(√a+√b)²を展開しよう
このレッスンの役割
乗法公式の第2段階です。全体の見通しを受け、和と差の平方公式を平方根の式へ正確に使います。
おすすめの学び方
公式の三項x²、±2xy、y²へ番号を付け、計算後も三項があるか確認します。中央項の符号を特に意識します。
今日の問い
(√5−√2)²の中央項は、なぜ−2√10になるのでしょうか。
和の平方
(√5+√2)² =(√5)²+2×√5×√2+(√2)² =5+2√10+2 =7+2√10
最初と最後は整数になり、中央に根号が残ります。
差の平方
(√5−√2)² =(√5)²−2×√5×√2+(√2)² =7−2√10
最後のy²は正です。負になるのは中央項です。
整数を含む例
(2+√3)² =2²+2×2×√3+(√3)² =4+4√3+3 =7+4√3
xとyの片方が整数でも同じ公式です。
展開後の確認
(√a+√b)²は0以上です。近似値を使って、展開前後がおよそ同じ値になるかを確かめると、符号や中央項の誤りを見つけられます。
よくある間違いと戻り方
(√5−√2)²=5−2と中央項も最後の項も落とす誤りがあります。二乗は各項だけを二乗する操作ではありません。公式の三つの箱を描いて埋めます。
自分で確かめよう
- (√3+√7)²を展開してください。
- (√6−√2)²を展開してください。
- (3+√2)²を展開してください。
- 差の平方で正になる項を説明してください。
次のレッスンへ
次は、符号だけが異なる共役な式の積で、中央項が消える仕組みを確かめます。