因数分解で数の性質を説明しよう

このレッスンの役割

このレッスンは3 / 5、因数分解の活用です。計算の工夫とは逆に、式を積へ変えて数の性質を見えるようにします。中心技能は、因数分解した積から「なぜ必ずそうなるか」を言葉で説明することです。

おすすめの学び方

式変形だけで終わらず、最後の積にどんな整数が並ぶかを一文で説明します。「計算したらそうなった」ではなく、すべての整数で成り立つ理由を探しましょう。

今日の問い

どんな整数 n でも、n²−n が偶数になると言い切れるのはなぜでしょうか。

積の形にすると性質が見える

n²−n=n(n−1)

n と n−1 は連続する二つの整数です。連続する二整数では、必ず一方が偶数です。したがって、その積 n(n−1) は必ず偶数になります。

説明は次の三段階で書きます。

1. 文字式を因数分解する
2. 因数がどんな数か述べる
3. 積全体の性質を結論にする

例題

n²+3n が3の倍数とは限らないことを確かめます。

n²+3n=n(n+3)

この積には、必ず3という因数があるわけではありません。たとえば n=1 なら値は4です。式に3が見えていても、式全体が3の倍数とは限りません。

一方、3n²+6n=3n(n+2) なら、積に因数3があるため必ず3の倍数です。

よくある間違いと戻り方

いくつかの数を代入して成り立っただけで「いつも成り立つ」と結論する誤りがあります。代入は予想の確認には使えますが、証明にはなりません。因数分解し、必ず含まれる因数を示すところへ戻ります。

自分で確かめよう

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次は、一つの図形の面積を「全体の積」と「部分の和」の二通りで表します。

クイズと理解チェックは、アプリで挑戦できます。