絶対値は0からの距離
このレッスンでできるようになること
- 絶対値が何かを、原点との距離という言葉で説明できる
- 絶対値の記号を使って、正の数・負の数・0の絶対値を書き表せる
- 絶対値が負の数にならない理由を、自分の言葉で言える
前のレッスンの確認
- 正の数 … 0より大きい数／負の数 … 0より小さい数
- 0 … 正の数でも負の数でもない、境目の数
- 符号 … 数が正か負かを表す \(+\) と \(-\) のしるし。\(+\) は省略できるが、\(-\) は省略できない
- 数直線 … 直線上に基準の点と目盛りをとり、数を点で表したもの
- 原点 … 数直線で0を表す点
- 数直線の三つの確認 … ①0の位置 ②正の向き ③1目盛りの大きさ
点は、二つのことを言っている
前のレッスンで、どんな正負の数にも数直線の上の場所がただ一つ決まることを見ました。その点を指さして何が言えるかを、1目盛りが \(1\) の数直線で並べてみます。
- \(+5\) の点は、原点から右に、\(5\) だけ離れている
- \(-5\) の点は、原点から左に、\(5\) だけ離れている
言っていることが二つあります。どちら向きかと、どれだけ離れているかです。前半はちがっていて、後半は同じです。
符号 \(+\) と \(-\) が受け持っているのは、前半の「向き」です。符号を外した部分が受け持っているのは、後半の「離れぐあい」です。セクション1で符号を付けたときも、正の向きと同じなら \(+\)、反対なら \(-\) と決めました。符号はいつでも向きの係でした。
ここで、向きの係をいったん外して、離れぐあいだけを取り出します。 取り出したものには、名前が要ります。
絶対値
絶対値とは、ある数を表す点と原点との距離のことです。
\(+5\) を表す点は原点から \(5\) だけ離れているので、\(+5\) の絶対値は \(5\) です。\(-5\) を表す点も原点から \(5\) だけ離れているので、\(-5\) の絶対値も \(5\) です。
距離なので、どちら向きに離れているかは問いません。上の図で、左の矢印と右の矢印は向きが反対でしたが、長さは同じでした。絶対値が見ているのは、この矢印の長さだけです。
ここでいう距離は、目盛りの数のことではありません。目盛りの数に1目盛りの大きさをかけた、本当の離れぐあいのことです。前のレッスンの三つの確認③が、そのまま効いてきます。
絶対値の記号
絶対値には、書くための記号があります。
数の両側を縦線1本ずつではさんで、\(|-5|\) と書きます。これで「\(-5\) の絶対値」という意味になります。読むときも「マイナス5の絶対値」と読みます。
縦線ではさんだ数の、原点からの距離を表す記号です。はさむ数には、符号もいっしょに入れます。
\(|-5| = 5\)
\(|+5| = 5\)
\(|0| = 0\)
\(|+7| = 7\)
左側の \(|-5|\) は「距離をたずねている形」、右側の \(5\) は「たずねた答え」です。答えを書くときに縦線を残してはいけません。 \(|-5| = |5|\) と書いたら、たずね直しただけで、まだ答えていないことになります。
この記号は、この単元の終わりまで使い続けます。 符号と離れぐあいを分けて考える場面が、このあと何度も出てきます。そのたびに「原点からの距離」と長く言う代わりに、この縦線を使います。
正の数・負の数・0の三つの場合
数は、正の数・負の数・0の三つに分かれました。絶対値も、この三つで見ておきます。
| 数 | 原点から見た向き | 原点からの距離 | 絶対値 |
|---|---|---|---|
| \(+7\) | 右 | \(7\) | \(7\) |
| \(+5\) | 右 | \(5\) | \(5\) |
| \(0\) | どちらでもない | \(0\) | \(0\) |
| \(-5\) | 左 | \(5\) | \(5\) |
| \(-7\) | 左 | \(7\) | \(7\) |
記号で書き直すと、次のようになります。
|+7| = 7 |−7| = 7
|+5| = 5 |−5| = 5
|0| = 0
三つの場合を言葉にすると、こうです。
- 正の数の絶対値は、符号 \(+\) を取り去った数
- 負の数の絶対値は、符号 \(-\) を取り去った数
- 0の絶対値は0
「符号を取り去った数」と「距離」の関係
「符号を取り去るだけ」と聞くと、絶対値は簡単な作業に見えます。手を動かすだけならそのとおりです。ただし、取り去るという操作が先にあるのではありません。 距離を考えた結果として、符号が残らないのです。
符号は向きの係でした。距離には向きがありません。だから、向きの係だけがいらなくなり、残った部分がそのまま距離になります。順番はこうです。
数直線に置く → 原点からの離れぐあいを見る → 向きは要らないので符号が落ちる
順番を逆にして「符号を取り去る作業」だと覚えると、0で止まります。取り去る符号がないからです。距離で考えれば迷いません。原点と原点の離れぐあいは0なので、\(|0| = 0\) です。
なぜ絶対値は負の数にならないのか
距離は、離れぐあいを表す量です。「\(5\) だけ離れている」とは言いますが、「\(-5\) だけ離れている」とは言いません。もし言えるとしたら、それはもう距離ではなく、向きの情報が混ざっています。
実際に数えてみます。1目盛りが \(1\) の数直線で、\(-7\) の点から原点まで、目盛りを一つずつ数えます。
−7 から −6 へ 1 つ、−6 から −5 へ 1 つ、… と数えていく
−1 から 0 へ 1 つ で終わり。ぜんぶで 7 つ
1 目盛りは 1 なので、離れぐあいは 1 × 7 = 7
数えた個数は \(7\) でした。数えるという作業からは、負の数は出てきません。 0個より少なく数えることはできないからです。左から数えても右から数えても、出てくるのは0か正の数です。
だから、絶対値の答えは0か正の数のどちらかになります。負の数になることはありません。そして絶対値が0になるのは0のときだけです。原点からの離れぐあいが0だということは、その点が原点そのものだ、という意味だからです。
例題1 正の数と負の数の絶対値
\(|+3|\) と \(|-3|\) をそれぞれ求めなさい。1目盛りが \(1\) の数直線で考えなさい。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| 1目盛りは \(1\)、原点は \(0\) の点、右が正の向き | 三つの確認をそろえた |
| \(+3\) は原点から右へ \(3\) 目盛り | 符号 \(+\) が向き、\(3\) が離れぐあい |
| 離れぐあいは \(1\times 3=3\) | 目盛りの数に1目盛りの大きさをかけた |
| \(-3\) は原点から左へ \(3\) 目盛り | 符号 \(-\) が向き、\(3\) が離れぐあい |
| 離れぐあいは \(1\times 3=3\) | 向きがちがっても、かける計算は同じ |
確かめ
+3 は 0 と +7 の間にあり、0 から 3 目盛り。数えた個数は 3 。合っている
−3 は 0 と −7 の間にあり、0 から 3 目盛り。数えた個数は 3 。合っている
答えの吟味
二つとも答えが \(3\) になりました。\(+3\) と \(-3\) は原点をはさんで反対側にあり、離れぐあいだけが等しいからです。答えはどちらも正の数で、負の数は出ていません。距離を答えているので、これでよいことになります。
答え \(|+3| = 3\)、\(|-3| = 3\)
例題2 分数の絶対値
\(|-\dfrac{9}{4}|\) と \(|+\dfrac{2}{3}|\) をそれぞれ求めなさい。\(|-\dfrac{9}{4}|\) は、下の数直線でも確かめなさい。
数の書いてある目盛りと目盛りの間が4等分されているので、1目盛りは \(\dfrac{1}{4}\) です。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| 1目盛りは \(\dfrac{1}{4}\) | 三つの確認③。数の間が4等分されている |
| \(-\dfrac{9}{4}\) は原点から左へ \(9\) 目盛り | \(\dfrac{9}{4}\) は \(\dfrac{1}{4}\) の \(9\) つ分 |
| 離れぐあいは \(\dfrac{9}{4}\) | \(\dfrac{1}{4}\) を \(9\) つ集めた |
| \(+\dfrac{2}{3}\) は原点から右へ、\(\dfrac{2}{3}\) だけ離れている | 符号 \(+\) は向きなので、答えには残らない |
| 離れぐあいは \(\dfrac{2}{3}\) | 符号を落とした部分がそのまま距離 |
確かめ
4 分の 9 は 2 と 4 分の 1 。図の点は −3 と −2 の間で、−2 の近くにある
原点から左へ 2 と少しなので、4 分の 9 で合っている
3 分の 2 は 1 より小さい。+1 より原点に近い側なので、離れぐあいも 1 より小さい。合っている
答えの吟味
どちらの答えも0か正の数で、負の数は出ていません。\(\dfrac{9}{4}\) のほうが \(\dfrac{2}{3}\) より原点から遠い数でした。図でもそうなっています。もし目盛りの数 \(9\) をそのまま答えていたら、\(-\dfrac{9}{4}\) は原点から \(9\) も離れていることになり、図と合いません。
答え \(|-\dfrac{9}{4}| = \dfrac{9}{4}\)、\(|+\dfrac{2}{3}| = \dfrac{2}{3}\)
例題3 時計のずれ
三つの時計があります。正しい時刻より進んでいるほうを正、遅れているほうを負として、ずれを数で表しました。
- 時計ア … \(-7\) 分
- 時計イ … \(+3\) 分
- 時計ウ … \(-1.8\) 分
それぞれの時計について、正しい時刻からのずれの大きさを、絶対値の記号を使って書き、答えなさい。また、正しい時刻からいちばん離れている時計はどれですか。
「進んでいるか遅れているか」は向きです。「どれだけずれているか」は離れぐあいです。ずれの大きさをたずねられているので、向きを外して絶対値をとります。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| 正しい時刻を \(0\) とする | 基準を \(0\) に置いた |
| アのずれの大きさは \(7\) 分 | \(-7\) の向きを外して、離れぐあいだけにした |
| イのずれの大きさは \(3\) 分 | \(+3\) も同じように向きを外した |
| ウのずれの大きさは \(1.8\) 分 | 小数でも、やることは変わらない |
| \(7\)、\(3\)、\(1.8\) をくらべる | どれも0か正の数なので、そのままくらべられる |
記号で書くと、次のようになります。
|−7| = 7 |+3| = 3 |−1.8| = 1.8
確かめ
ア 7 分遅れ、イ 3 分進み、ウ 1.8 分遅れ
ずれの大きさは 7 、3 、1.8 。いちばん大きいのは 7 なので ア
答えの吟味
絶対値を使うと、向きのちがう三つの数を同じものさしで見られるようになります。進んでいるイと遅れているウでも、ずれの大きさだけなら並べられました。答えはすべて0か正の数で、「\(-7\) 分ずれている」という答えは出ていません。
答え ア \(|-7| = 7\) 分、イ \(|+3| = 3\) 分、ウ \(|-1.8| = 1.8\) 分。いちばん離れているのは時計ア
今日の問い
\(|-7| = 7\) でした。では、\(-7\) と \(7\) は同じ数だといってよいのでしょうか。
いってはいけません。絶対値は、その数そのものではなく、その数を表す点と原点との距離です。
- \(-7\) … 数直線の上の位置を表している
- \(|-7|\) … その位置と原点の離れぐあいを表している
二つは別のことを言っています。
例題3の時計で確かめます。時計アは \(-7\) 分、つまり \(7\) 分遅れていました。もし \(-7\) と \(7\) が同じなら、アは \(7\) 分進んでいることにもなってしまいます。同じ時計が遅れていて進んでいる、ということはありません。
\(|-7| = 7\) が言っているのは、「ずれの大きさは \(7\) 分だ」ということだけです。遅れなのか進みなのかは、絶対値をとった時点で捨てられています。
これは絶対値の欠点ではありません。向きがじゃまなときに、向きだけを外せる道具だということです。いま位置を見ているのか、離れぐあいを見ているのかを、はっきりさせておいてください。
よくある間違い
まちがい1：負の数の絶対値を、負の数で答える
\(|-0.8|\) を求める問題です。
✗ |−0.8| = −0.8
「もとの数が負だから、答えも負だろう」と考えた形です。もしこれが正しいなら、\(-0.8\) を表す点は原点から \(-0.8\) だけ離れていることになります。数え直してみます。
1 目盛りが 0.2 の数直線で、−0.8 は原点から左へ 4 目盛り
離れぐあいは 0.2 × 4 = 0.8
数えて出てきたのは 0.8 で、−0.8 ではない
数えて出てくるのは0か正の数だけでした。負の数は出てきません。
○ |−0.8| = 0.8
符号は向きの係です。絶対値は距離なので、向きの係は答えに残りません。
まちがい2：0には絶対値がないと思う
\(|0|\) を求める問題です。
✗ 0 は正の数でも負の数でもないので、|0| は答えられない
たしかに0は、取り去る符号を持っていません。しかし絶対値は「符号を取り去る作業」ではなく、原点との距離でした。0を表す点はどこにあるかを見ます。
0 を表す点は、原点そのもの
原点と原点は、離れていない
離れぐあいは 0
○ |0| = 0
0は絶対値を持たない数ではなく、絶対値が0になるただ一つの数です。ここは、絶対値を距離として覚えておくと迷いません。
まちがい3：答えに記号を残す
\(|+4.6|\) を求める問題です。
✗ |+4.6| = |4.6|
符号 \(+\) を取り去るところまでは合っています。ところが縦線が残ったままです。
|+4.6| は「+4.6 の絶対値は？」とたずねている
|4.6| は「4.6 の絶対値は？」とたずね直しただけ
たずね直しただけでは、答えたことにならない
○ |+4.6| = 4.6
縦線は、たずねるときに使う記号です。 答えの側には書きません。
まちがい4：目盛りの数を、そのまま絶対値にする
1目盛りが \(\dfrac{1}{3}\) の数直線で、\(-\dfrac{2}{3}\) の絶対値を求める問題です。
✗ 原点から左へ 2 目盛りだから、|−3分の2| = 2
数えた目盛りの個数は、たしかに \(2\) です。しかし目盛りの個数は、そのままでは距離になりません。1目盛りの大きさとかけ合わせて、はじめて距離になります。
1 目盛りは 3 分の 1
2 目盛り分の長さは、3 分の 1 の 2 つ分で 3 分の 2
もし距離が 2 なら、その点は −2 のあたりにあるはず
図の点は −1 より原点に近い側にあるので、合わない
○ |−3分の2| = 3分の2
前のレッスンの三つの確認③を、絶対値でも通してください。目盛りの数は、そのままでは数になりません。
自分で確かめよう
紙に書いてから、答えを開いてください。1と2は、答えだけでなく「原点から何だけ離れているか」も書くこと。
次の絶対値を求めなさい。（1）\(|+12|\) （2）\(|+0.8|\) （3）\(|-5|\)
次の絶対値を求めなさい。（1）\(|+\dfrac{11}{6}|\) （2）\(|-3.6|\)
絶対値が0になる数は0だけです。なぜですか。距離という言葉を使って説明しなさい。
1目盛りが \(2\) の数直線があります。原点から左へ \(6\) 目盛りの点が表す数と、その数の絶対値を答えなさい。
次の答えはまちがっています。どこがまちがっているかを説明し、正しく直しなさい。
|−11| = |11|
−11 の符号 − を取り去って 11 にしたので、これで答えです。
答えと考え方
1. どれも、原点からの離れぐあいを答えます。1目盛りが \(1\) の数直線で考えます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(+12\) は原点から右へ \(12\) 離れている | 符号 \(+\) が向き、\(12\) が離れぐあい |
| （1）の答えは \(12\) | 向きを外して、離れぐあいだけを取った |
| \(+0.8\) は原点から右へ \(0.8\) 離れている | 小数でもやることは変わらない |
| （2）の答えは \(0.8\) | 符号 \(+\) は答えに残らない |
| \(-5\) は原点から左へ \(5\) 離れている | 符号 \(-\) が向き、\(5\) が離れぐあい |
| （3）の答えは \(5\) | 向きが左でも、離れぐあいは正の数 |
確かめ
（1）原点から右へ 12 進むと +12 に着く。進んだ長さは 12 。合っている
（2）原点から右へ 0.8 進むと +0.8 に着く。進んだ長さは 0.8 。合っている
（3）原点から左へ 5 進むと −5 に着く。進んだ長さは 5 。合っている
答え （1）\(|+12| = 12\) （2）\(|+0.8| = 0.8\) （3）\(|-5| = 5\)
2. 分数と小数でも、見るのは原点からの離れぐあいです。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(+\dfrac{11}{6}\) は原点から右へ \(\dfrac{11}{6}\) 離れている | 符号 \(+\) が向き、\(\dfrac{11}{6}\) が離れぐあい |
| （1）の答えは \(\dfrac{11}{6}\) | 符号を外した部分がそのまま距離 |
| \(-3.6\) は原点から左へ \(3.6\) 離れている | 符号 \(-\) が向き、\(3.6\) が離れぐあい |
| （2）の答えは \(3.6\) | 向きを外した |
確かめ
（1）6 分の 11 は 1 と 6 分の 5 。+2 より少し左の点なので、離れぐあいも 2 より少し小さい。合っている
（2）3.6 は 3 と 4 の間。−3 と −4 の間の点なので、離れぐあいも 3 と 4 の間。合っている
答え （1）\(|+\dfrac{11}{6}| = \dfrac{11}{6}\) （2）\(|-3.6| = 3.6\)
3. 絶対値は、その数を表す点と原点との距離です。距離が0だということは、その点が原点から少しも離れていないということです。
原点から少しも離れていない点は、原点そのものしかない
原点が表す数は 0
だから、絶対値が 0 になる数は 0 だけ
原点より右にある点は、少しでも右にずれたところで離れぐあいが0ではなくなります。左でも同じです。
答えの吟味
\(|0| = 0\) を逆から見た形になっています。0以外の数は、正の数なら原点の右、負の数なら原点の左にあり、どちらも原点とはちがう点です。ちがう点なので、離れぐあいは0にはなりません。
答え 絶対値は原点との距離であり、距離が0になる点は原点だけだから。原点が表す数は0なので、絶対値が0になる数は0だけになる
4. 先に三つの確認をします。①原点は \(0\) の点 ②右が正の向き ③1目盛りは \(2\) です。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| 原点から左へ \(6\) 目盛り | 原点より左なので、符号は \(-\) |
| \(2\times 6=12\) | 目盛りの数に、1目盛りの大きさをかけた |
| その点が表す数は \(-12\) | 符号 \(-\) と大きさ \(12\) を合わせた |
| 離れぐあいも \(12\) | 距離は、いまかけ算で求めた長さそのもの |
確かめ
−12 を置き直すと、12 ÷ 2 = 6 で原点から左へ 6 目盛り。もとの点と同じ
離れぐあいは 2 の 6 つ分で 12 。符号は付かない
答え その点が表す数は \(-12\)、絶対値は \(|-12| = 12\)
5. 縦線を外していないところがまちがいです。
符号 \(-\) を取り去って \(11\) を出したところまでは合っています。ところが、その \(11\) をもう一度縦線ではさんでしまいました。
|−11| は「−11 の絶対値は？」とたずねている形
|11| は「11 の絶対値は？」とたずね直した形
たずね直しただけなので、まだ答えていない
縦線は、たずねるときに使う記号です。答えの側には書きません。
○ |−11| = 11
確かめ
−11 を表す点は、原点から左へ 11 離れている。離れぐあいは 11
答えに符号も縦線も付かない
答えの吟味
\(|11| = 11\) でもあるので、\(|-11| = |11|\) という式そのものは正しい関係です。ただし「絶対値を求めなさい」と言われたときの答えにはなりません。求められているのは距離を表す数であって、たずねる形ではないからです。
答え \(|-11| = 11\)
次のレッスンへ
これで、数直線の上の点から「向き」を外して、「原点からの離れぐあい」だけを取り出せるようになりました。名前は絶対値、記号は数を縦線ではさんだ形です。\(|-5| = 5\)、\(|0| = 0\)、\(|+7| = 7\)。答えはいつも0か正の数になります。
次のレッスン「絶対値から数を求める」では、この道具を逆向きに使います。今日は数から絶対値を求めましたが、次は絶対値のほうが先に分かっている場面を考えます。絶対値をとると向きの情報が捨てられることを、今日の問いで見ました。捨てられているなら、逆にたどるとき何が起きるのか。そこが次のレッスンの入口です。
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