三平方の定理を総合確認しよう
今日の問い
三平方の定理を使う問題で、最初に見つけるべきものは何でしょうか。
答えは直角三角形です。公式を先に探すのではなく、直角、斜辺、残りの二辺を図の中で特定することから始めます。
このレッスンのゴール
- a²+b²=c²のcが斜辺であることを説明できる
- 定理と逆を使い分けられる
- 平面・空間の図から必要な直角三角形を取り出せる
- 答えの長さが図に合うか確かめられる
解き方の見取り図
基本を確認しよう
| 確認項目 | ポイント |
|---|---|
| 定理 | 直角三角形で、二つの直角辺の平方の和は斜辺の平方に等しい |
| 逆 | 最長辺をcとしてa²+b²=c²なら、その三角形は直角三角形 |
| 45°・45°・90° | 辺の比は1:1:√2 |
| 30°・60°・90° | 辺の比は1:√3:2 |
| 空間図形 | 一度に求めず、底面と側面の直角三角形に分ける |
例題
直角をはさむ二辺が6cmと8cmのとき、斜辺をc cmとします。
6²+8²=c²
36+64=c²
c²=100
長さは正なのでc=10cmです。−10は方程式の解として考えられても、長さには使いません。
入試問題での作戦
- 図に直角の印を書き込む
- 求めたい長さを含む直角三角形を探す
- 足りない長さがあれば、相似や円の性質で先に求める
- 斜辺を確認してから式を立てる
- 平方根を簡単にし、単位を付ける
- 求めた長さが斜辺なら他の二辺より長いか確かめる
自分で確かめよう
辺が5cm、12cm、13cmの三角形は直角三角形？
5²+12²=25+144=169=13²なので、三平方の定理の逆より直角三角形です。
直方体の対角線を求めるとき、なぜ二段階で考える？
まず底面の対角線を求め、その対角線と高さで新しい直角三角形を作るためです。空間の長さを平面の直角三角形へ分けています。
まとめ
三平方の定理は、公式を覚えるだけの単元ではありません。図の中から直角三角形を見つけ、斜辺を正しく決め、既習の相似・円・平方根とつなぐ力が大切です。
クイズと理解チェックは、アプリで挑戦できます。