乗法公式と平方根の利用を理解しよう

このレッスンの役割

このセクションの入口です。展開・因数分解で学んだ乗法公式を、平方根を含む式へつなぎます。根号の乗除と簡単化が計算の土台です。

おすすめの学び方

根号を特別扱いせず、√aを一つの文字xのように置いて公式の形を見ます。公式を書いてから値を代入し、最後に根号を簡単にします。

今日の問い

(√3+√2)²を、同じ式を二回掛けるより短く正確に計算する方法はあるでしょうか。

使う三つの公式

(x+y)²=x²+2xy+y²

(x−y)²=x²−2xy+y²

(x+y)(x−y)=x²−y²

xやyへ根号を含む数を入れても、等式は成り立ちます。

例で見通す

(√3+√2)² =(√3)²+2√3√2+(√2)² =3+2√6+2 =5+2√6

根号の2乗が整数へ戻るため、公式の効果がよく表れます。

共役な式

(√7+√3)(√7−√3)=7−3=4

真ん中の項が打ち消し合います。分母の有理化や高校数学にもつながる考えです。

このセクションの順序

平方の公式、共役な式、公式の選択、誤答診断の順に進みます。公式暗記ではなく、式の形を見分ける力を育てます。

よくある間違いと戻り方

(√3+√2)²=3+2と中央の2xyを落とす誤りがあります。公式を先に文字で書き、三つの項へチェックを付けてから代入します。

自分で確かめよう

1. (√5+√2)²を展開してください。
2. (√6−√3)²を展開してください。
3. (√11+√2)(√11−√2)を計算してください。
4. 使った公式の名前と形を答えてください。

次のレッスンへ

次は、(√a+√b)²の三項を一つずつ作り、中央の項を落とさず展開します。