平方公式・平方差を使う因数分解を理解しよう
このレッスンの役割
特殊な形の因数分解の入口です。和と積から二数を探す方法を受け、平方公式と和と差の積を逆向きに使います。
おすすめの学び方
先頭と最後が平方か確認し、その平方根どうしの2倍の積が中央項か調べます。見抜いた後は展開して検算します。
今日の問い
x²+6x+9を見たとき、なぜ(x+3)²へ戻せると判断できるのでしょうか。
完全平方
(x+3)²=x²+6x+9
なので逆向きに、
x²+6x+9=(x+3)²
です。先頭x²、最後9=3²、中央6x=2×x×3が一致します。
平方差
(a+b)(a−b)=a²−b²
を逆向きに使うと、
a²−b²=(a+b)(a−b)
です。
具体例
4x²−25=(2x)²−5²
なので、
=(2x+5)(2x−5)
です。
このセクションの順序
和の完全平方、差の完全平方、平方差、三つの形の選択へ進みます。
よくある間違いと戻り方
先頭と最後が平方なら必ず完全平方とする誤りがあります。中央項が±2abと一致するかまで確認します。
自分で確かめよう
- x²+8x+16を因数分解してください。
- x²−10x+25を因数分解してください。
- x²−49を因数分解してください。
- 完全平方を見抜く三条件を説明してください。
展開との往復
因数分解は新しい式を作る操作ではありません。積へ戻した直後に展開し、元の三項または二項が同じ順序で現れるか確認します。
次のレッスンへ
次は、a²+2ab+b²の三条件を確かめ、和の完全平方へ戻します。