角の二辺から等距離の点を確かめよう
このレッスンの役割
このレッスンは2 / 5、角の二等分線を二辺から等距離の点の集まりとして理解する段階です。距離は垂線の長さだという前提を受け取り、点Pから辺OA、OBへ下ろした垂線PH、PKを比べます。
おすすめの学び方
角の二等分線を折り目だと考え、辺OAとOBが重なる様子を想像します。Pは折り目上で動かず、Pから二辺へ下ろした垂線がどう重なるかを追ってください。
今日の問い
点Pが角の二等分線上にあるとき、なぜPから二辺までの最短距離が同じになるのでしょうか。
垂線の長さを比べる
Pから辺OAへ垂線PHを下ろし、辺OBへ垂線PKを下ろします。H、Kが垂線の足です。
角の二等分線OPを軸として図を折ると、辺OAは辺OBへ重なります。Pは折り目上なのでPのままです。PからOAへ垂直なPHは、PからOBへ垂直なPKへ重なります。したがって、
PH = PK
です。
HやKまで斜めに結んだ長さではなく、直角に下ろした線分を比べることが大切です。点から直線までの最短距離は垂線の長さになります。
反対に、角の内部の点PについてPH=PKなら、Pは二辺から等距離なので角の二等分線上にあります。この性質は、二つの道路から同じ距離の場所を探す問題にも使えます。
よくある間違いと戻り方
Pから二辺上の任意の点へ結んだ線分を比べる誤りがあります。H、Kに直角の印があるかを確認し、垂線PH、PKだけを距離として比べます。
自分で確かめよう
PH、PKが辺までの距離になるために必要な印は？
PH⊥OA、PK⊥OBを表す直角の印です。
角の内部でPH=PKなら、Pはどこにある？
∠AOBの角の二等分線上にあります。
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次は、角の二辺へ同じ距離を取る円弧を使い、二等分線が通る点Pを作ります。
クイズと理解チェックは、アプリで挑戦できます。