(√a)²と√(a²)を確かめよう

このレッスンの役割

根号の第4段階です。平方数の根号を整数へ直す技能を一般化し、根号と2乗を組み合わせた二つの式を区別します。

おすすめの学び方

公式だけを暗記せず、aに正・0・負の具体的な数を入れます。√が表す数は0以上であることを毎回確認します。

今日の問い

a=−3のとき、√(a²)は−3でしょうか、それとも3でしょうか。

(√a)²を考える

a≥0のとき、√aは2乗するとaになる0以上の数です。定義から、

(√a)²=a

です。

例：(√7)²=7。

√(a²)を考える

a²は0以上なので√(a²)を考えられます。√は0以上の方を表すため、

√(a²)=|a|

です。

a=−3なら、

√((−3)²)=√9=3

となり、−3ではありません。

比較表

二つの式は、定義できる範囲も違います。

よくある間違いと戻り方

√(a²)=aと符号条件なしで書く誤りがあります。aが負なら右辺aは負ですが、根号の値は0以上です。具体的にa=−2を代入し、矛盾を見つけます。

自分で確かめよう

1. (√13)²を求めてください。
2. √((-5)²)を求めてください。
3. √(a²)=|a|となる理由を説明してください。
4. a=−4で二つの式の定義範囲を比べてください。

次のレッスンへ

次は、根号・被開平数・2乗の典型的な読み違いを診断します。