正負の数の大小を比べる
このレッスンでできるようになること
- 「数直線で右にあるほど大きい」という一つの原理から、正と負・負と0・負どうしの大小を決められる
- 不等号を、開いた側が大きい数を向くように書ける
- 小数や分数がまじった数を、小さい順に並べられる
前のレッスンの確認
- 数直線 … 直線上に基準の点と目盛りをとり、数を点で表したもの
- 原点 … 数直線で0を表す点
- 数直線の三つの確認 … ①0の位置 ②正の向き ③1目盛りの大きさ
- 絶対値 … ある数を表す点と原点との距離。\(|-9| = 9\)、\(|0| = 0\)。いつも0か正の数
- 正の数 … 0より大きい数／負の数 … 0より小さい数／0 … 正の数でも負の数でもない、境目の数
- ちょうどの数 … 前のレッスンで、\(0\) と、\(1\)、\(2\)、\(3\)、… と、それらと反対の向きの \(-1\)、\(-2\)、\(-3\)、… をまとめてこう呼びました。この言い方を続けます
くらべ方を四つ覚える必要はない
正の数と負の数がそろったので、くらべる組み合わせが増えました。正と正、正と負、負と0、負と負。四通りあります。覚えることも四つに増えるのでしょうか。
増えません。大小を決める原理は一つだけで、四通りはそこから出てくる結果にすぎないからです。四つを別々に暗記すると、どれを使う場面か分からなくなったときに、確かめようがなくなります。
まず、その一つを決めます。
数直線で右にあるほど大きい
前のレッスンで、数直線は右へ1目盛り進むごとに1ずつ大きい数になり、左へ1目盛り進むごとに1ずつ小さい数になる、と確かめました。ここから言えることは一つです。
二つの数をくらべたとき、数直線で右にあるほうが大きい。
これを大小の原理と呼ぶことにします。このレッスンで使うただ一つの原理です。このあとの大小の話は、全部ここから出てきます。
図の印を左から読むと \(-9\)、\(-4\)、\(0\)、\(+2\)、\(+8\) の順です。右へ行くほど大きい数なので、この並びがそのまま小さい順になります。
大事なのは、どちらが右にあるかだけを見ることです。符号がそろっているかも、絶対値がいくつかも、いったん考えません。
不等号
大小を言葉で書くと長くなります。記号を決めておきます。
不等号とは、二つの数の大小を表す記号 \(<\) と \(>\) のことです。
\(-9 < -4\) は「\(-9\) は \(-4\) より小さい」と読みます。\(-4 > -9\) は「\(-4\) は \(-9\) より大きい」と読みます。
書き方の決まりは一つだけです。開いた側が大きい数を向く。 とがった側は、小さい数を向きます。
\(-9 < -4\) と \(-4 > -9\) は同じことを言っています。左右の置き方を変えれば、記号の向きも変わります。数直線と同じ並びで書きたいときは、小さいほうを左に置いて \(<\) を使えば、図と式の見た目がそろいます。
三つ以上ならんだときは、\(-9 < -4 < 0 < +2 < +8\) のように不等号でつないで書けます。このときは向きを全部そろえます。 途中で向きが変わると、どこまでが大きくなる並びなのか読めなくなるからです。
原理から三つを導く
原理が一つに決まりました。ここから、よく使う形を導いておきます。覚える必要はなく、導き方をたどれれば十分です。
正の数はどれも0より大きい。 正の数を表す点は原点より右にあります。右にあるほうが大きいので、\(+2 > 0\)、\(+8 > 0\) です。
負の数はどれも0より小さい。 負の数を表す点は原点より左にあります。だから \(-1 < 0\)、\(-9 < 0\) です。
どんな正の数も、どんな負の数より大きい。 あいだに原点があるので、正の数の点は必ず負の数の点より右です。だから \(+2 > -9\) になります。
三つめは、絶対値をくらべたくなるところです。\(|-9| = 9\)、\(|+2| = 2\) ですから絶対値なら \(-9\) のほうが大きい。それでも \(+2 > -9\) です。絶対値は原点からの距離であって、位置ではありません。
負の数どうしは、絶対値が大きいほど小さい
残るのは負と負です。ここがいちばん引っかかるところです。
\(-9\) と \(-4\) をくらべます。絶対値は \(|-9| = 9\)、\(|-4| = 4\) で、\(9\) のほうが大きい。では \(-9\) のほうが大きいのでしょうか。原理に戻って、どちらが右にあるかだけを見ます。
絶対値は原点からの距離でした。負の数の点は原点より左にあるので、距離が大きいことは左へ遠いことを意味します。左へ遠くなった点は、右へは動いていません。
|−9| = 9 なので、−9 は原点から左へ 9 だけ離れている
|−4| = 4 なので、−4 は原点から左へ 4 だけ離れている
9 のほうが遠いので、−9 は −4 より左にある
右にあるほうが大きいので、−4 > −9
正の数のときと見くらべます。
| 数の種類 | 原点から見た向き | 絶対値が大きくなると | 大小は |
|---|---|---|---|
| 正の数 | 右 | 右へ遠くなる | 大きくなる |
| 負の数 | 左 | 左へ遠くなる | 小さくなる |
絶対値の効き方が、原点をはさんで反対になっています。 決まりが二つあるのではありません。原理は一つのままで、原点の右側と左側とでは、原点から離れていく向きが反対だ、というだけです。
負の数どうしは、次の二つの段階で通します。
負の数どうしをくらべる二つの段階
- 二つの絶対値をくらべる
- 絶対値が大きいほうを、小さいと答える
段階2を飛ばすと、絶対値の大小をそのまま答えてしまいます。
四通りが一つの原理から出ている
はじめに数えた四通りが、これでそろいました。
| くらべる組 | 結果として言えること | 例 |
|---|---|---|
| 正と正 | 絶対値が大きいほうが大きい | \(+2 < +8\) |
| 正と負 | 正の数のほうが大きい | \(-9 < +2\) |
| 負と0 | 0のほうが大きい | \(-9 < 0\) |
| 負と負 | 絶対値が大きいほうが小さい | \(-9 < -4\) |
四行ありますが、新しく決めたことは一つもありません。 どの行も「数直線で右にあるほうが大きい」から出てきた結果です。
例題1 ちょうどの数の大小
次の二つの数の大小を、不等号を使って表しなさい。
（1）\(+2\) と \(-6\) （2）\(-1\) と \(0\) （3）\(-9\) と \(-6\)
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(+2\) は原点より右、\(-6\) は原点より左 | （1）二つの点の位置を見た |
| \(+2 > -6\) | （1）右にあるほうが大きい |
| \(-1\) は原点より左、\(0\) は原点そのもの | （2）二つの点の位置を見た |
| \(-1 < 0\) | （2）原点より左なので0より小さい |
| \(-9\) の絶対値は9、\(-6\) の絶対値は6 | （3）段階1。二つの絶対値をくらべた |
| \(-9 < -6\) | （3）段階2。絶対値が大きいほうを小さいと答えた |
確かめ
数直線に置くと、左から −9 、−6 、−1 、0 、+2 の順にならぶ
（1）+2 は −6 より右にある。だから +2 > −6 。合っている
（2）−1 は 0 より左にある。だから −1 < 0 。合っている
（3）−9 は −6 より左にある。だから −9 < −6 。合っている
答えの吟味
（3）は \(9\) のほうが \(6\) より大きいのに、\(-9\) のほうが小さくなりました。（1）も、絶対値は \(-6\) のほうが大きいのに、答えは \(+2\) のほうが大きくなりました。絶対値の大小は、そのままでは数の大小になりません。
答え （1）\(+2 > -6\) （2）\(-1 < 0\) （3）\(-9 < -6\)
例題2 小数と分数の大小
次の二つの数の大小を、不等号を使って表しなさい。
（1）\(-0.6\) と \(-0.2\) （2）\(-\dfrac{1}{2}\) と \(-\dfrac{3}{5}\)
小数でも分数でも、やることは変わりません。分母がちがう分数は、分母をそろえてからくらべます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(-0.6\) の絶対値は \(0.6\)、\(-0.2\) の絶対値は \(0.2\) | （1）段階1。くらべる相手を用意した |
| \(0.6\) のほうが大きい | （1）段階1。絶対値は0か正の数なので、小学校のくらべ方でよい |
| \(-0.6 < -0.2\) | （1）段階2。絶対値が大きいほうを小さいと答えた |
| \(-\dfrac{1}{2}\) の絶対値は \(\dfrac{1}{2}\)、\(-\dfrac{3}{5}\) の絶対値は \(\dfrac{3}{5}\) | （2）段階1。くらべる相手を用意した |
| \(\dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{10}\)、\(\dfrac{3}{5} = \dfrac{6}{10}\) | （2）段階1。分母を10にそろえた |
| \(-\dfrac{3}{5} < -\dfrac{1}{2}\) | （2）段階2。絶対値が大きいほうを小さいと答えた |
確かめ
（1）1 目盛りが 0.1 の数直線で、−0.6 は左へ 6 目盛り、−0.2 は左へ 2 目盛り
6 目盛りのほうが左へ遠いので、−0.6 のほうが左にある。合っている
（2）1 目盛りが 10 分の 1 の数直線で、−2 分の 1 は左へ 5 目盛り
−5 分の 3 は 10 分の 6 なので左へ 6 目盛り
6 目盛りのほうが左へ遠いので、−5 分の 3 のほうが左にある。合っている
答えの吟味
そろえたのは絶対値どうしで、符号を付けたまま通分してはいません。そろえるのは絶対値、向きを決めるのは最後。
答え （1）\(-0.6 < -0.2\) （2）\(-\dfrac{3}{5} < -\dfrac{1}{2}\)
小数と分数がまじったとき
くらべているのが絶対値どうしなら、小数と分数がまじっていても困りません。どちらかにそろえるだけです。\(-0.3\) と \(-\dfrac{1}{2}\) なら、絶対値は \(0.3\) と \(\dfrac{1}{2}\) です。\(\dfrac{1}{2}\) は \(0.5\) なので、大きいのは \(\dfrac{1}{2}\) のほう。段階2で向きをひっくり返して、\(-\dfrac{1}{2} < -0.3\) となります。分数を小数に直しても、小数を分数に直しても答えは同じです。直しやすいほうにそろえてください。
三つ以上の数を並べる
二つならべられれば、三つ以上も並べられます。全部の組をくらべなくても、数直線に置けば左から読むだけで順番が出ます。
小さい順に並べる三つの手順
- 負の数・0・正の数に分ける（負の数が左、0がまん中、正の数が右）
- 負の数どうしは、絶対値が大きいものから先に書く
- 正の数どうしは、絶対値が小さいものから先に書く
手順2と手順3が反対向きなのは、原点をはさんで絶対値の効き方が反対だからです。ここでも新しい決まりは増えていません。
例題3 小数を小さい順に並べる
\(-1.2\)、\(+0.5\)、\(-0.7\)、\(-0.3\) を小さい順に並べなさい。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| 負の数は \(-1.2\)、\(-0.7\)、\(-0.3\) の三つ、正の数は \(+0.5\) の一つ | 手順1。分けた |
| 絶対値は \(1.2\)、\(0.7\)、\(0.3\) | 手順2。負の数の絶対値を出した |
| 大きいものから \(1.2\)、\(0.7\)、\(0.3\) | 手順2。この順に書けばよい |
| \(-1.2\)、\(-0.7\)、\(-0.3\) | 手順2。負の数の並びが決まった |
| そのあとに \(+0.5\) | 手順3。正の数は一つだけ |
確かめ
1 目盛りが 0.1 の数直線で、−1.2 は左へ 12 目盛り、−0.7 は左へ 7 目盛り
−0.3 は左へ 3 目盛り、+0.5 は右へ 5 目盛り
左から読むと −1.2 、−0.7 、−0.3 、+0.5
となりどうしをくらべても −1.2 < −0.7 、−0.7 < −0.3 、−0.3 < +0.5 で合っている
答えの吟味
負の数のところだけ、絶対値が \(1.2\)、\(0.7\)、\(0.3\) と小さくなる向きに並びました。0を境に並べ方が反対になっています。
答え \(-1.2\)、\(-0.7\)、\(-0.3\)、\(+0.5\)
今日の問い
\(-9\) と \(-4\) では、絶対値が大きいのは \(-9\) なのに、大きい数は \(-4\) でした。\(+8\) と \(+2\) なら、絶対値が大きい \(+8\) のほうが大きい数です。同じ「絶対値が大きい」なのに答えが反対になります。決まりが二つあるのでしょうか。
決まりは一つ、大小の原理（右にあるほど大きい）だけです。変わっているのは、絶対値が大きくなったときに点がどちらへ動くか、です。
正の数 絶対値が大きい ＝ 原点から右へ遠い ＝ より右にある ＝ 大きい
負の数 絶対値が大きい ＝ 原点から左へ遠い ＝ より左にある ＝ 小さい
絶対値は距離であって、向きを持っていませんでした。向きを受け持っているのは符号です。符号を見て、どちらへ遠いのかを決めてからでなければ、絶対値は大小に結びつきません。迷ったら点を数直線に置いてください。原理は一つしかないので、置きさえすれば必ず決まります。
よくある間違い
まちがい1：絶対値が大きいほうを、大きいと答える
\(-8\) と \(-3\) の大小を、不等号を使って表す問題です。
✗ |−8| = 8 、|−3| = 3 で 8 のほうが大きいので、−8 > −3
数直線に戻して確かめます。
−8 は原点から左へ 8 、−3 は原点から左へ 3 だけ離れている
左へ 8 のほうが遠いので、−8 は −3 より左にある
「−8 > −3」は、左にある点のほうが大きいと言っていることになり、合わない
○ −8 < −3
絶対値をくらべるところまでは合っています。足りないのは段階2です。
まちがい2：不等号の向きを逆に書く
\(+8\) と \(-9\) の大小を、不等号を使って表す問題です。
✗ +8 は −9 より大きいので、+8 < −9
大小の見立てのほうは合っています。\(+8\) は原点より右、\(-9\) は原点より左だからです。ところが、書いた式が反対のことを言っています。
「+8 < −9」の開いた側は右で、右に置いてあるのは −9
つまりこの式は「−9 のほうが大きい」と言っている
数直線では +8 が原点の右、−9 が原点の左で、+8 のほうが右にある
言いたかったことと、書いた式が合わない
○ +8 > −9
書いたあとに、開いた側の数を指さして「こちらが大きい」と読み直すと、その場で気づけます。
まちがい3：0がいちばん小さいと思う
\(0\) と \(-4\) の大小を、不等号を使って表す問題です。
✗ 0 は何もない数だからいちばん小さい。だから 0 < −4
小学校では0より小さい数がありませんでした。その感じが残っていると、この形になります。数直線で確かめます。
−4 を表す点は原点から左へ 4 、0 を表す点は原点そのもの
原点は、その左にある −4 より右にある
右にあるほうが大きいので、0 のほうが大きい
「0 < −4」は、−4 のほうが右にあると言っていることになり、合わない
○ 0 > −4
0は正の数でも負の数でもない、境目の数でした。いちばん小さい数ではありません。
自分で確かめよう
紙に書いてから、答えを開いてください。どの問題でも、どちらの点が左にあるかを書き出してから答えること。
次の各組の大小を、不等号を使って表しなさい。（1）\(-4\) と \(+8\) （2）\(-1\) と \(-4\) （3）\(0\) と \(-6\)
\(-2.4\) と \(-\dfrac{7}{2}\) の大小を、不等号を使って表しなさい。
\(+\dfrac{4}{3}\)、\(-5\)、\(0\)、\(-0.4\)、\(+3\) を小さい順に並べなさい。
\(-\dfrac{2}{3}\)、\(-0.5\)、\(+\dfrac{1}{4}\) を小さい順に並べなさい。
次の答えはまちがっています。どこがまちがっているかを説明し、正しく直しなさい。
−6 と −1 の大小をくらべる。
|−6| = 6 、|−1| = 1 で 6 のほうが大きいので、−6 > −1
答えと考え方
1. （1）と（3）は符号がちがう組、（2）は負の数どうしです。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(-4\) は原点より左、\(+8\) は原点より右 | （1）二つの点の位置を見た |
| \(-4 < +8\) | （1）右にあるほうが大きい |
| \(-1\) の絶対値は1、\(-4\) の絶対値は4 | （2）段階1。二つの絶対値をくらべた |
| \(-4 < -1\) | （2）段階2。絶対値が大きいほうを小さいと答えた |
| \(-6\) は原点より左、\(0\) は原点そのもの | （3）二つの点の位置を見た |
| \(0 > -6\) | （3）原点は、その左にある点より右にある |
確かめ
数直線に置くと、左から −6 、−4 、−1 、0 、+8 の順にならぶ
（1）+8 は −4 より右にある。だから −4 < +8 。合っている
（2）−4 は −1 より左にある。だから −4 < −1 。合っている
（3）0 は −6 より右にある。だから 0 > −6 。合っている
答えの吟味
（2）だけ、絶対値の大小と答えの向きが反対です。
答え （1）\(-4 < +8\) （2）\(-4 < -1\) （3）\(0 > -6\)
2. 小数と分数がまじっているので、絶対値をどちらかにそろえます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(-2.4\) の絶対値は \(2.4\)、\(-\dfrac{7}{2}\) の絶対値は \(\dfrac{7}{2}\) | 段階1。くらべる相手を用意した |
| \(\dfrac{7}{2} = 3.5\) | 段階1。小数にそろえた |
| \(3.5\) のほうが大きい | 段階1。小数どうしでくらべた |
| \(-\dfrac{7}{2} < -2.4\) | 段階2。絶対値が大きいほうを小さいと答えた |
確かめ
1 目盛りが 0.1 の数直線で、−2.4 は左へ 24 目盛り
2 分の 7 は 3.5 なので、−2 分の 7 は左へ 35 目盛り
35 目盛りのほうが左へ遠いので、−2 分の 7 のほうが左にある
右にあるほうが大きいので、−2.4 のほうが大きい。合っている
答えの吟味
\(2.4\) を \(\dfrac{24}{10}\)、\(\dfrac{7}{2}\) を \(\dfrac{35}{10}\) に直してくらべても同じ答えです。
答え \(-\dfrac{7}{2} < -2.4\)
3. 小さい順に並べる三つの手順を通します。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| 負の数は \(-5\) と \(-0.4\)、0は \(0\)、正の数は \(+\dfrac{4}{3}\) と \(+3\) | 手順1。三つに分けた |
| 負の数の絶対値は \(5\) と \(0.4\) | 手順2。絶対値を出した |
| 大きいほうから \(-5\)、\(-0.4\) | 手順2。絶対値が大きいものが先 |
| 正の数の絶対値は \(\dfrac{4}{3}\) と \(3\) | 手順3。絶対値を出した |
| \(\dfrac{4}{3}\) は \(1\) と \(\dfrac{1}{3}\) なので \(3\) より小さい | 手順3。大きさをくらべた |
| 小さいほうから \(+\dfrac{4}{3}\)、\(+3\) | 手順3。正の数は絶対値が小さいものが先 |
確かめ
−5 は原点から左へ 5 、−0.4 は左へ 0.4 、0 は原点
3 分の 4 は 1 と 3 分の 1 なので +3 分の 4 は右へ 1 と少し、+3 は右へ 3
左から読むと −5 、−0.4 、0 、+3 分の 4 、+3
答えの吟味
負の数は絶対値が小さくなる向き、正の数は大きくなる向きに並びました。
答え \(-5\)、\(-0.4\)、\(0\)、\(+\dfrac{4}{3}\)、\(+3\)
4. 小数と分数がまじった並べかえです。三つの手順を通します。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| 負の数は \(-\dfrac{2}{3}\) と \(-0.5\)、正の数は \(+\dfrac{1}{4}\) | 手順1。分けた |
| 負の数の絶対値は \(\dfrac{2}{3}\) と \(0.5\) | 手順2。絶対値を出した |
| \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6}\)、\(0.5 = \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6}\) | 手順2。分母を6にそろえた |
| 大きいほうから \(-\dfrac{2}{3}\)、\(-0.5\) | 手順2。絶対値が大きいものが先 |
| そのあとに \(+\dfrac{1}{4}\) | 手順3。正の数は一つだけ |
確かめ
6 分の 4 は 6 分の 3 より大きいので、−3 分の 2 のほうが原点から左へ遠い
だから −3 分の 2 は −0.5 より左にある
+4 分の 1 は原点より右なので、二つの負の数より右にある
左から読むと −3 分の 2 、−0.5 、+4 分の 1
答えの吟味
小数と分数がまじっていても、そろえたのは絶対値だけでした。\(0.5\) を分数に直しても、\(\dfrac{2}{3}\) を小数に直しても、絶対値が大きいのは \(\dfrac{2}{3}\) のほうです。
答え \(-\dfrac{2}{3}\)、\(-0.5\)、\(+\dfrac{1}{4}\)
5. 段階2を通していないところがまちがいです。
絶対値を出して \(6\) のほうが大きいと分かったところまでは合っています。ところが、その大小をそのまま数の大小として書いてしまいました。
−6 は原点から左へ 6 、−1 は原点から左へ 1 だけ離れている
左へ 6 のほうが遠いので、−6 は −1 より左にある
「−6 > −1」は、左にある点のほうが大きいと言っていることになり、合わない
確かめ
数直線で −6 は −1 より左にあるので −6 < −1 。合っている
答えの吟味
落ちていたのは段階2の一行だけです。段階1で止まると、必ずこの誤答になります。
答え \(-6 < -1\)
次のレッスンへ
これで、正負の数の大小を決められるようになりました。原理は一つ、数直線で右にあるほうが大きい。不等号は開いた側が大きい数を向く。負の数どうしは、絶対値が大きいほど小さい。
次のレッスン「数直線でとらえる」は、セクション2のまとめです。位置・絶対値・大小という三つの見方を、一枚の数直線の上に重ねます。そこでは新しく、数直線上の二つの点がどれだけ離れているかを扱います。原点からの距離だけでなく、原点でない点から見た距離も測れるようになります。
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