平方根が二つある理由を考えよう
このレッスンの役割
平方根との出会いの第4段階です。具体的に正負二つを探した結果を、一般的な理由へつなげます。後で√aと±を区別する土台です。
おすすめの学び方
「マイナスどうしの積はプラス」だけで終えず、bと−bの絶対値が同じであることも説明してください。
今日の問い
2乗の結果だけを見ると、元の数が正だったか負だったか分からないのはなぜでしょうか。
2乗は符号の違いを消す
b>0とします。
b²=b×b
一方、
(−b)²=(−b)×(−b)=b×b=b²
です。bと−bは異なる数ですが、2乗すると同じ結果になります。
たとえば5と−5は数直線で0からの距離がどちらも5です。2乗はこの距離の大きさを掛け合わせるため、符号の違いが結果に残りません。
例題
a=49では、7と−7が2乗して49になります。したがって49の平方根は二つです。
ただし正方形の一辺を求める場面では長さが正なので7だけを選びます。「平方根が二つ」と「場面の答えが一つ」を区別します。
0の特別さ
0の反対の数は0です。そのため0の平方根は0一つです。正の数aのように、異なる正負二つには分かれません。
よくある間違いと戻り方
「答えにはいつも±を付ける」と暗記すると、長さや√記号単独でも誤ります。今は「aの平方根という集合」を考えているのか、「正の長さ」を考えているのか、問いの種類へ戻ります。
自分で確かめよう
- 9の平方根が二つある理由を掛け算で示してください。
- 0の平方根が一つである理由を説明してください。
- 面積16cm²の正方形の一辺が4cmだけになる理由は何ですか。
- b²=(−b)²を言葉で説明してください。
次のレッスンへ
次は、平方数でない面積を正確に表す必要を確認し、根号の学習へ進みます。