共役な式の積を計算しよう
このレッスンの役割
乗法公式の第3段階です。平方の公式を受け、(x+y)(x−y)の形を見分けて短く計算します。
おすすめの学び方
二つのかっこを比べ、同じ二項で中央の符号だけが反対かを確認します。条件がそろったときだけ和と差の積を使います。
今日の問い
(√7+√3)(√7−√3)では、なぜ根号を含む中央項が消えるのでしょうか。
展開して確かめる
(√7+√3)(√7−√3) =7−√21+√21−3 =4
−√21と+√21が打ち消し合います。
公式で短く計算する
(x+y)(x−y)=x²−y²
なので、
(√11+√5)(√11−√5) =11−5 =6
です。
整数を含む例
(3+√2)(3−√2) =3²−(√2)² =9−2 =7
二つの式を共役な式と呼びます。
有理化とのつながり
根号を含む和が分母にある場合も、符号を反対にした式を掛けると分母の根号を消せます。ここでは計算の仕組みを理解し、複雑な分母の有理化は高校で広げます。
よくある間違いと戻り方
(√7+√3)(√7−√3)=7+3と符号を誤ることがあります。公式の右辺はx²−y²です。後ろの項の二乗を引く順番を、元の式と対応させます。
自分で確かめよう
- (√8+√3)(√8−√3)を計算してください。
- (5+√6)(5−√6)を計算してください。
- (√a+√b)(√a−√b)を簡単にしてください。
- 中央項が消える理由を説明してください。
次のレッスンへ
次は、式の形から平方公式と和と差の積を選び、計算を工夫します。