数直線に正負の数を置く
このレッスンでできるようになること
- 数直線と原点が何かを、自分の言葉で言える
- 数直線を読む前に、0の位置・正の向き・1目盛りの大きさの三つを確かめられる
- 正負の数を数直線の上の点に置き、逆に点から数を読み取れる
前のレッスンの確認
- 正の数 … 0より大きい数
- 負の数 … 0より小さい数
- 0 … 正の数でも負の数でもない、境目の数
- 符号 … 数が正か負かを表す \(+\) と \(-\) のしるし。\(+\) は省略できるが、\(-\) は省略できない
- 基準と向きを決める四つの手順 … ①何を0とするか決める ②どちら側を正の向きにするか決める ③量の大きさを数で表す ④正の向きと同じなら \(+\)、反対なら \(-\) を付ける
数には置き場所がいる
セクション1の終わりで、こう書きました。いまの正負の数には置き場所がありません、と。
\(-4.2\) と \(-140\) は、どちらも0より小さい数です。名前も付きました。符号も付きました。それでも、この二つがどういう関係にあるのかを言おうとすると、とたんに言葉が止まります。並べて置く場所がないからです。
小学校では、0、1、2、3、… を左から右へならべた線を使いました。ものさしと同じならべ方で、0が線のはしでした。
セクション1で数を0より小さい側へ広げたのですから、線もそちら側へのばせばよいことになります。この線に名前をつけます。
数直線と原点
数直線とは、直線上に基準の点と目盛りをとり、数を点で表したもののことです。
原点とは、数直線で0を表す点のことです。
原点は、セクション1で毎回決めていた「基準の0」が、線の上に場所をもらったものです。右へ行く向きを正の向きとするのが、数直線のふつうの決め方です。
原点の右には正の数が、左には負の数がならびます。右へ1目盛り進むごとに1ずつ大きい数になり、左へ1目盛り進むごとに1ずつ小さい数になります。
ここで大事なのは、どんな数にも、この線の上の場所がただ一つ決まるということです。\(-5\) の場所は一か所しかありません。逆に、線の上のどの点をとっても、それが表す数はただ一つに決まります。数と点が、行きも帰りもぴったり対応する。これが数直線を使う理由です。
読む前に確かめる三つのこと
ところが、数直線は書き方が一通りではありません。1目盛りが1のものもあれば、2のものも、\(0.5\) のものもあります。0が図のまんなかにあるとはかぎりません。
そこで、数直線を見たらいつでも先に確かめることを三つ決めます。これを数直線の三つの確認と呼ぶことにします。
数直線の三つの確認
確認 見るところ ① 0の位置 原点はどこか ② 正の向き どちら側が大きいほうか ③ 1目盛りの大きさ 目盛りと目盛りの間はいくつか
この三つが決まっていない数直線は、読めません。読めないというのは「むずかしい」という意味ではなく、答えがただ一つに決まらないという意味です。
たとえば、原点から右へ4目盛りの点があったとします。この点が表す数は、③の答えによって変わります。
| 1目盛りの大きさ | 原点から右へ4目盛りの点 |
|---|---|
| \(1\) | \(+4\) |
| \(2\) | \(+8\) |
| \(0.5\) | \(+2\) |
同じ場所の点なのに、\(+4\) にも \(+8\) にも \(+2\) にもなりました。目盛りの数は、そのままでは数になりません。 1目盛りの大きさとかけ合わせて、はじめて数になります。
数を点に置く
数を数直線の上に置くときは、次のようにします。
- 三つの確認をする
- 符号を見て向きを決める。 \(+\) なら正の向きへ、\(-\) なら正の向きと反対へ
- その数の大きさが、1目盛りの大きさのいくつ分かを求める。 その数だけ目盛りを進む
3で求めるのは「いくつ分か」です。\(-2.5\) だから左へ \(2.5\) 目盛り、ではありません。1目盛りが \(0.5\) なら、\(2.5\) は \(0.5\) の5つ分なので、進むのは5目盛りです。
例題1 1目盛りが0.5の数直線に置く
下の数直線に \(-2.5\) と \(+1.5\) を置くと、どの点になりますか。原点からどちら向きに何目盛りかで答えなさい。
数の書いてある目盛りと目盛りの間が2等分されているので、1目盛りは \(0.5\) です。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| 1目盛りは \(0.5\) | 確認③。数の間が2等分されているので \(1\div 2=0.5\) |
| \(2.5\div 0.5=5\) | \(-2.5\) の大きさ \(2.5\) が、\(0.5\) の5つ分だと分かった |
| 原点から左へ5目盛り | 符号が \(-\) なので、正の向きと反対の左へ進んだ |
| \(1.5\div 0.5=3\) | \(+1.5\) の大きさ \(1.5\) が、\(0.5\) の3つ分だと分かった |
| 原点から右へ3目盛り | 符号が \(+\) なので、正の向きと同じ右へ進んだ |
確かめ
左へ 5 目盛りは 0.5 の 5 つ分で 2.5 。原点より 2.5 だけ小さい側なので −2.5 。合っている
右へ 3 目盛りは 0.5 の 3 つ分で 1.5 。原点より 1.5 だけ大きい側なので +1.5 。合っている
答えの吟味
\(-2.5\) は負の数なので原点より左、\(+1.5\) は正の数なので原点より右。図でもそうなっています。目盛りの数は5と3で、大きさ \(2.5\) と \(1.5\) の関係と同じ順です。
答え \(-2.5\) は原点から左へ5目盛りの点、\(+1.5\) は原点から右へ3目盛りの点
点から数を読む
置くことができれば、読むこともできます。やることを逆にたどるだけです。
- 三つの確認をする
- 原点からどちら向きにあるかを見る。 正の向きと同じなら \(+\)、反対なら \(-\)
- 原点から何目盛り離れているかを数え、1目盛りの大きさとかけ合わせる
置くときは「大きさを1目盛りの大きさで割って」目盛りの数を出しました。読むときは「目盛りの数に1目盛りの大きさをかけて」大きさを出します。行きと帰りで、割るとかけるが入れかわります。
例題2 1目盛りが2の数直線を読む
下の数直線で、点アと点イが表す数を答えなさい。
数が書いてあるのは2目盛りごとです。\(0\) と \(+4\) の間に目盛りが2つ分あるので、1目盛りは \(4\div 2=2\) です。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| 1目盛りは \(2\) | 確認③。\(0\) と \(+4\) の間が2等分されている |
| アは原点から左へ7目盛り | 確認②。原点より左なので符号は \(-\) |
| \(2\times 7=14\) | 目盛りの数に、1目盛りの大きさをかけた |
| \(-14\) | 符号 \(-\) と大きさ \(14\) を合わせた |
| イは原点から右へ3目盛り | 原点より右なので符号は \(+\) |
| \(2\times 3=6\) | 目盛りの数に、1目盛りの大きさをかけた |
| \(+6\) | 符号 \(+\) と大きさ \(6\) を合わせた |
確かめ
ア −14 は −16 と −12 の間にある。図のアも −16 と −12 の間にある。合っている
イ +6 は +4 と +8 の間にある。図のイも +4 と +8 の間にある。合っている
答えの吟味
アは原点より左なので負の数、イは右なので正の数。符号の向きが図と合っています。もし1目盛りを1と読みちがえていたら、アは \(-7\) になり、\(-8\) と書いてある目盛りより右に来てしまいます。図と合いません。
答え ア \(-14\) イ \(+6\)
0がまんなかにあるとはかぎらない
ここまでの図では、原点が図のまんなかにありました。これは決まりではありません。使いたい数の範囲によっては、原点が右のほうにも左のほうにも寄ります。
このとき、図のまんなかを0だと思いこむと、全部の読み取りがずれます。原点は目で見つけるのではなく、書いてある数からたどって見つけます。
例題3 0がまんなかにない数直線
下の数直線について答えなさい。
（1）1目盛りの大きさはいくつですか。 （2）点ウが表す数を答えなさい。 （3）\(-1\) はどの点ですか。原点からどちら向きに何目盛りかで答えなさい。
図のまんなかあたりにあるのは \(-3\) のあたりで、原点ではありません。0と書かれた目盛りをさがすと、右のほうにあります。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(-8\) と \(-6\) の間に目盛りが2つ分 | 確認③のために、数が書いてある目盛りの間を数えた |
| \(2\div 2=1\) | （1）\(-8\) から \(-6\) までは 2 大きくなる。それを目盛り2つ分で分けた |
| ウは \(-4\) から左へ1目盛り | （2）近くの数が書いてある目盛りからたどった |
| \(-5\) | （2）\(-4\) より1だけ小さいので \(-5\) |
| 原点から左へ1目盛り | （3）\(-1\) の大きさ1は、1目盛りの1つ分 |
確かめ
（1）−8 から 0 までは目盛りが 8 つ分。1 目盛りが 1 なら 8 だけ大きくなり、−8 から 0 までも 8 だけ大きくなっている。合っている
（2）ウは原点から左へ 5 目盛り。1 の 5 つ分で 5 、左なので −5 。近くからたどった読みと合っている
（3）原点から左へ 1 目盛りの点は、−2 と書かれた目盛りより右にある。−1 は −2 の右どなりなので合っている
答えの吟味
（2）はウが \(-6\) と \(-4\) の間にあるので、答えもその間の数のはずです。\(-5\) はちょうど間にあります。もし図のまんなかを0だと思っていたら、ウを \(-2\) あたりと読んでしまい、\(-6\) と \(-4\) の間という見た目と合わなくなります。
答え （1）\(1\) （2）\(-5\) （3）原点から左へ1目盛りの点
分数の目盛り
1目盛りは、1より小さくすることもできます。分数を置きたいときは、そのほうが便利です。\(\dfrac{3}{4}\) を置きたいなら、1目盛りを \(\dfrac{1}{4}\) にしておけば、原点から右へ3目盛りで届きます。
例題4 分数の目盛りを読む
上の数直線で、点アと点イが表す数を答えなさい。
数が書いてある目盛りと目盛りの間が4等分されているので、1目盛りは \(\dfrac{1}{4}\) です。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| 1目盛りは \(\dfrac{1}{4}\) | 確認③。\(0\) と \(+1\) の間が4等分されている |
| アは原点から左へ5目盛り | 原点より左なので符号は \(-\) |
| \(\dfrac{1}{4}\) の5つ分は \(\dfrac{5}{4}\) | 目盛りの数だけ、1目盛りの大きさを集めた |
| \(-\dfrac{5}{4}\) | 符号 \(-\) と大きさ \(\dfrac{5}{4}\) を合わせた |
| イは原点から右へ3目盛り | 原点より右なので符号は \(+\) |
| \(\dfrac{1}{4}\) の3つ分は \(\dfrac{3}{4}\) | 目盛りの数だけ、1目盛りの大きさを集めた |
| \(+\dfrac{3}{4}\) | 符号 \(+\) と大きさ \(\dfrac{3}{4}\) を合わせた |
確かめ
ア 4 分の 5 は 1 と 4 分の 1 なので、−1 より 4 分の 1 だけ左。図のアも −1 の左どなりの目盛り。合っている
イ 4 分の 3 は 1 より小さいので、0 と +1 の間。図のイも 0 と +1 の間。合っている
答えの吟味
アは \(-2\) と \(-1\) の間、イは \(0\) と \(+1\) の間にあります。どちらも図の見た目と合っています。目盛りの数5と3を、そのまま \(-5\)、\(+3\) と答えてはいけません。1目盛りが \(\dfrac{1}{4}\) だからです。
答え ア \(-\dfrac{5}{4}\) イ \(+\dfrac{3}{4}\)
今日の問い
数直線を読むとき、なぜ毎回三つも確かめるのでしょうか。「右が正で、まんなかが0で、1目盛りは1」でいつも通ればいいはずです。
通らないから確かめます。「読む前に確かめる三つのこと」の表をもう一度見てください。原点から右へ4目盛りの点は、1目盛りが \(1\) なら \(+4\)、\(2\) なら \(+8\)、\(0.5\) なら \(+2\) でした。点の場所は一つでも、読み取れる数は三つあったのです。
これは数直線のつごうが悪いのではありません。むしろ逆です。1目盛りの大きさを自由に決められるから、\(-20\) のような大きな数も、\(\dfrac{3}{4}\) のような小さな数も、同じ一本の線の上に置けます。自由に決められるものは、そのつど確かめなければならない。確認が三つあるのは、数直線が便利であることの裏返しです。
セクション1で「基準と正の向きを決めてから符号を付ける」と決めたのも、同じ理由でした。決め方を先に確かめるという型は、そのまま数直線に引き継がれます。三つの確認の①と②は、四つの手順の①と②と同じことを言っています。数直線で新しく増えたのは、③の1目盛りの大きさだけです。
よくある間違い
まちがい1：数の大きさを、そのまま目盛りの数にする
1目盛りが \(2\) の数直線に \(-8\) を置く問題です。
✗ −8 だから、原点から左へ 8 目盛り
左へ8目盛り進むと、どこに着くか確かめます。
1 目盛りは 2 。その 8 つ分は 2 × 8 = 16
原点から左へ 16 なので、着いた点は −16
置きたかったのは −8 なので、合わない
進む目盛りの数は、数の大きさそのものではありません。大きさが1目盛りのいくつ分かを求めます。
○ 8 ÷ 2 = 4 だから、原点から左へ 4 目盛り
1目盛りが1のときだけ、たまたま両者が一致します。1のときの感覚のまま他の数直線を読むと、必ずずれます。
まちがい2：負の数は、数が大きいほど右にあると思う
\(-7\) と \(-3\) を1目盛りが \(1\) の数直線に置く問題です。
✗ 7 のほうが 3 より大きいから、−7 を −3 より右に置いた
数直線の目盛りは、右へ1目盛り進むごとに1ずつ大きい数になります。原点から左へならべてみます。
0 の左どなりは −1 、その左は −2 、その左は −3 、… と続く
−3 は原点から左へ 3 目盛り、−7 は原点から左へ 7 目盛り
左へ多く進むほうが、原点から遠い
だから −7 は −3 より左
○ −7 を −3 より左に置く
\(7\) と \(3\) をくらべているのではありません。くらべているのは \(-7\) と \(-3\) です。 符号を外した部分だけを見て決めると、左右をまちがえます。
まちがい3：4等分された目盛りを、1目盛り1として読む
\(0\) と \(2\) の間が4等分されている数直線で、原点から右へ7目盛りの点を読む問題です。
✗ 右へ 7 目盛りだから +7
\(+7\) が正しいなら、この図のどこかに \(+7\) の点があるはずです。確かめます。
0 と 2 の間に目盛りが 4 つ分あるので、1 目盛りは 2 ÷ 4 = 0.5
数が書いてある目盛りは 0 、2 、4 、… と 4 目盛りごとに来る
右へ 7 目盛りの点は、+2 と書かれた目盛りより右、+4 と書かれた目盛りより左にある
+7 はもっとずっと右にあるので、合わない
○ 0.5 × 7 = 3.5 だから、その点は +3.5
目盛りを数える前に、数が書いてある目盛りと目盛りの間が、何等分されているかを見ます。等分の数が分かれば、1目盛りの大きさが決まります。
自分で確かめよう
紙に書いてから、答えを開いてください。どの問題でも、先に三つの確認を書き出すこと。
1目盛りが \(1\) の数直線に、\(+5\) と \(-6\) を置きます。それぞれ原点からどちら向きに何目盛りの点ですか。
1目盛りが \(0.5\) の数直線で、原点から右へ5目盛りの点が表す数を答えなさい。
1目盛りが \(2\) の数直線に \(-18\) を置きます。原点からどちら向きに何目盛りの点ですか。
1目盛りが \(\dfrac{1}{4}\) の数直線で、原点から右へ5目盛りの点が表す数を答えなさい。また、\(-\dfrac{7}{4}\) はどの点ですか。
ある数直線は、左のはしの目盛りが \(-12\) で、そこから右へ1目盛り進むごとに \(2\) ずつ大きい数になっています。 （1）原点は、左のはしから右へ何目盛りの点ですか。 （2）左のはしから右へ8目盛りの点が表す数を答えなさい。
次の答えはまちがっています。どこがまちがっているかを説明し、正しく直しなさい。1目盛りが \(\dfrac{1}{4}\) の数直線に、\(-\dfrac{3}{2}\) を置く問題です。
2 分の 3 の分子が 3 なので、原点から左へ 3 目盛り進んだ点にした。
答えと考え方
1. 三つの確認は、①原点が0の点 ②右が正の向き ③1目盛りは \(1\) です。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(5\div 1=5\) | \(+5\) の大きさ5が、1の5つ分だと分かった |
| 原点から右へ5目盛り | 符号が \(+\) なので、正の向きと同じ右へ進んだ |
| \(6\div 1=6\) | \(-6\) の大きさ6が、1の6つ分だと分かった |
| 原点から左へ6目盛り | 符号が \(-\) なので、正の向きと反対の左へ進んだ |
確かめ
右へ 5 目盛りは 1 の 5 つ分で 5 。原点より 5 だけ大きい側なので +5 。合っている
左へ 6 目盛りは 1 の 6 つ分で 6 。原点より 6 だけ小さい側なので −6 。合っている
答え \(+5\) は原点から右へ5目盛りの点、\(-6\) は原点から左へ6目盛りの点
2. 原点より右なので符号は \(+\) です。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| 右へ5目盛り | 原点より右なので符号は \(+\) |
| \(0.5\times 5=2.5\) | 目盛りの数に、1目盛りの大きさをかけた |
| \(+2.5\) | 符号 \(+\) と大きさ \(2.5\) を合わせた |
確かめ
+2.5 を置き直すと 2.5 ÷ 0.5 = 5 で、原点から右へ 5 目盛り。もとの点と同じ
答え \(+2.5\)
3. \(-18\) は負の数なので、進む向きは左です。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(18\div 2=9\) | \(-18\) の大きさ18が、2の9つ分だと分かった |
| 原点から左へ9目盛り | 符号が \(-\) なので、正の向きと反対の左へ進んだ |
確かめ
左へ 9 目盛りは 2 の 9 つ分で 18 。原点より 18 だけ小さい側なので −18 。合っている
答えの吟味
大きさ18に対して目盛りの数は9で、半分になりました。1目盛りが \(2\) で、1より大きいからです。1目盛りが大きいほど、進む目盛りの数は少なくてすみます。
答え 原点から左へ9目盛りの点
4. 読むほうと置くほうを、1問ずつ行います。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| 右へ5目盛り | 原点より右なので符号は \(+\) |
| \(\dfrac{1}{4}\) の5つ分は \(\dfrac{5}{4}\) | 目盛りの数だけ、1目盛りの大きさを集めた |
| \(+\dfrac{5}{4}\) | 符号 \(+\) と大きさ \(\dfrac{5}{4}\) を合わせた |
| \(\dfrac{7}{4}\) は \(\dfrac{1}{4}\) の7つ分 | \(-\dfrac{7}{4}\) の大きさが、1目盛りの7つ分だと分かった |
| 原点から左へ7目盛り | 符号が \(-\) なので、正の向きと反対の左へ進んだ |
確かめ
4 分の 5 は 1 と 4 分の 1 なので、+1 の右どなりの目盛り。右へ 5 目盛りの点と同じ
4 分の 7 は 1 と 4 分の 3 なので、−1 と −2 の間で −2 に近いほう。左へ 7 目盛りの点と同じ
答え 右へ5目盛りの点は \(+\dfrac{5}{4}\)。\(-\dfrac{7}{4}\) は原点から左へ7目盛りの点
5. 数直線の絵はありませんが、三つの確認はできます。①原点の場所はこれから求める ②右が正の向き ③1目盛りは \(2\) です。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(12\div 2=6\) | （1）\(-12\) から \(0\) までに 12 大きくなる。それが 2 の 6 つ分だと分かった |
| 左のはしから右へ6目盛り | （1）\(-12\) より大きくなる向きへ進んだ |
| \(2\times 8=16\) | （2）左のはしから8目盛り分で、16だけ大きくなる |
| \(-12\) から16だけ大きい数 | （2）左のはしの数から数え直した |
| \(+4\) | （2）\(-12\) の6目盛り右が \(0\)、そこからさらに2目盛り右 |
確かめ
（1）左のはしから右へ 6 目盛りの点は、−12 より 2 の 6 つ分だけ大きい
−12 より 12 大きい数は 0 。原点で合っている
（2）8 目盛りのうち、6 目盛りで 0 に着く。残りは 8 − 6 = 2 目盛り
原点から右へ 2 目盛りは 2 の 2 つ分で 4 、右なので +4 。合っている
答えの吟味
（2）を、左のはしから数える道と、原点から数える道の二通りで求め、どちらも \(+4\) になりました。原点が図のまんなかになくても、読み方は変わりません。
答え （1）左のはしから右へ6目盛り （2）\(+4\)
6. 分数の大きさが1目盛りのいくつ分かを求めず、分子をそのまま目盛りの数にしてしまったところがまちがいです。
左へ3目盛り進むと、どこに着くか確かめます。
1 目盛りは 4 分の 1 。その 3 つ分は 4 分の 3
着いた点は、0 より 4 分の 3 だけ小さい数
置きたかったのは 0 より 2 分の 3 だけ小さい数なので、合わない
1目盛りが分数のときは、置きたい数の大きさを1目盛りと同じ分母に直してから、いくつ分かを数えます。
| 式 | この行でしたこと |
|---|---|
| \(\dfrac{3}{2}=\dfrac{6}{4}\) | \(-\dfrac{3}{2}\) の大きさを、1目盛りと同じ分母に直した |
| \(\dfrac{6}{4}\) は \(\dfrac{1}{4}\) の6つ分 | 大きさが1目盛りのいくつ分かが分かった |
| 原点から左へ6目盛り | 符号が \(-\) なので、正の向きと反対の左へ進んだ |
確かめ
左へ 6 目盛りは 4 分の 1 の 6 つ分で 4 分の 6 、約分して 2 分の 3
原点より 2 分の 3 だけ小さい側なので、置きたかった数と合っている
答え 1目盛りが \(\dfrac{1}{4}\) なので、\(\dfrac{3}{2}\) は \(\dfrac{6}{4}\)、つまり \(\dfrac{1}{4}\) の6つ分。原点から左へ6目盛りの点が正しい
次のレッスンへ
これで、すべての正負の数に置き場所ができました。\(-4.2\) にも \(-140\) にも、線の上の点がただ一つ決まります。読むときは、0の位置・正の向き・1目盛りの大きさの三つを先に確かめる。この型を毎回通してください。
次のレッスン「絶対値は0からの距離」では、点の左右をいったん外して、原点からどれだけ離れているかだけを取り出します。\(-5\) と \(+5\) は原点をはさんで反対側にありますが、離れぐあいは同じです。この離れぐあいに名前と記号を付けると、正負の数の計算がずっと言いやすくなります。
クイズと理解チェックは、アプリで挑戦できます。