も、二か所にある同じ数もありません。

くふうできないことは、失敗ではありません。 順序どおりに計算すればよいのです。

\(|-28|\) は \(28\) で、指数が偶数なので \((-28)^{2}=784\) です。

確かめ

(−28) の 2 乗 = 784 　784 − 64 = 720
720 ÷ 30 = 24 　30 × 24 = 720 　もどった 　24 − 11 = 13

答えの吟味

かっこの中の \(720\) は、\(30\) で割り切れました。

答え　\(13\)

例題6　累乗・入れ子・分数が、いちどに出てくる式

\(\left\{\left(-\dfrac{1}{6}\right)^{2}-\dfrac{5}{9}\right\}\div\left(-\dfrac{1}{36}\right)+\{17-(9+33)\}\) を計算しなさい。

見立てをします。累乗も入れ子も分数のわり算もあり、くふうの型だけがありません。

三つとも使う式ですが、やることは変わりません。

わり算のところは、わる数を逆数にして、かけ算に直す。 です。同じ符号どうしなので、商は正になります。

確かめ

6 分の 1 を 2 個かけて 36 分の 1 　36 分の 1 − 36 分の 20 = −36 分の 19
(−36 分の 1) × 19 = −36 分の 19 　もどった
9 + 33 = 42 　17 − 42 = −25 　19 + (−25) = −6

答えの吟味

わる数の絶対値が \(1\) より小さいので、商の絶対値は大きくなりました。

答え　\(-6\)

今日の問い

入試の計算問題は、新しい道具を使うのでしょうか。

例題6の式で数えてみます。使った道具は次のとおりです。

新しい道具は \(0\) 個でした。全部、セクション6とセクション7で作ったものです。

入試の式が難しく見えるのは、一つの式に、何本もの道具が重なっているからです。

だから、見立てで「どれとどれが要るか」を先に決めます。決めてしまえば、知っている計算だけが残ります。

よくある間違い

まちがい1：分数がまじると、わり算より先に引き算をする

\(\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{2}\div\dfrac{5}{8}\) を計算する問題です。

✗ 4 分の 3 − 2 分の 1 = 4 分の 1
✗ 4 分の 1 ÷ 8 分の 5 = 4 分の 1 × 5 分の 8 = 5 分の 2

分数が出てくると、前から順に読みたくなります。けれども順序は動きません。

かっこの中 → 累乗 → 乗除 → 加減 で、わり算が先です。

○ 2 分の 1 ÷ 8 分の 5 = 2 分の 1 × 5 分の 8 = 5 分の 4
○ 4 分の 3 − 5 分の 4 = 20 分の 15 − 20 分の 16
○ = −20 分の 1

誤答をもとの式に戻して確かめます。

誤答 5 分の 2 は （4 分の 3 − 2 分の 1）÷ 8 分の 5 の値
かっこは ないので、そう読めない 。正しい答えは −20 分の 1

これは計算の順序のミスです。

まちがい2：かっこの前に引く記号があるのに、中の一部にしか配らない

\(-\{18-(6-20)\}+9\) を計算する問題です。

✗ −18 − (6 − 20) + 9
✗ = −18 + 14 + 9
✗ = 5

波かっこの前の \(-\) を、\(18\) にだけ配っています。配り残しがあってはいけません。

○ 6 − 20 = −14
○ 18 − (−14) = 32
○ −32 + 9 = −23

誤答をもとの式に戻して確かめます。

誤答 5 は −18 − (6 − 20) + 9 の値
波かっこの中は 32 なので −32 。正しい答えは −23

これはかっこの外し方のミスです。

まちがい3：内側を計算したあとに、引き算の符号を落とす

\(\{16-(5-19)\}\div(-6)\) を計算する問題です。

✗ 5 − 19 = −14
✗ 16 − 14 = 2
✗ 2 ÷ (−6) = −3 分の 1

内側は正しく \(-14\) になりました。\(16\) から引くのは \(-14\) です。

負の数を引くので、たし算になります。

○ 16 − (−14) = 16 + 14 = 30
○ 30 ÷ (−6) = −5

誤答をもとの式に戻して確かめます。

誤答 −3 分の 1 は （16 − 14）÷ (−6) の値
引く数は −14 なので、16 − 14 とは書けない 。正しい答えは −5

これは符号のミスです。内側の答えが負のときに、よく出ます。

自分で確かめよう

紙に書いてから、答えを開いてください。まず、解く前の見立てを書くこと。

1. 次の式に要る道具を書きなさい。計算はしなくてかまいません。 （1）\(-28^{2}\div 56+13\)　（2）\(\{9-(14-27)\}\times\dfrac{3}{11}\)　（3）\((-17)\times 38+(-17)\times 62\)

2 から 13 までを計算しなさい。使えるくふうがあれば、使ってください。

2. \((-36)^{2}\div 81-25\)

3. \(-34^{2}\div 68+29\)

4. \(\{-50+(26-48)\}\div(-4)\)

5. \(19-\{27-(12-33)\}\div 16\)

6. \(\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{3}\times 54+2\)

7. \(\dfrac{5}{6}-\left(-\dfrac{5}{8}\right)^{2}\div\dfrac{15}{16}\)

8. \(\left(-\dfrac{7}{6}\right)^{2}\div\left(-\dfrac{7}{18}\right)\)

9. \(\dfrac{7}{8}\times 53-\dfrac{7}{8}\times 45\)

10. \(\left(-\dfrac{4}{3}\right)\times 71\times\dfrac{3}{4}\)

11. \(\{(-32)^{2}\div 64-(11-26)\}\times 3\)

12. \(\left\{\left(-\dfrac{5}{9}\right)^{2}-\dfrac{7}{81}\right\}\div\left(-\dfrac{2}{9}\right)\)

13. \(-\{23-(8-29)\}\div 22+16\)

14. 次の計算はまちがっています。ミスの種類を答え、正しく計算しなさい。

(−18) ÷ 7 分の 6 × 2
= (−18) ÷ 7 分の 12
= −2 分の 21

（1）底は 28 　（2）内側は 14 − 27 　（3）二か所に あるのは −17

2. 1296 ÷ 81 = 16 　81 × 16 = 1296 　もどった 　16 − 25 = −9
3. 34 の 2 乗 = 1156 　前の − がかかって −1156 　−1156 ÷ 68 = −17
4. −72 ÷ (−4) = 18 　(−4) × 18 = −72 　もどった
5. 27 − (−21) = 27 + 21 = 48 　48 ÷ 16 = 3 　19 − 3 = 16

6. 3 分の 1 を 3 個かけて 27 分の 1 　指数が 奇数 なので −27 分の 1
　 (−27 分の 1) × 54 = −2 　−2 + 2 = 0
7. 64 分の 25 × 15 分の 16 = 12 分の 5 　12 分の 10 − 12 分の 5 = 12 分の 5
8. 36 分の 49 × 7 分の 18 = 2 分の 7 　(−18 分の 7) × (−2 分の 7) = 36 分の 49 　もどった

9. くくらない道　8 分の 371 − 8 分の 315 = 8 分の 56 = 7
9. くくり出した道　53 − 45 = 8 、8 分の 7 × 8 = 7
10. くふうした道　(−3 分の 4) × 4 分の 3 = −1 、(−1) × 71 = −71
10. 順序どおりの道　(−3 分の 4) × 71 = −3 分の 284

11. 1024 ÷ 64 = 16 　16 − (−15) = 31 　31 × 3 = 93
12. 81 分の 18 = 9 分の 2 　9 分の 2 × (−2 分の 9) = −1 　もどった
13. 23 − (−21) = 44 　−44 ÷ 22 = −2 　−2 + 16 = 14

○ (−18) ÷ 7 分の 6 = (−18) × 6 分の 7 = −21
○ (−21) × 2 = −42

誤答 −2 分の 21 は (−18) ÷ (7 分の 6 × 2) の値
もとの式に かっこは ないので、そう読めない

次のレッスンへ

入試の計算問題を、\(6\) 題の例題と \(14\) 題の演習で確かめました。

新しい道具は一つも出てきませんでした。

大事なのは 解く前の見立て です。累乗・入れ子・分数・くふうの型を、書く前にたしかめてください。

書き方も守ってください。一行に一つのことだけをする。

等号を縦にそろえる。 そして 途中式を飛ばさない。

型が見つからなくても、心配はいりません。くふうできないことは、失敗ではありません。 順序どおりに計算すればよいのです。

次のレッスンでは、入試で出る文章題をあつかいます。

基準をどこに置くか、どちらの向きを正にするか。それを自分で決めるところから始めます。

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