二点から等距離の点を確かめよう

このレッスンの役割

このレッスンは2 / 5、垂直二等分線を「等距離の点の集まり」として理解する段階です。垂直と中点という定義を受け取り、線分ABの両端がこの直線について対称な位置にあることを使います。中心技能は、直線上の点PについてPA=PBを説明することです。

おすすめの学び方

垂直二等分線を折り目だと考え、AがBへ重なる様子を想像します。直線上の点Pは折っても動かないため、PからAとBへの線分がどう重なるかを追ってください。

今日の問い

線分ABの垂直二等分線上なら、どこに点Pを取ってもPA=PBになるのはなぜでしょうか。

対称移動を思い出そう

垂直二等分線ℓを対称の軸とすると、Aを対称移動した像はBです。なぜなら、ℓはABへ垂直で、ABの中点を通るからです。

点Pをℓ上に取ります。軸上の点Pは対称移動しても同じ位置に残ります。線分PAを対称移動すると、PはPのまま、AはBへ移るため、線分PAは線分PBへ重なります。対称移動は長さを変えないので、PA=PBです。

逆向きにも考えられます。PA=PBなら、PはAを中心とする半径PAの円と、Bを中心とする同じ半径の円の両方にあります。このような点はABの垂直二等分線上に並びます。

よくある間違いと戻り方

ABの中点MだけがAとBから等距離だと考える誤りがあります。MではMA=MBですが、垂直二等分線上のほかの点PでもPA=PBです。点の集まりは直線になります。

自分で確かめよう

次の「垂直二等分線をコンパスで作図しよう」へ

次は、AとBから等距離になる二つの点を円弧で作り、その二点を結びます。

クイズと理解チェックは、アプリで挑戦できます。