引けない引き算があった
このレッスンでできるようになること
- 小学校で使ってきた数のままでは答えを出せない引き算があることを、例をあげて示せる
- 数の範囲を広げる理由を「計算をいつでもできるようにするため」という言葉で説明できる
- 0より小さい数を使って、気温や高さなどの場面を書き表せる
前のレッスンの確認
これは中学数学のいちばん最初のレッスンです。前のレッスンはないので、かわりに小学校で手に入れた道具を確かめます。このレッスンで使うのは次の3つだけです。
- たし算・引き算・かけ算・わり算 … 数を組み合わせる4つの計算
- 0 … 何もないことを表したり、数えはじめの基準を表したりする数
- 分数と小数 … 1より小さい大きさや、わり切れない結果を書き表すために作った数
そして小学校では、引き算についてこう習いました。引く数が引かれる数より大きいときは、引けない。 このレッスンは、そこから始まります。
引ける引き算と、引けない引き算
次の引き算を、上から順に計算してみてください。
| 式 | 答え |
|---|---|
| \(5-3\) | \(2\) |
| \(4-3\) | \(1\) |
| \(3-3\) | \(0\) |
| \(2-3\) | ？ |
| \(1-3\) | ？ |
引かれる数が \(5、4、3、2、1\) と1ずつ減っています。それに合わせて、答えも \(2、1、0\) と1ずつ減っています。とてもきれいな並びです。
ところが \(2-3\) で並びが止まります。小学校で習ったとおりなら「引けない」で終わりです。りんごが2個しかないのに3個食べることはできないからです。
けれども並びのほうは、止まりたがっていません。\(2、1、0\) と1ずつ減ってきたのだから、次は0よりさらに1小さい数、その次はさらに1小さい数になるはずです。規則のほうは続いているのに、数のほうが足りていない。 これが、このレッスンで向き合う問題です。
現実には、起きてしまう場面がある
「引けないなら、そういう計算をしなければいい」と思うかもしれません。ところが、引けないはずの引き算が必要になる場面は、いくらでもあります。
- お金 3000円持っているところへ、5000円の買い物をする約束をしてしまった。\(3000-5000\) を計算しないと、どれだけ足りないのかが分からない
- 気温 朝の気温が3℃で、そこから5℃下がった。\(3-5\) を計算しないと、昼の気温が言えない
- 建物 入口の階から5階分だけ下へ降りる階段がある。入口から3階分降りたところで終わりにはならない
りんごなら「3個から5個は食べられない」で済みます。しかし気温が3℃から5℃下がることは実際に起こります。その結果を表す数が必要です。
数学は、こう考える
ここで数学は、少し思い切ったことをします。
答えが出せないのなら、答えが出せるように数の範囲を広げてしまう。
「引けないものは引けない」とあきらめるのではなく、\(3-5\) にも答えがあるように数のほうを増やすのです。これが数の世界を広げるときの、いつものやり方です。
じつは、この広げ方をするのは初めてではありません。小学校でも同じことを2回やっています。
| 困ったこと | どう広げたか |
|---|---|
| \(1\) を \(3\) 人で等しく分けると、いくつになるか。それまでの数だけでは答えが書けない | 分数を作った。\(1\div 3=\dfrac{1}{3}\) と書けるようになった |
| \(1\) を \(4\) 等分した大きさを、けたの並びで書きたい | 小数を作った。\(0.25\) と書けるようになった |
どちらも「便利だったから作った」のではありません。そのままでは答えが書けない計算があったから作ったのです。今回もまったく同じです。引き算の答えがいつでも書けるように、0より小さい側へ数を広げます。
0より小さい数を作る
さっきの表の続きを、規則のとおりに書いてみます。答えが1ずつ減り続けるようにします。
| 式 | 答え |
|---|---|
| \(3-3\) | \(0\) |
| \(2-3\) | \(-1\) |
| \(1-3\) | \(-2\) |
| \(0-3\) | \(-3\) |
0より1小さい数を \(-1\) と書き、「マイナス1」と読みます。0より2小さい数は \(-2\)、0より3小さい数は \(-3\) です。数の前に \(-\) を書くことで、「0より、それだけ小さい」ということを表します。
この \(-\) のしるしは、書き忘れると意味がまったく変わってしまいます。\(3\) と \(-3\) は別の数です。\(3\) は0より3大きい数、\(-3\) は0より3小さい数です。あとのレッスンで何度も出てきますが、\(-\) は飾りではありません。
数のならびは、こうなりました。
広げた先でも、決まりは壊れない
新しい数は、好き勝手に作ってよいわけではありません。今まで使ってきた計算の決まりが、広げた先でもそのまま通用することを確かめなければ、使いものになりません。
たとえば、引き算とたし算はもともと行き来できる関係でした。\(7-3=4\) ならば、\(4+3=7\) と元に戻ります。この行き来が、広げた先でも成り立ってほしいわけです。
\(3-5\) の答えを \(-2\) と決めたなら、\(-2\) に \(5\) をたすと \(3\) に戻らなければなりません。0より2小さいところから \(5\) 増やすと、まず2増えて \(0\) になり、さらに3増えて \(3\) になります。ちゃんと戻りました。
こうした確かめを、この単元では計算ごとに一つずつやっていきます。新しい数のせいで今までの計算がおかしくなる、ということが起きないようにするためです。
だから、世の中でも使われている
数を広げた理由は「計算をいつでもできるようにするため」でした。その結果として、身のまわりの場面も書きやすくなりました。便利だから作ったのではなく、作ったら便利だったのです。
| 場面 | 何を0とみるか | 0より小さい数が表すもの |
|---|---|---|
| 気温 | 水がこおりはじめる \(0\) ℃ | \(0\) ℃より低い気温 |
| 建物の階 | 入口のある階 | 入口より下の階 |
| 土地の高さ | 海面 | 海面より低いところ |
| おこづかい | 持っているお金が \(0\) 円 | 返さなければならないお金 |
どの場面でも、0より小さい数は「何もない」という意味ではありません。\(-3\) ℃は、たしかに存在する寒さです。0を境にして反対側にも量がある、ということを表しています。
例題1 引けない引き算に答えをつける
\(4-9\) を計算しなさい。
引く \(9\) を、\(4\) と \(5\) に分けて考えます。まず \(4\) だけ引いて \(0\) にしてから、残りを引きます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(4-9\) | もとの式 |
| \(4-4-5\) | 引く \(9\) を \(4\) と \(5\) に分けた |
| \(0-5\) | \(4-4\) を先に計算して \(0\) にした |
| \(-5\) | \(0\) よりさらに \(5\) 小さい数になった |
確かめ
答えが −5 なら、−5 に 9 をたすと 4 に戻るはず
0 より 5 小さいところから 9 増やす
→ 5 増えて 0 になり、さらに 4 増えて 4
4 に戻ったので合っている
答えの吟味
引く数 \(9\) のほうが引かれる数 \(4\) より大きいので、答えは0より小さい側になるはずです。\(-5\) は0より小さいので、これでよいと分かります。
答え \(-5\)
例題2 気温の変化を数で表す
ある日の朝の気温は \(3\) ℃でした。昼までに気温が \(5\) ℃下がりました。昼の気温は何℃ですか。
「下がった」ので引き算です。朝の気温から、下がった分を引きます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(3-5\) | 朝の気温から、下がった分を引いた |
| \(3-3-2\) | 引く \(5\) を \(3\) と \(2\) に分けた |
| \(0-2\) | \(3-3\) を先に計算して \(0\) ℃にした |
| \(-2\) | \(0\) ℃よりさらに \(2\) ℃低い気温 |
確かめ
答えが −2 ℃なら、そこから 5 ℃上がると朝の 3 ℃に戻るはず
0 ℃より 2 ℃低いところから 5 ℃上がる
→ 2 ℃上がって 0 ℃、さらに 3 ℃上がって 3 ℃
朝の気温に戻ったので合っている
答えの吟味
気温が下がった記録なので、答えは朝の \(3\) ℃より低い数になるはずです。\(-2\) ℃は \(0\) ℃よりも低いので、これでよいと分かります。
答え \(-2\) ℃
例題3 場面を数で書き表す
海面の高さを \(0\) mとします。次の場所の高さを数で表しなさい。
（1）海面より \(25\) m高い展望台 （2）海面より \(25\) m低い海底トンネル
まず、海面を \(0\) mとみることを決めておきます。そのうえで、0より大きい側か小さい側かを見ます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(0+25\) | （1）海面より高いので、\(0\) から \(25\) 増やした |
| \(25\) | （1）\(0\) より \(25\) 大きい数になった |
| \(0-25\) | （2）海面より低いので、\(0\) から \(25\) 引いた |
| \(-25\) | （2）\(0\) より \(25\) 小さい数になった |
確かめ
（1）25 m から 25 下がると 0 m、つまり海面に戻る
（2）−25 m から 25 上がると 0 m、つまり海面に戻る
どちらも海面に戻ったので合っている
答えの吟味
（1）は海面より高い場所なので答えは0より大きい側、（2）は海面より低い場所なので0より小さい側になるはずです。\(25\) m と \(-25\) m はそのとおりなので、これでよいと分かります。
同じ「\(25\) m」でも、海面より高いのか低いのかで書き方が変わります。\(-\) を書くかどうかが、その区別を引き受けています。
答え （1）\(25\) m （2）\(-25\) m
この単元でやること
0より小さい数を手に入れました。これから10のセクションをかけて使いこなせるようにしていきます。全体の道すじはこうです。
セクション2では、数をならべる場所を決めて、大小を比べられるようにします。セクション3から6までは、4つの計算を0より小さい数まで広げます。ここが単元の中心です。セクション7で計算の順序を整え、セクション8では「どこまで数を広げてきたのか」をふり返ります。セクション9で身のまわりの場面に使い、セクション10で全部を通して仕上げます。
どのセクションでも「今までの計算の決まりが壊れていないか」を確かめながら進みます。 このレッスンで立てた問いが、単元の最後まで続きます。
今日の問い
\(3-5\) の答えを決めないまま「引けない」で放っておくと、どんな困りごとが起きるでしょうか。
困ることは2つあります。
1つめは、計算できる式とできない式を、いちいち見分けなければならないことです。\(8-3\) は計算してよくて \(3-8\) はだめ、というように、引き算をするたびに大小を先に確かめる手間がかかります。答えがいつでもあると決めてしまえば、この手間はまるごと消えます。
2つめは、場面のほうが待ってくれないことです。気温は下がりますし、お金は足りなくなります。起きたことを書き表せないのは、とても不便です。
だから数を広げました。\(3-5\) の答えは \(-2\) です。もう「引けない」と書く必要はありません。
よくある間違い
まちがい1：引く順番を入れかえてしまう
\(3-5\) の答えを、\(5-3\) と同じだと思ってしまう間違いです。
✗ 3 − 5 = 2
引き算は、たし算とちがって順番を入れかえられません。\(3-5\) と \(5-3\) は別の計算です。
○ 3 − 5 = −2
誤答の \(2\) を確かめてみます。
答えが 2 なら、2 に 5 をたすと 3 に戻るはず
2 + 5 = 7
7 は 3 ではないので、この答えは合っていない
正しい答えなら戻ります。
−2 に 5 をたすと、2 増えて 0、さらに 3 増えて 3
3 に戻ったので合っている
まちがい2：0より小さい数を、0と同じだと思う
0より小さい数を「何もない状態」だと考えて、0と同じあつかいにしてしまう間違いです。
✗ 3 − 5 = 0
0は「ちょうど基準のところ」を表す数で、\(-2\) は「基準より2小さいところ」を表す数です。別の数です。
○ 3 − 5 = −2
誤答の \(0\) を確かめます。
答えが 0 なら、0 に 5 をたすと 3 に戻るはず
0 + 5 = 5
5 は 3 ではないので、この答えは合っていない
気温でいえば、\(0\) ℃と \(-2\) ℃はどちらも寒いですが、同じではありません。\(-2\) ℃のほうが \(2\) ℃ぶん低いのです。
まちがい3：場面を数にするとき、マイナスを書き忘れる
「海面より \(40\) m低い」を \(40\) mと書いてしまう間違いです。
✗ 海面より 40 m低い → 40 m
これでは、海面より高い \(40\) mの場所と区別がつきません。0より小さい側であることを \(-\) が引き受けているので、書き忘れると意味が反対になります。
○ 海面より 40 m低い → −40 m
大きさだけでなく、0のどちら側かも書く。 この2つがそろって初めて、場所が1つに決まります。
まちがい4：何を0とするか決めずに書き始める
\(-\) を書くかどうかは、0をどこに置いたかで決まります。0を決めないまま数だけ書くと、読む人には何も伝わりません。
✗ 3階分下 → −3
何を0階とみたのかが書かれていません。入口の階を0とみたのか、地面を0とみたのかで、答えは変わります。
○ 入口の階を 0 階とみると、そこから 3 階分下は −3 階
何を0とみるかを、先に書く。 これはこの単元でずっと使う型です。
自分で確かめよう
紙に書いてから、答えを開いてください。計算問題は、引く数を分けて0を通る書き方で解いてみましょう。
\(6-10\) を計算しなさい。
\(0-7\) を計算しなさい。
次の表の空らんをうめなさい。答えがどのように変わっていくかにも注目してください。
| 式 | 答え |
|---|---|
| \(8-2\) | |
| \(8-5\) | |
| \(8-8\) | |
| \(8-11\) | |
| \(8-14\) |
なぜ数の範囲を0より小さい側へ広げたのですか。\(4-13\) を例に使って説明しなさい。
次の場面を数で表しなさい。それぞれ、何を0とみたのかも書くこと。
（1）海面より \(60\) m低い海底 （2）入口の階を基準にしたとき、地下 \(2\) 階 （3）\(0\) ℃より \(9\) ℃低い気温
- 次の答えはまちがっています。どこがまちがっているかを説明し、正しく直しなさい。
9 − 15 = 0
答えと考え方
1. 引く \(10\) を、\(6\) と \(4\) に分けます。まず \(6\) だけ引いて \(0\) にしてから、残りの \(4\) を引きます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(6-10\) | もとの式 |
| \(6-6-4\) | 引く \(10\) を \(6\) と \(4\) に分けた |
| \(0-4\) | \(6-6\) を先に計算して \(0\) にした |
| \(-4\) | \(0\) よりさらに \(4\) 小さい数になった |
確かめ
答えが −4 なら、−4 に 10 をたすと 6 に戻るはず
0 より 4 小さいところから 10 増やす
→ 4 増えて 0 になり、さらに 6 増えて 6
6 に戻ったので合っている
答え \(-4\)
2. すでに \(0\) から始まっているので、分ける必要はありません。\(0\) から \(7\) 引くだけです。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(0-7\) | もとの式 |
| \(-7\) | \(0\) より \(7\) 小さい数 |
確かめ
答えが −7 なら、−7 に 7 をたすと 0 に戻るはず
0 より 7 小さいところから 7 増やすと、ちょうど 0
0 に戻ったので合っている
答え \(-7\)
3. 引く数が \(2、5、8、11、14\) と \(3\) ずつ増えているので、答えは \(3\) ずつ減っていきます。
| 式 | 答え |
|---|---|
| \(8-2\) | \(6\) |
| \(8-5\) | \(3\) |
| \(8-8\) | \(0\) |
| \(8-11\) | \(-3\) |
| \(8-14\) | \(-6\) |
\(6、3、0\) ときたら、次は \(0\) より \(3\) 小さい \(-3\)、その次は \(-6\) です。0を通り過ぎても、\(3\) ずつ減るという決まりがそのまま続いていることが大切です。決まりが壊れないように数を広げた、というのがこの単元の出発点でした。
確かめ
−3 に 11 をたすと、3 増えて 0、さらに 8 増えて 8
−6 に 14 をたすと、6 増えて 0、さらに 8 増えて 8
どちらも 8 に戻ったので合っている
答え 上から順に \(6、3、0、-3、-6\)
4. 説明のすじ道は次のとおりです。
小学校で使ってきた数だけでは、\(4-13\) の答えを書くことができませんでした。「引けない」で止まってしまいます。
ところが、気温が下がる場面のように、引けないはずの引き算が必要になることは実際に起こります。また、引き算をするたびに大小を確かめて、計算できるかどうかを見分けるのも手間です。
そこで、どんな引き算にも答えがあるように、0より小さい側へ数を広げました。 そうすると \(4-13=-9\) と書けるようになり、引き算はいつでもできるようになります。
答え どんな引き算にも答えがあるようにするため。\(4-13\) は小学校の数では書けなかったが、0より小さい数を作ることで \(-9\) と書けるようになり、引き算がいつでもできるようになったから。
5. どの問題も、まず何を0とみるかを決めてから、0より大きい側か小さい側かを見ます。
（1）海面の高さを \(0\) mとみます。海面より低いので、0より小さい側です。
（2）入口のある階を \(0\) 階とみます。地下 \(2\) 階は入口より \(2\) 階分下なので、0より小さい側です。
（3）\(0\) ℃を0とみます。\(0\) ℃より低いので、0より小さい側です。
確かめ
（1）−60 m に 60 をたすと 0 m、つまり海面に戻る
（2）−2 階から 2 階分のぼると 0 階、つまり入口に戻る
（3）−9 ℃から 9 ℃上がると 0 ℃に戻る
どれも基準に戻ったので合っている
答え （1）海面を \(0\) mとして \(-60\) m （2）入口の階を \(0\) 階として \(-2\) 階 （3）\(0\) ℃を基準として \(-9\) ℃
6. 引けなくなったところで \(0\) で止めてしまったのがまちがいです。
\(9\) から \(9\) を引いて \(0\) にしたところで手を止めています。引く数は \(15\) なので、まだ \(6\) だけ引き残しています。\(0\) を通り過ぎて、その先まで引かなければなりません。
誤答の \(0\) を確かめてみます。
答えが 0 なら、0 に 15 をたすと 9 に戻るはず
0 + 15 = 15
15 は 9 ではないので、この答えは合っていない
正しく計算します。引く \(15\) を \(9\) と \(6\) に分けます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(9-15\) | もとの式 |
| \(9-9-6\) | 引く \(15\) を \(9\) と \(6\) に分けた |
| \(0-6\) | \(9-9\) を先に計算して \(0\) にした |
| \(-6\) | \(0\) よりさらに \(6\) 小さい数になった |
確かめ
−6 に 15 をたすと、6 増えて 0、さらに 9 増えて 9
9 に戻ったので合っている
答えの吟味
引く数 \(15\) のほうが引かれる数 \(9\) より大きいので、答えは0より小さい側になるはずです。\(-6\) は0より小さいので、これでよいと分かります。
答え \(9-15=-6\)
次のレッスンへ
0より小さい数を作ることはできましたが、まだ名前がありません。「0より小さい数」と毎回書くのは長すぎます。
次のレッスン「正の数・負の数・0」では、0より大きい数と0より小さい数に、それぞれ名前をつけます。0がどちらの仲間でもない特別な数であることも確かめます。\(-\) を書き忘れてはいけない理由も、そこではっきりします。
クイズと理解チェックは、アプリで挑戦できます。