b²−4acの意味を確かめよう
このレッスンの役割
このレッスンは2 / 5、解の個数を決める部分を特定する段階です。三つの場合の見取り図を受け取り、b²−4ac が±の二枝をどう変えるかを理解します。中心技能は、公式の変わらない部分と枝分かれする部分を区別することです。
おすすめの学び方
公式を −b、±√(b²−4ac)、2a の三つに分け、中央だけを色や下線で囲みます。具体的に正・0・負を入れて結果を比べましょう。
今日の問い
なぜ −b や 2a ではなく、b²−4ac の符号が解の個数を決めるのでしょうか。
二つの枝を作る部分
解の公式は、
x=[−b±√(b²−4ac)]/(2a)
です。a≠0なので分母2aは0ではありません。−bは二つの枝に共通です。二つを分けるのは、
+√(b²−4ac) と −√(b²−4ac)
の差です。
| 平方根の中 | √の値 | ±の結果 |
|---|---|---|
| 9 | 3 | +3と−3は異なる |
| 0 | 0 | +0と−0は同じ |
| −4 | 実数では作れない | 枝を作れない |
このため平方根の中の数だけで、実数解の個数を判断できます。高校ではこの数を判別式と呼び、Dで表すことがあります。ここではまず意味を優先します。
よくある間違いと戻り方
b²−4ac を b²−4a−c と読む誤りがあります。4acは 4×a×c という一つの積です。代入時は b²−4×a×c と書きます。
自分で確かめよう
a=1、b=4、c=3ならb²−4acは？
16−12=4 です。正なので実数解は2個です。
a=1、b=2、c=5なら？
4−20=−16 です。実数解はありません。
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次は、正の場合に二つの実数解が生まれ、答えが整数・分数・根号の形になる違いを見ます。
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